UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA Departamento Académico de Ingeniería de Minas y Civil FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO N 1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SELECCIONADOS DEL LIBRO MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS - DINÁMICA R.C.HIBBELER 1ma EDICIÓN ASIGNATURA : DINAMICA (IC-244) ALUMNOS : ARROYO OSORIO, Jose Alberto BARRIENTOS RAMIREZ, Hennry GARCIA SAEZ,Edwin Carlos LUQUE MENDEZ, Yoel DOCENTE: Ing. Cristian CASTRO PEREZ Ayacucho- Peru 213

2 RESUMEN El presente trabajo contiene la re de los principales problemas seleccionados referidos a cinemática de una partícula y cinemática de un cuerpo rígido del libro Mecánica Vectorial para Ingenieros DINÁMICA Décima Edición del autor R.C.Hibbeler.

3 Índice 1. Problemas de Cinemática de una partícula Movimiento de un proyectil Movimiento Curvilíneo: componentes normal y tangencial Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos Movimiento Relativo: ejes en traslación Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares Problemas de Cinemática de un Cuerpo Rígido Movimiento Absoluto Movimiento Relativo: Aceleración Movimiento Relativo: Ejes en rotación

4 1 Problemas de Cinemática de una partícula 1. Problemas de Cinemática de una partícula 1.1. Movimiento de un proyectil PROBLEMA 1: Un carro viajando a lo largo de las posiciones rectas del camino tiene las velocidades indicadas en la figura cuando llega a los puntos A,B y C. Si le toma 3s ir de A a B, y luego 5 s ir de B a C, determine la aceleración promedio entre los puntos A y B; y entre A y C. Datos: t AB = 3s t BC = 5s v A = 2m/s v B = 3m/s v C = 4m/s θ = 45 Cuando se analiza el movimiento entre dos puntos, hallamos los componentes de la velocidad: v A(x) = 2îm/s v A(y) = ĵm/s v B(x) = 3cos45îm/s = 21,2132îm/s v B(y) = 3sen45ĵm/s = 21,2132ĵm/s v C(x ) = 4îm/s v C(y) = ĵm/s 4

5 1.2 Movimiento Curvilíneo: componentes normal y tangencial Como: a = v tramo AB: a AB = t a = dv dt t o adt = v v o dv a = (v v o) (t t o )...(a) ((21,2132î + 21,2132ĵ) (2î + ĵ))m/s 3s a AB = (,444î + 7,71ĵ)m/s2 tramo AC: a AC = ((4î + ĵ) (2î + ĵ))m/s 8s a AC = 2,5îm/s Movimiento Curvilíneo: componentes normal y tangencial PROBLEMA 2: Un tren esta viajando con rapidez constante de 14m/s por la trayectoria curva. Determine la magnitud de la aceleración del tren frente del tren B, en el instante en que alcanza el punto A ( y=). Pide hallar la magnitud de la aceleración en el punto A. Por definición la velocidad siempre esta dirigida tangencialmente a la trayectoria. Como: x = 1e y 15 5

6 1.2 Movimiento Curvilíneo: componentes normal y tangencial Entonces: La aceleración es determinada a partir de: ln x 1 = ln(e y 15 ) y 15 = ln x 1 y = 15 ln x 1 dy dx = 15 x d 2 y dx 2 = 15 x 2 a = vut + v2 ρ u n Sin embargo; primero es necesario determinar el radio curvatura de la trayectoria en A. Como: en el punto, x =1, el radio de curvatura: Como: ρ = d 2 y dx 2 = 15 x 2 ;y dy dx = 15 x [1 + ( dy dx )2 ] 3/2 d 2 y dx 2 15 [1 + ( 1 ρ = )2 ] 3/ ρ = 39,6m a t = v a t = dv dt a t =,puestoque : v = 14m/s Entonces: a n = v2 ρ a n = ,6 a n = 5,2m/s 2 a = a t 2 + a n 2 = a = 5,2m/s 2 () 2 + (5,2) 2 6

7 1.2 Movimiento Curvilíneo: componentes normal y tangencial PROBLEMA 3: El carro de carreras tiene una rapidez inicial v A = 15m/s en A. Si mientras recorre la pista circular el carro aumenta si rapidez a razón de a t = (,4s)m/s 2, donde s esta en metros, determine el tiempo necesario para que viaje 2m. Tome ρ = 15m. Primero es necesario formular a y v para ser evaluadas a s = 2m, entonces: at = v =,4s Ahora: Reemplazando: s v = dv dt dv ds.ds dt dv ds v at = dv ds v at.ds = v.dv v,4s ds = v dv s o v o ( ),4.s 2 s ( ) v 2 v = 2 2,4s = v ,2s 2 = v v 2 =,4s v =,4s = ṡ 7

