VIBRACIONES Y ONDAS 1

Transcripción

1 VIBRCIONES Y ONDS

2 Contenidos ().- Movimiento Vibratorio rmónico Simple... Ecuaciones del M.V..S... Dinámica del M.V..S..3. El péndulo simple..4. Energía de un oscilador armónico..- Movimiento Ondulatorio... Tipos de Ondas... Variables características de una onda..3 Ecuación de Onda rmónica Unidimensional. 3.- Energía de las Ondas. 3.. Intensidad. tenuación. 3.. bsorción de la Energía. Ley de Lambert

3 Contenidos () 4.- Propagación de las Ondas. 4.. Principio de Huygens. 4.. Reflexión. Leyes de Snell Refracción. Leyes de Snell Difracción Polarización. 5.- Composición de Ondas. 5.. Interferencia de ondas coherentes. 5.. Ondas estacionarias. 6.- Ondas Sonoras. Sonoridad. 7.- Efecto Doppler.

4 MOVIMIENTO RMÓNICO SIMPLE Un sistema constituye un oscilador armónico cuando oscila entre dos puntos y equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio. l acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima. l alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento. Posición de equilibrio 4

5 Ecuación del Movimiento Vibratorio rmónico Simple. P P 0 y o t + 0 P y= sen ( t+ 0 ) Se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre el eje y, y resulta: y = sen( t+ 0 ) Elongación y: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio mplitud : Elongación máxima. El valor de y varía entre y + Fase ( t+ 0 ) Describe el movimiento angular del punto P Fase inicial 0: Determina la elongación inicial cuando t = 0 : x 0 = cos 0 5

6 VRIBLES CRCTERISTICS DEL MOVIMIENTO RMÓNICO SIMPLE Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se llaman periódicos y el movimiento armónico es un movimiento periódico. y = sen t = sen ( t + ) T El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s) La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s - ) o Hertzios (Hz) T La frecuencia angular o pulsación ω se mide en (radianes/segundo) 6

7 Velocidad en el M.V..S. Derivando la ecuación general del m.v.a.s., y = sen ( t + 0) resulta: v dy dt cos( t 0 ) sen sen + cos = cos ( t+ 0 ) = ( t ) 0 v sen ( t 0 ) sen ( t 0 ) Como y = sen ( t+ 0 ) y = sen ( t+ 0 ) v y El columpio se detiene en los extremos. En el centro alcanza su máxima velocidad La velocidad es máxima cuando y = 0 V máx = 7

8 celeración en el M.V..S. Derivando la ecuación de la velocidad: v = cos ( t + 0) resulta: a dv dt d dt y sen( t 0 ) a = x Como y = sen ( t + 0) El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = a máx = La aceleración es proporcional a la elongación y, por tanto, máxima en los extremos y nula en el centro 8

9 Dinámica del Movimiento Vibratorio rmónico Simple. Según la ley de Hooke: F = kx Si x = 0 F = 0 (no aparecen fuerzas) Por la segunda ley de Newton: F = m a = - m x k = - m Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento F O x x F T k m T m k T k m 9

10 EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILDOR RMÓNICO Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria y Eje Y: T P y = m a n L Eje X: P x = m a x mg sen = m a x Simplificando resulta: g sen Para ángulos pequeños, sen = = a x Sustituyendo el ángulo por el arco: L = x a x a x T g L x L g a x = g g L T P m x = mg sen P y = mg cos P= mg 0 x

11 Energía cinética de un oscilador armónico. plicando la definición de energía cinética: m v m Ec cos Por las relaciones trigonométricas: t m ω E c m x E c K x Si x = 0 energía cinética máxima E cmáx m

12 Energía potencial de un oscilador armónico. dw = F dy = ky dy Integrando entre dos posiciones y B: W E P E P E B P y y B k y dy k y B k y Para cada posición, la E p es de la forma: E P K y Es máxima cuando y es máxima y se cumple que sen ( t + 0) = m ω E P, máx m

13 Energía total de un oscilador armónico. La energía total en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial E = E p + E c m cos ( t ) 0 m sen ( t 0 ) Sacando factor común: m ω Ec m ω ( x ) E m cos ( t ) sen ( t ) 0 0 Simplificando: E E p E c m Ep m ω x En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante. 3

