TEMA I.12. Ondas Estacionarias en una Cuerda. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Transcripción

1 TEMA I.12 Ondas Estacionarias en una Cuerda Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 13

2 Consideramos una cuerda de longitud L sujeta en ambos extremo (Ejemplo: Una cuerda de instrumento musical; guitarra, piano, vioĺın etc.). Cuando se pulsa la cuerda, se produce una onda que se refleja una y otra vez. La interferencia de las ondas forma una onda estacionaria. La vibración de la cuerda se transmite al aire, que vibra a la misma frecuencia que la cuerda. Como debe haber un nodo a ambos extremos, la longitud de la cuerda debe ser igual a: λ 2, 2λ 2, 3λ 2,..., n λ 2 L = n λ, n = 1, 2, 3,... (I.12.1) 2 TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 13

3 La condición para haber una onda estacionaria es: λ n = 2 L, n = 1, 2, 3,... (I.12.2) n A cada una de las posibles longitudes de ondas correspondería de una posible frecuencia: f n = ν/λ n La frecuencia más pequeña tiene la longitud más grande: n = 1 λ 1 = 2 L f 1 = ν (I.12.3) 2 L A esto se le denomina como frecuencia fundamental del sistema. Las otras frecuencias serían los armónicos o sobretonos (ver Figura I.12.1). TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 13

4 Figura I.12.1: Los primeros cuatro modos normales de una cuerda fija en ambos extremos. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 13

5 La serie amónica esta dada por: f n = n ν 2 L = n f 1 (I.12.4) Para una cuerda con extremos fijos en x = 0 y x = L: y(x, t) = A oe sen(κ n x) cos(ω n t), con ω n = 2 π f n y κ n = 2π λ n (I.12.5) Un modo normal de un sistema oscilante, es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven sencillamente a la misma frecuencia. Para una cuerda de longitud L, las longitudes de ondas λ n, corresponden a modos normales. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 13

6 En un oscilador con una partícula, hay solo un modo normal. Para un sistema como una cuerda, hay un número infinito de modos normales. En un instrumento de música, en la vibración están presentes la fundamental y muchos sobretonos. El tono es una combinación o superposición de muchos modos. El contenido armónico: es el grado en que están presentes las frecuencias más altas que la fundamental. La onda estacionaria en la cuerda y la onda sonora viajando en el aire, tienen el mismo contenido armónico. El contenido armónico explica la riqueza y complejidad del sonido de los instrumentos de música. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 13

7 El análisis armónico consiste en encontrar la representación para una vibración dada. La suma de ondas senosoidales que representen una onda compleja es una serie de Fourier (ver Figura I.12.2). Como la frecuencia fundamental es dada como: f 1 = ν/2 L y donde ν = FT /µ f 1 = 1 FT /µ 2 L Instrumentos con L cortos (Viola, Vioĺın) producen sonido de alta frecuencia. (I.12.6) Aumentar la tensión F T también aumenta la frecuencia del sonido. Pero si µ aumenta (usando cuerdas mas gruesas como en el Cello o Bajo), la frecuencia baja (ver Figura I.12.3). TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 13

8 Figura I.12.2: La onda estacionaria que resulta de pulsar una cuerda de guitarra dándole una forma triangular se representa bien con la suma de funciones senosoidales. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 13

9 Ondas Estacionarias en una Cuerda Figura I.12.3: Comparacio n de gammas de un piano, un violı n, una viola, un cello y un contrabajo. en todos los casos, las cuerdas ma s largas producen notas graves y las ma s cortas notas agudas. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 13

10 Ejemplo: Vioĺın gigante Longitud de la cuerda: L = 5.0 m, densidad de masa lineal: µ = 40.0 grs/m. La frecuencia fundamental es f 1 = 20.0 Hz (frecuencia más baja que puede detectar el oído humano). La tensión en la cuerda es: F = 4 µl 2 f 2 1 = 4 ( kg m )(5.0 m)2 (20.0 s 1 ) 2 = 1600 N En comparación, un vioĺın real: F 100 N La frecuencia del segundo armónico (n = 2): f 2 = 2 f 1 = 40.0 Hz Con longitud de onda: λ 2 = 2 L/2 = 5.00 m TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 13

11 La frecuencia del tercero armónico (n = 3): f 3 = 3 f 1 = 60.0 Hz Con longitud de onda: λ 3 = 2 L/3 = 3.33 m Si la cuerda vibra a una cierta frecuencia, el aire vibra a la misma frecuencia f 1 = 20.0 Hz. Pero la velocidad de la onda es diferente en el aire y, por tanto, la longitud de onda. A 20 o C, la velocidad del sonido en el aire: ν = 344 m/s. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 13

12 Para la cuerda: λ 1 = 2 L = 2(5.00 m) = 10.0 m ν cuerda = λ 1 f 1 = (10.0 m)(20.0 s 1 ) = 200 m s En el aire λ sonido = ν sonido /f 1 = (344 m/s)/(20.0 Hz) = 17.2 m. Para cualquier modo normal, λ sonido > λ cuerda, por un factor de: ν sonido = 344m/s ν cuerda 200m/s = 1.72 TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 13

13 Ejercicio: Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo armónico a una frecuencia de 60 Hz. Cuál es la velocidad de las ondas transversales en ella? Ejercicio: Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos está vibrando en su tercer armónico. El desplazamiento máximo de los puntos de la cuerda es de 4 mm. La velocidad de las ondas transversales en ella es 50 m/s. (a) Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda? (b) Escribir la función de onda correspondiente a este caso. TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 13