8 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos El tiempo necesario para que el carro viaje puede ser determinado observando que la posición cambia, tenemos: Reemplazando: s s s ( ln s + v = ds dt dt = ds v 1 t,4s ds = dt ds,4s = t ds s ,5 =,63246t ) s s ,5 =,63246t ln(s + s ,5) ln(23,717) =,63246t t = ln(s + s ,5) ln(23,717),63246 El tiempo necesario para que viaje 2 m es por tanto. t = 1,21s 1.3. Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos PROBLEMA 4: Un automobil esta viajando por la curva circular de radio r=3 pies. En el instante mostrado, su razón angular de rotación es θ. =,4rad/s, la cual esta creciendo a razón de θ.. =,2rad/s. Determine la magnitud de la velocidad y la aceleración del automobil en ese instante. 8

9 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos Sabemos que la velocidad: Entonces la magnitud de la velocidad es: v r = ṙ = v θ = r θ = 3(,4) = 12pies/s v = v 2 r + v 2 θ = Ahora la aceleración: v = 12 pies/s a r = r r θ 2 = 3(,4) 2 = 48,pies/s 2 a θ = r θ + 2ṙθ.2 = 3(,2) + 2()(,4) = 6pies/s 2 Ahora la magnitud de la aceleración: a = a 2 r + a 2 θ = 48, a = 76,8pies/s 2 PROBLEMA 5: En el instante mostrado el rociador de agua esta girando con rapidez angular, θ = 2rad/s y aceleración angular θ = 3rad/s 2. Si la tobera se halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razón constante de 3m/s. determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de una partícula de agua cuando esta sale por el extremo abierto; r =,2m. r =,2 ṙ = r = hallando velocidad radial: v r = ṙ v r = 3m/s 9

10 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos hallando velocidad angular: v θ = r θ 2 = 2, θ = 3 v θ = (,2)(2) v θ =,4 m/s Hallando la magnitud de la velocidad: v = vr 2 + vθ 2 v = 3 2 +,4 2 v = 3,3 m/s hallando aceleración radial: Hallando aceleración zenital o colatitud: a r = r r θ 2 r θ 2 sen 2 θ } {{ } a r = r r θ 2 a r = (,2)(2) 2 a r =,8 m/s 2 a θ = r θ r 2ṙ θ r φ 2 senθcosθ } {{ } a θ = r θ r 2ṙ θ a θ = (,2)(3) + (2)(3)(2) a θ = 12,6 m/s 2 PROBLEMA 6: un automobil esta viajando a lo largo de una pista de estacionamiento por una rampa cilíndrica espiral con rapidez constante de v=1.5m/s. si la rampa desciende una distancia 12m en cada revolución completa. θ = 2πrad, determine la magnitud de la aceleración del automobil al moverse por la rampa, r=1m. Sugerencia para parte de la advierte que en cualquier punto la tangente a la rampa esta a un angulo de φ = tan 1 (12/[2π(1)]) = 1,81,desde la horizontal. Use esto para determinar las componentes de velocidad v θ y v z.que a su vez se usan para determinar θ y ż. 1

11 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos Analizando en la formula: reemplazando en la formula tenemos: a r = θ r θ 2 r θ 2 sin 2 θ } {{ } a r = θ r θ 2 v θ = r θ con r = 1,ṙ =, r = θ = v θ r θ = 1,473 1 θ =,1473 Hallando aceleración radial: a r = θ rθ 2 a r = (1)(,1473) 2 a r =,217 m/s 2 Hallando la aceleración Zenital o Colatitud: Hallando la aceleración Zenital: a θ = r θ r 2ṙ θ rφ 2 senθcosθ } {{ } a θ = r θ r 2ṙ θ a θ = 1() r 2()(,1473) a θ = m/s 2 a ϕ = 2ṙ ϕsenθ + 2r θϕcosθ + r ϕsenθ 11

12 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos Por formula tenemos que: a ϕ = m/s 2 ϕ = arctan 12 2π(1) ϕ = 1,81 v = 1,5 m/s v r = ṙ v r = v = ṙ + r θ + r ϕsenθ v θ = 1,5cos(1,81) v θ = 1,473 m/s v ϕ = 1,5sen(1,81) v ϕ =,2814 m/s PROBLEMA 7: el doble collar C esta conectado mediante un pasador de manera tal que un collar se desliza sobre una barra fija y el otro sobre una barra giratoria AB, si la velocidad angular de AB esta dada por θ = (e,5t2 ), donde et esta en segundos y la trayectoria definida por la barra fija es r =,4senθ +,2m, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleración del collar cuando t=1s, cuando t=, θ =. Use la regla de simpson para determinar θen,t = 1s. 12