14 MOVIMIENTO ONDULTORIO l desplazar un trozo del muelle en sentido longitudinal y soltarlo, se produce una oscilación que se propaga a todas las partes del muelle comenzando a oscilar. Si en una cuerda tensa horizontal, se hace vibrar uno de sus extremos, la altura de ese punto varía periódicamente Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación a través del espacio. Se suele denominar onda a la propia perturbación. El movimiento ondulatorio no transporta materia, lo que se propaga es la perturbación, luego hay transporte de energía. Las partículas del medio alcanzadas por ésta, vibran alrededor de su posición de equilibrio. 4

15 CLSIFICCIÓN DE LS ONDS Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en: Según sea la propagación se clasifican en: Según la forma del frente de ondas se clasifican en: -Ondas mecánicas o elásticas: transportan energía mecánica y necesitan un medio material para propagarse, no se pueden propagar en el vacío. Por ejemplo las ondas en una cuerda, las ondas en la superficie del agua, las ondas sonoras, las ondas sísmicas -Ondas electromagnéticas : no necesitan medio material para propagarse, se pueden propagar en el vacío, transportan energía electromagnética y son la interferencia entre campos eléctricos y magnéticos variables, la variación de estos campos produce una emisión de energía que es la radiación electromagnética. Por ejemplo la luz -Unidimensionales: en línea por ejemplo una cuerda o un muelle vibrando. -Bidimensionales en un plano, por ejemplo agua oscilando en la superficie de un estanque. -Tridimensionales en todo el espacio:el sonido o la luz. Planas si el frente de ondas es plano como las ondas que se producen al sacudir un mantel, Circulares si es como las ondas en la superficie de un estanque Esféricas si el frente es esférico como la luz o el sonido. 5

16 Frentes de onda y rayos. Se denomina frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que son alcanzados por la perturbación en el mismo instante. Todos los puntos de un frente de onda están en el mismo estado de vibración (vibran en fase). Los rayos son líneas perpendiculares a los frentes de onda e indican la dirección y sentido de propagación de la onda. La velocidad de propagación de la onda depende exclusivamente de las propiedades del medio en el que se propaga. Si las propiedades del medio son iguales en todas las direcciones (medios isótropos), la perturbación se propagará con la misma velocidad en todas las direcciones.

17 Ondas bidimensionales rayos rayos Ondas circulares Ondas planas Ondas tridimensionales Ondas esféricas Ondas planas

18 Según la dirección de propagación se clasifican en: LONGITUDINLES La dirección de propagación coincide con la dirección de la vibración. El sonido, las ondas sísmicas P y las que se propagan en un muelle, son ondas longitudinales. TRNSVERSLES La dirección de propagación es perpendicular a la dirección en que tiene lugar la vibración. Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas y las ondas sísmicas S, son ondas transversales 8

19 VRIBLES CRCTERISTICS DE LS ONDS La longitud de onda ( ) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación amplitud () Características de una onda : período (T) longitud de onda ( ) número de onda (k) k = π/λ frecuencia ( ) que es la inversa del período velocidad de propagación (v) v T 9

20 Ondas armónicas. Función de onda Una onda armónica es la propagación de una perturbación originada por un movimiento vibratorio armonico simple. Los puntos que en un instante tiene elongación máxima se denominan vientres quellos que tienen elongación nula se denominan nodos La función de onda es la expresión matemática que permite obtener el estado de vibración de una partícula x del medio en cualquier instante t. y o - vientre nodo P x p x La elongación del punto x en cualquier instante t es: y (t) = sen t El tiempo que tarda la perturbación en llegar a un punto P del eje situado a una distancia x del foco O es t = x/ v Luego el estado de vibración del punto x en el instante t la función de onda es: y(x,t) sen t x v 0

21 Ondas armónicas. Función de onda ( x, t) sen t T x (x,t) sen t k x l término ( t kx) se le denomina fase e la onda Diferencias de fase: Están en fase los puntos con idéntico estado de perturbación. La distancia entre ellos es igual a un número entero de longitudes de onda o a un número par de semilongitudes de onda Están en oposición de fase los puntos que distan un número impar de semilongitudes de onda.

