TEMA I.13. Ondas Estacionarias Longitudinales. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Transcripción

1 TEMA I.13 Ondas Estacionarias Longitudinales Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 17

2 Ondas Estacionarias Longitudinales El fenómeno de reflexión de onda, también se aplica a una onda en un fluido dentro de un tubo de longitud finita. Las ondas estacionarias en un fluido son ondas de sonido (Ej. voz humana o instrumentos de viento). Las ondas estacionarias en un fluido son desplazamientos del fluido o variación de presión: modo de desplazamiento. El tubo de Kundt es un aparato para demostrar ondas longitudes en un gas y medir su velocidad (ver Figura I.13.01). TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 17

3 Ondas Estacionarias Longitudinales Figura I.13.1: Tubo de Kundt para determinar la velocidad del sonido en un gas. Los N y A son los nodos y antinodos de desplazamiento. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 17

4 Ondas Estacionarias Longitudinales En este tubo, el polvo se acumula entre nodos separados de λ 2. Como la frecuencia f es conocida, podemos determinar la velocidad de la onda: ν = λ f. Las partículas en ambos lados opuestos del nodo, vibran en oposición de fase. Como las partículas se acercan, la presión aumenta. En el nodo de desplazamiento, el gas experimenta compresión y expansión máxima (ver Figura I.13.2). Las partículas en ambos lados opuestos a un antinodo de desplazamiento, vibran en fase. La distancia es constante y no hay variación de presión. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 17

5 Ondas Estacionarias Longitudinales Figura I.13.2: Las partículas en los lados opuestos de un nodo de desplazamiento vibran en oposición de fase, creando un antinodo de presión. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 17

6 Ondas Estacionarias Longitudinales Esto define un nodo de presión: donde la presión y densidad no varían. El antinodo de desplazamiento es, por tanto, un nodo de presión. Y el nodo de desplazamiento, es un antinodo de presión. En el extremo de un tubo cerrado, el desplazamiento es cero, pero la presión varía de manera máxima: nodo de desplazamiento = antinodo de presión. En el extremo de un tubo abierto, el desplazamiento es máximo, pero la presión no varía: antinodo de desplazamiento = nodo de presión. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 17

7 Ondas Estacionarias Longitudinales Ejemplo: Altavoz direccional La frecuencia del altavoz es: f = 200 Hz. Dirigido a una pared, hay una distancia donde no se escucha nada. Esto se pasa en un antinodo de desplazamiento (ver Figura I.13.3). Como la pared debe ser un nodo de desplazamiento, la distancia entre nodo y antinodo de desplazamiento adyacente es λ 4. Usando ν = 344 m/s (a una temperatura de 20 o C), deducimos la longitud de la onda: λ = ν f = 344 m/s = 1.72 m 200 s 1 TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 17

8 Ondas Estacionarias Longitudinales Figura I.13.3: Si dirigimos una onda sonora a una pared, interfiere con la onda reflejada creando una onda estacionaria. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 17

9 Ondas Estacionarias Longitudinales La posición del próximo antinodo de desplazamiento: λ 4 = 1.72 m 4 = 0.43 m. El segundo antinodo será a: d = λ 4 + λ 2 = 3λ 4 = 1.29 m El tercero: d = 3λ 4 + λ 2 = 5λ 4 = 2.15 m TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 17

10 Tubos de órganos e instrumentos de viento En un órgano, un soplador, alimenta en aire a una presión de 10 3 Pa (10 2 atm) al extremo inferior de los tubos (ver Figura I.13.4). El corriente de aire entra por la abertura estrecha (boca) del tubo. La columna de aire vibra en el tubo a la frecuencia fundamental + armónicos. Hay dos tipos de tubos: 1. extremo abierto: nodos de presión 2. extremo tapado: antinodo de presión TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 17

11 Tubos de órganos e instrumentos de viento Figura I.13.4: Cortes seccionales de un tubo de órgano en dos instantes separados medio periodo. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 17

12 Tubos de órganos e instrumentos de viento Tubo abierto f 1 = ν 2 L (I.13.1) λ n = 2 L (I.13.2) n con n = 1, 2, 3,... f n = n ν 2 L = n f 1 (I.13.3) Tubo tapado f 1 = ν 4 L (I.13.4) λ n = 4 L (I.13.5) n con n = 1, 3, 5,... f n = n ν 4 L = n f 1 (I.13.6) Ver Figura I.13.5 TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 17

13 Tubos de órganos e instrumentos de viento Figura I.13.5: En el panel izquierdo corte seccionales de un tubo abierto que muestra los tres primeros modos normales. En el panel derecho corte seccionales de un tubo tapado que muestra los tres primeros modos normales. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 17

14 Tubos de órganos e instrumentos de viento Ejemplo: Órgano Un día cuando ν sonido = 345 m/s, la frecuencia fundamental de un órgano con tubo tapado da: f 1 = 220 Hz. La longitud del tubo es, por tanto: L = ν 4 f 1 = 345 m/s 4 (220 Hz) = m La frecuencia del primero sobretono es f 3 = 3f 1 = 660 Hz y del segundo f 5 = 5f 1 = 1100 Hz. Para un tubo abierto, si λ es igual, por tanto, f es también igual y una frecuencia de 1100 Hz es la frecuencia del tercero armónico: TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 17

15 Tubos de órganos e instrumentos de viento Pero como f 3 = 3f 1 = 3 ν 2 L = 1100 Hz L abierto = En un órgano siempre están presentes varios modos. 3 (345 m/s) 2 (1100 Hz) = m Al igual que una cuerda vibrante, las ondas estacionarias son complejas en el tubo. Están ondas producen ondas viajeras con mismo contenido armónico. Los tubos estrechos producen ondas ricas en armónicas superiores. Los tubos gruesos producen ondas principalmente del modo fundamental. El contenido armónico depende de la forma de la boca. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 17

16 Tubos de órganos e instrumentos de viento Para un instrumento de viento, el principio es el mismo. En una flauta, al taparse y destaparse los agujeros con los dedos, se cambia la longitud L de la columna de aire y por tanto el tono. La flauta es similar a un tubo abierto. El clarinete es similar a un tubo tapado. Las frecuencias de cualquier instrumento de viento siempre son proporcionales a la velocidad del sonido ν sonido. Como ν sonido depende de la temperatura, los tonos de estos instrumentos varían con la temperatura. En general, como ν sonido T aire, el tono de un instrumento de viento aumentará con la temperatura. TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 17

17 Tubos de órganos e instrumentos de viento Ejercicio: Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de órgano de 10 m de longitud que está (a) abierto por sus extremos y (b) cerrado por un extremo. Ejercicio: A 16 o C la frecuencia fundamental de un tubo de órgano es Hz. Cuál será la frecuencia fundamental de tubo si la temperatura aumenta a 32 o C? Sería preferible construir el tubo con un material que se dilatara sustancialmente cuando aumente la temperatura o con un material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales? TEMA I.13: Ondas Estacionarias Longitudinales J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 17 / 17