13 1.3 Movimiento Curvilíneo: componentes cilíndricos θ = e,5t2 t=1 θ = 1,649 rad s θ = e,5t2 t=1 θ = 1,649 rad s Hallando θ : 1 θ = e,5t2 dt θ = 1,195rad/s θ = 68,47 la trayectoria de la barra fija es: r =,4sinθ +,2...(1) derivando para hallar la velocidad: ṙ =,4cos(θ)( θ)...(2) derivando para hallar la aceleración: r =,4sen( θ)( θ) 2 +,4cos(θ)( θ)...(3) reemplazando el ángulo en las ecuaciones tendremos los siguientes resultados: r =,4sinθ +,2...(1) r =,4sin(68,47) +,2 r =,5721 ṙ =,4cos(θ)( θ)...(2) ṙ =,4cos(68,47)(1,649) ṙ =,2424 r =,4sin( θ)( θ) 2 +,4cos(θ)( θ)...(3) r =,4sin(68,47)(1,649) 2 +,4cos(68,47)(1,649) r =,7694m/s 2 Hallando velocidad radial: v r = ṙ 13

14 1.4 Movimiento Relativo: ejes en traslación v r =,242 m/s v θ = r θ v θ = 943 m/s a θ = r θ + 2ṙ θ a θ = (,572)(1,649) + 2(,242)(1,649) a θ = 1,74 m/s Movimiento Relativo: ejes en traslación PROBLEMA 8: La arena cae del reposo.5m verticalmente sobre un canalón. Si entonces se desliza con velocidad v c = 2m/s por el canalón, determine la velocidad relativa de la arena justo al caer sobre el canalón en el punto A con respecto a la arena que se desliza hacia abajo por el canalón. Este forma un angulo de 4 con la horizontal. Datos: h =,5m v c = 2m/s Calculamos la velocidad en el punto A; pero como se trata de un movimiento vertical que ademas parte del reposo la v o =. Asiendo uso dela siguiente ecuación: v A 2 = v 2 + 2gh 14

15 1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares v 2 A = 2(9,81)(,5) v A = 3,1321m/s Expresando vectorialmente : v A = 3,1321ĵ...(α) Calculamos la velocidad relativav A/C para lo cual sabemos por definición que: v A = v C + v A/C...(1) Expresando vectorialmente: v C = v C(x), î + v C(y)j v C = 2cos4î 2sen4ĵ...(β) y; v A/C = v A/C(x) î + v A/C(y) ĵ...(θ) Sustituyendo (α);(β)y(θ)en(1) : 3,1321ĵ = 2cos4i 2sen4ĵ + v A/C(x)i + v A/C(y) ĵ ordenado y luego comparando termina: 2cos4î + (2sen4 3,1321)ĵ = v A/C(x) î + v A/C(y) ĵ v A/C(x) î = 2cos4 = 1,5321 v A/C(y) ĵ = 2sen4 3,1321 = 1,8465 Calculamos: v A/C = v 2 A/C(x) + v2 A/C(y) v A/C = 1, , v A/C = 2,4 m/s 1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares PROBLEMA 9: El vagón de mina de 4kg es levantado por el plano inclinado usando el cable y el motor M. Por un corto tiempo la fuerza en el cable es F = (32t 2 )N. donde t esta en segundos. Si el vagon tiene velocidad inicial v 1 = 2m/s en s= y t=, determine la distancia que se mueve hacia arriba por el plano cuando t=2s. 15

16 1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares Datos: m carro = 4kg F cable = 32t 2 N v 1 = m/s t 1 = s t 2 = 2s v 2 =?m/s Considerando el eje de referencia en el plano donde el carrito realiza movimiento. Calculamos la aceleración para la cual hacemos uso la segunda ley de newton. F x = m car a x 32t 2 4(9,81)senθ = 4a Sustituyendo senθ = 17 8 ;luego despejando se tiene: 32t 2 4(9,81) = a a = 8t 2 4,616...(1) Calculamos la velocidad, por definición se sabe que: Sustituyendo (1) en (β): a = dv dt dv = adt...(β) dv = (8t 2 4,616)dt integrando: v2 t2 dv = (8t 2 4,616)dt v 1 t 1 16

17 2 Problemas de Cinemática de un Cuerpo Rígido v Calculando el espacio recorrido: t = 2s: Sustituyendo (θ)en (δ) e integrando: t dv = (8t 2 4,616)dt ( ) 8t 3 t v = 3 4,616t + 2 v = 2,667t 3 4,616t (θ) x v = dx dt dx = vdt...(δ) 2 ds = (2,667t 3 4,616t + 2)dt x = 5,93 m 2. Problemas de Cinemática de un Cuerpo Rígido 2.1. Movimiento Absoluto PROBLEMA 1: La placa inclinada se mueve hacia la izquierda con velocidad constante v. Determine la velocidad angular y la aceleración angular de la barra esbelta de longitud l. La barra pivotea en el escalón localizado en C al deslizarse sobre la placa. calculamos el desplazamiento en x, hacemos uso de la ley d senos: x sen(φ θ) = 1 sen(18 φ) 17