22 ENERGI DE UN OND Una onda transporta energía desde el foco emisor al medio. E E c E p k m.4 La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación y al cuadrado de la amplitud de la onda. E.. cte La intensidad de una onda en un punto es la energía que pasa en cada unidad de tiempo por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propagación La intensidad es una potencia por unidad de superficie La unidad de intensidad es W m - INTENSIDD DE UN OND I E S t P S

23 MORTIGUCION DE UN OND Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda. La pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para. Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas: ) la absorción del medio ) la atenuación con la distancia bsorción La disminución de la intensidad de la onda se traduce en una disminución de la amplitud que decae con la distancia recorrida en el medio absorbente. Ley de Lambert siendo I I e el coeficiente de absorción 0 x El tipo de material con que se revisten las paredes de las salas de audición musical, condiciona la cantidad de sonido que se recibe, ya que absorben de diferente grado 3 las ondas sonoras

24 tenuación Cuando el foco es puntual se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en todas direcciones del espacio Este fenómeno se produce debido a la conservación de energía ya que al avanzar la onda aumentan las partículas puestas en vibración por lo que la energía se reparte entre más partículas y les toca menos cantidad a cada una, lo que hace que la amplitud de la onda disminuya. La intensidad de la onda esférica en el punto B que dista r del foco emisor F es: F r B r B P I 4 r En el punto B que dista r del foco emisor F P r Por tanto, 4 r I I I r 4

25 Propagación de las ondas (Principio de Huygens) Se denomina frente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados por una onda al mismo tiempo; en consecuencia, todos los puntos de un frente de onda tienen la misma fase Las líneas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos Frente de onda plano Frente de onda plano Frente de onda esférico Frente plano Frente esférico Principio de Huygens. Cada punto de un frente de ondas se comporta como un foco emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas. 5

26 Propagación de las ondas (Reflexión) La reflexión de ondas es el cambio de la dirección de propagación al incidir la onda en el límite de separación de dos medios diferentes; después de la reflexión, la onda continua su propagación en el mismo medio N Como t B = t B, siendo v la velocidad de propagación de las ondas, resulta: î rˆ B 'B' v B v 'B' B Los triángulos B y B son iguales, y también lo serán los ángulos î y rˆ B LEYES DE SNELL DE L REFLEXIÓN ª El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ª La dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano 6

27 Propagación de las ondas (Refracción) La refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar la onda de un medio a otro diferente. t B t 'B' B v 'B' v Refracción de un frente de ondas B B' sen r 'B' B' sen i î LEYES DE L REFRCCIÓN ªLa dirección de incidencia de las ondas, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano. Medio Medio rˆ B î rˆ B ª El ángulo de incidencia y el de refracción están relacionados por la expresion: sen i sen r v v 7

28 Propagación de las ondas (Difracción) Un observador percibe la luz de un foco sin verlo directamente, y oye el sonido de un altavoz que está detrás de un obstáculo. Este fenómeno se denomina difracción. La difracción de ondas se produce cuando la onda se encuentra con un obstáculo cuyo tamaño es del mismo orden de magnitud que su longitud de onda. El obstáculo puede ser una rendija, un borde recto, un disco, una abertura, etc; un conjunto de rendijas con una anchura adecuada se llama red de difracción Puede observarse la difracción de ondas en la superficie del agua si se disponen dos estanques comunicados por una abertura; al producir una perturbación en uno de ellos, se observa que al llegar a la abertura de separación se propaga por el segundo medio, de acuerdo con el principio de Huygens La difracción de la luz no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben ser muy pequeños (del orden de la longitud de onda de la luz: nm) Difracción de ondas planas en la cubeta de ondas Si un fenómeno físico sufre difracción se puede asegurar que se propaga de modo ondulatorio. 8

29 Propagación de las ondas (Difracción) La magnitud del fenómeno de la difracción depende de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. Si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura entonces la difracción es pequeña. En cambio si la longitud de onda tiene las dimensiones de la abertura, los efectos de la difracción son grandes. << tamaño abertura tamaño abertura

30 Propagación de las ondas (Polarización) En las ondas longitudinales la dirección de vibración coincide con la dirección de propagación, mientras que en las ondas transversales no sucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la dirección de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular. Cuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definida la onda se dice que está polarizada. Si la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros se dice que la onda no está polarizada. En el caso de una onda transversal en una cuerda, una simple rendija vertical puede polarizar la onda, como se observa en la figura. Y Z X

31 Interferencia de ondas PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE ONDS Cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en el que se propagan, la perturbación resultante en dicho punto es la suma de las perturbaciones que originarían en dicho punto cada una de las ondas. y (x,t) = y (x,t) + y (x,t) Como consecuencia de la interferencia se puede producir: Un reforzamiento de la amplitud de la onda resultante (interferencia constructiva) Una disminución de la amplitud de la onda (interferencia destructiva) 3

32 Interferencia de ondas armónicas. Condiciones de interferencia constructiva y destructiva. La amplitud resultante es máxima ( r = ) y se produce una interferencia constructiva, en los puntos del medio en los que la diferencia de distancias a los focos es un número entero de longitudes de onda o un número par de semilongitudes de onda x x = n λ = n λ/ Las dos ondas llegan en fase a estos puntos, llamados vientres. La amplitud resultante es mínima ( r = 0) y se produce una interferencia destructiva, en los puntos del medio en los que la diferencia de distancias a los focos es un número impar de semilongitudes de onda: x x = (n + ) λ / Las dos ondas llegan en oposición de fase a esos puntos, denominados nodos.