18 2.1 Movimiento Absoluto Despejando por trigonometria se sabe sen(18 φ) = sinφ xsenφ = sen(φ θ)...(1) calculamos la velocidad, por teoría v = ẋ derivando(1): ẋsenφ = cos(φ θ). θ...(2) Por teoría se sabe que θ = w luego despejando: ẋsenφ = cos(φ θ).w...(2) w = ẋsenφ cos(φ θ) w = vsenφ cos(φ θ) rad/s...(3) w = vsenφ cos(φ θ) rad/s calculamos la aceleración angular. por teoría se sabe que α = θ para lo cual derivamos(2): ẍsenφ = cos(φ θ). θ sen(φ θ)( θ) 2 = cos(φ θ).α sen(φ θ)w 2 sustituyendo (3) en (4): α = sen(φ θ)w2...(4) cos(φ θ) sen(φ θ) α = cos(φ θ).( vsenφ cos(φ θ) )2 α = v2 (senφ) 2 sen(φ θ) 1.(cos(φ θ)) 3 rad/s 2 PROBLEMA 11: Los pasadores ubicados en A y B, están confinados para moverse en las guías vertical y horizontal. Si el brazo ranurado ocasiona que A se mueva hacia abajo a V A, determine la velocidad de B en el instante mostrado. 18

19 2.2 Movimiento Relativo: Aceleración Hallando el vector posición de A y B: r A = dî yĵ r B = xî hĵ Derivando tenemos las velocidades: v A = ẏ = v A ĵ v B = ẋ = v B ĵ de donde tenemos: ẏ = v A y ẋ = v B por otro lado: tanθ = h x = d y x = ( h d )y derivando tenemos: ẋ = ( h d )ẏ v B = ( h d )v A 2.2. Movimiento Relativo: Aceleración PROBLEMA 12: En el instante dado el miembro AB tiene los movimientos angulares mostrados. Determine la velocidad y la aceleración del bloque deslizable C en ese instante. 19

20 2.2 Movimiento Relativo: Aceleración Datos: ω = 3rad/s ω = 2rad/s Calculemos velocidad en B : v B = ω.r = 3,7 = 21pulg/s Calculemos velocidad en C : v C = v B + ω r C/B v C [ 4 5î 3 5ĵ] = 21î + ωˆk ( 5î 12ĵ) igualando vectores coordenados:,8v C = ω,6v C = 5ω resolviendo el sistema tenemos: ω = 1,125rad/s v C = 9,38pulg/s por otro lado tenemos: (a B ) n = ω 2.R = = 63pulg/s 2

21 2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotación (a B ) t = 2,7 = 14pulg/s luego a C = a B + α r C/B ω 2 r C/B reemplazando los valores, tenemos: a C ( 4 5î a C( 3 5ĵ = 14î 63ĵ + α ˆk ( 5î 12ĵ) 1,1252 ( 5î 12ĵ) igualando los vectores coordenados tenemos:,8a C = α + 6,33,6a C = 63 5α + 15,19 resolviendo tenemos a C = 54,7pulg/s 2 α = 3, rad/s 2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotación PROBLEMA 13: La bola B de tamaño insignificante rueda a través del tubo de manera que en el instante mostrado tiene velocidad de 5pies/s y aceleración de 3pies/s 2,medidas con respecto al tubo, Si el tubo tiene velocidad angular de ω = 3rad/s, y aceleración angular de α = 5rad/s en este mismo instante, determine la velocidad y aceleración de la pelota. Datos: v = a = 21

22 2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotación ω = 3ˆkrad/s ω = 5ˆkrad/s v B/ = 5îpies/s Utilizando las ecuaciones de la cinemática: a B/ = 3îpies/s2 v B = v + ω r B/o + ( v B/ ) rel...(1) a B = a + ω r B/ + ω ( ω r B/ ) + 2 ω v B/ + a B/...(2) reemplazando los datos en la ecuación (1),tenemos: v B = + 3ˆk 2î + 5î realizando las operaciones tenemos v B = (5î + 6ĵ)pies/s v B = 7,81 pies/s análogamente reemplazando en la ecuación (2),tenemos: a B = + 5ˆk 2î + 3ˆk (3ˆk 2î) + 2,3ˆk 5î + 3î realizando las operaciones se tiene: a B = ( 15î + 4ĵ)pies/s2 a B = 42,72pies/s 2 22