33 Ondas estacionarias Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas armónicas, de la misma amplitud y frecuencia, que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. Distancia entre dos nodos = λ/ Distancia entre dos vientres = λ/ Distancia entre nodo y antinodo = λ/4

34 Tubo abierto por los dos extremos La vibración del aire produce vientres en ambos extremos. L n λ n λ n L n con n,, 3,... Las frecuencias de los distintos modos de vibración, vienen dadas por: L L L L L L 3 f v p f n n v p L con n,, 3,.. vp v p f f f f3 3f... L L

35 Tubo abierto por uno de los extremos hora tenemos un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el abierto. L n λ n 4 λ n 4L n con n, 3, 5... Las frecuencias de los distintos modos de vibración, vienen dadas por: L 4 4L L λ 3 λ 3 4 4L 3 L L 5 f v p f n n v p 4L con n, 3, 5,... No existen los armónicos pares

36 Ondas Sonoras El sonido es una onda mecánica longitudinal originada por la propagación en un medio (sólido, líquido o gaseoso) del movimiento vibratorio de un determinado objeto (foco emisor). Cuando el sonido se propaga en el aire el movimiento de vibración de las partículas del medio origina una variación de la presión. La perturbación que se propaga podemos considerarla como un desplazamiento de las partículas (onda de desplazamiento) o como una variación de la presión (onda de presión).

37 Ondas sonoras audibles: Son las ondas cuyas frecuencias están comprendidas entre 0 Hz y Hz (intervalo de frecuencias que generan una sensación sonora en el oído humano) Ondas sonoras no audibles: Infrasonidos: ondas de f < 0 Hz Ultrasonidos: ondas de f > Hz En general, la velocidad del sonido es mayor en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos mayor que en los gases y depende de la temperatura del medio. La velocidad del sonido en el aire (a 0 ºC) es 340 m/s En el aire (a 0 ºC) tiene una velocidad de 33 m/s En el agua es de.600 m/s En la madera es de m/s En el acero es de 5.00 m/s

38 Timbre de las Ondas Sonoras clarinete O t violín Permite al oído humano distinguir entre dos notas iguales emitidas por distintos instrumentos Ningún foco emisor, ejecuta una vibración armónica pura, sino una vibración armónica de frecuencia determinada ( ) acompañada de un conjunto de vibraciones de frecuencias múltiplos de la fundamental,, 3,... denominados armónicos 38

39 Tono de las Ondas Sonoras O grave t agudo Permite distinguir entre sonidos graves y agudos, y está relacionado con la frecuencia. Los de mayor frecuencia se perciben como agudos, y los de menor, como graves. 7 Hz 00 Hz 00 Hz 440 Hz 000 Hz 3000 Hz

40 Intensidad de las Ondas Sonoras fuerte débil O t La intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido, esta relacionada directamente con la amplitud de la onda. Según su sonoridad, los sonidos se perciben como fuertes o débiles 40

41 Sensación Sonora. Sonoridad. La intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia. El nivel de intensidad sonora expresado en decibelios se define como: Donde I o = 0 - W/m (Umbral de audición) 0log I I 0 Intensidad sonora de algunos sonidos habituales Fuente sonora Intensidad sonora en W m en db 0 Umbral de audición 0 Respiración normal 0 penas audible 0 Murmullo de hojas Susurros a 5 m Casa tranquila Oficina tranquila Voz humana a m Calle con tráfico intenso Fábrica Ferrocarril 0 00 Grandes altavoces a m 0 Umbral de dolor 0 Despegue de un reactor

42 El efecto Doppler. El tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja. Esto ocurre cuando un móvil que produce un sonido va en el sentido de las ondas sonoras, comprimiéndolas. l ser menor la longitud de onda, el sonido es más agudo. Por la parte posterior quedan más separadas, longitud de onda más grande igual a sonido más grave.

43 Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido en reposo. Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido en movimiento. Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido igualando a la velocidad del sonido. f = f (v v 0 )/(v v f )

44 Cuando v excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra. Frente de choque cónico Quizá oíste alguna vez de un avión que va mas deprisa que el sonido y rompe la barrera del sonido. Míralo 0 vt S 0 S S v S t S N 44