DINÁMICA MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DAS / KASSIMALI / SAMI AYACUCHO - PERÚ IC SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS RESPONSABLES INGENIERÍA CIVIL

Transcripción

1 INGENIERÍA CIVIL DINÁMICA IC - 44 UNVIERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DAS / KASSIMALI / SAMI SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS RESPONSABLES GÓMEZ CHUCHÓN, ESTEBAN CORONADO SAAVEDRA, JUAN CARLOS AYACUCHO - PERÚ

2 PRÁCTICA DOMICILIARIA DE DINÁMICA (IC-44) Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil

3 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA 1. Si se mueve la banda transportadora del problema 1.71 a una velocidad de 0 pies/s, determine el intervalo de la altura h de la banda transportadora con la cual can los bloques en la abertura. Ver Figura 1. Figura 1 agina de 17

4 1 SOLUCION a) Determinaremos el intervalo de altura para la abertura. b) Por caıda libre encontraremos ecuaciones para h y ho. 1 y = Vo to + gto c) Datos: Vo = 0 pies/s g = 3.18 pies/s t =? d ) Para h 1 h = V1 t1 + gt1 1 h = gt1 Entonces despejando t1 : s h g (1) ho g () x1 = Vox t1 (3) t1 = e) Para ho 1 ho = Vo t + gt 1 ho = gt Entonces despejando t s t = f ) Por M RU, para los dos casos. g) Reemplazando 1 en 3 para despejar h. r x1 = Vox h g agina 3 de 17

5 1 h g x1 g h=[ ] Vox x1 = Vox h = 4.87 pies h) Tambien tenemos: x = Vox t (4) i ) Reemplazamos en 4 para despejarho. r x = Vox ho g ho g g x ] ho = [ Vox x = Vox ho =.57 pies H = h ho H = H =.37 pies. Determine la altitud h y la velocidad vo de un avion que vuela hacia el oeste si un proyectil dirigido que suelta desde el aire choca contra un barco que navega hacia el norte a velocidad constante de 15 km/h, al llegar al punto B. Se muestra en la figura la posicion del barco en el instante en que el avi on suelta el proyectil. Ver Figura. SOLUCION a) Vc t = R b) t = 1 hora c) Vc t = 1.5 = t = 0.01 h d ) Por Pit agoras p r =.5 + h e) Velocidad cartesiana del punto A (velocidadinicial) Vxo = Vo cos α Vyo = Vo sin α agina 4 de 17

6 1 Figura Vo cos αt =.5 (5) Vy = Vo sin α gt (6) 1 Vo sin αt + gt = h (7) f ) Recordando 1 Vyo t + gt = h h = r sin ϕ.5 = r cos ϕ g) Dividiendo los anteriores h =.5 sin ϕ cos ϕ agina 5 de 17

7 1 h) Derivando cos ϕ + sin ϕ h =.5( ) cos ϕ.5 Vy = h = cos ϕ Vy =.5(.5 + h ).5 Vy =.5 +h.5 i ) Reemplazando.5 +h.5 Vo = = Vo sin α gt.5 +h.5 + gt j ) Reemplazando.5 +h gt + gt = h h h = 0 h = 08.3 [km] k ) Reemplazando ahora el valor de h Vo sin αt + gt = 08.3 Vo cos αt =.5 l ) Para t = 0.01h y g = 9.81 Vo sin α = 08.3 Vo cos α = 08.3 m) Dividiendo tan α = 1 α = 45o n) Reemplazando Vo sin 45o = 08.3 agina 6 de 17

8 1 Vo = [ km ] h 3. Se esta siguiendo el movimiento de un avion por medio de un radar, como se ilustra. Si rad/s, r = 1000 pies, r = 1000 pies/s, r = 40 en un instante, θ = 0.04 rad/s, 0.00 pies/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleracion del avion en ese instante. Ver Figura 3. Figura 3 SOLUCION a) En coordenadas polares - velocidad agina 7 de 17

9 1 eθ v = rˆ er + rθˆ v = 1000ˆ er (0.004)ˆ eθ v = 1000ˆ er + 840ˆ eθ v= p (1000ˆ er ) + (840ˆ eθ ) v = [ pies ] s b) En coordenadas polares - aceleracion eθ a = ( r rθ )ˆ er + (r θ + rθ)ˆ a = (40 100(0.04) )ˆ er + ((1000)(0.04) (0.00))ˆ eθ a = ˆ er + 1ˆ eθ a= a = 18.4 [ pies ] s 4. El colların A se mueve a lo largo de una guıa circular de radio e al girar el brazo OB en torno a O. Deduzca las expresiones de las magnitudes de la velocidad y aceleracion del θ, e. Ver Figura 4. colların A en funci on de θ, θ, SOLUCION a) Ubicamos el radio vector por Pitagoras en el triangulo 4 OC 0 A r = (e + e cos θ) + (e sin θ) r = e + e cos θ + e cos θ + e sin θ r = e + e cos θ + e (sin θ + cos θ) r = e + e cos θ, factorizando e : r = e (1 + cos θ), por intenditdad trigonometrica: r = e ( cos θ) agina 8 de 17

10 1 Figura 4 r= p e ( cos θ) r = e cos θ [m] b) Derivamos r r = eθ sin θ r = eθ sin θ e cos θθ c) Calculando la velocidad y aceleracion (en coordenadas polares) agina 9 de 17

11 1 eθ v = ρˆ ee + ρθˆ eθ v = eθ sin θˆ ee + e cos θθˆ v= p 4e θ sin θ + 4e θ cos θ v= q 4e θ (sin θ + cos θ) v = eθ [ m s ] d ) La aceleraci on es a = ( ρ ρϕ )ˆ er + (ρϕ + ρ ϕ)ˆ eϕ agina 10 de 17

12 1 e cos θθ ]ˆ eθ a = [(e cos θθ e sin θθ) ee + [e cos θθ + (e sin θθ θ)]ˆ ee + (e cos θθ 4e sin θθ )ˆ a = (4e cos θθ + e sin θθ)ˆ eθ a= a= a= a= a= q p + [e cos θθ 4e sin θθ ] [4e cos θθ + e sin θθ] 16e cos θθ 4 + 4e sin θθ + 16e cos θ sin θθ θ + 4e cos θθ + 16e sin θθ 4 16e sin θ cos θθ θ q 16e θ 4 (cos θ + sin θ) + 4e θ (cos θ + sin θ) p 16e θ 4 + 4e θ q 4e (4θ 4 + θ ) p m a = e 4θ 4 + θ [ ] s agina 11 de 17

13 1 CINEMATICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS 5. El brazo AC gira en sentido de las manecillas del reloj a una velocidad de 00 rpm. Usando el metodo del centro instantaneo de velocidad cero, determine la velocidad angular del brazo ranurado BD para la posici on que se muestra. Ver Figura 5. Figura 5 agina 1 de 17

14 1 SOLUCION a) Como el sistema est a interrelacionado, las velocidades van a ser iguales, es decir: VAC = VBD b) Por el metodo del centro instantaneo de rotacion (C.I.R.) VAC = ρ1 ωac ; ρ1 = 0 VAC = 0ωAC c) Ahora calculamos las velocidad angular (ωbd ) VBD = ρ ωbd d ) Despejamos ωbd VBD ρ e) Como: VAC = VBD = 0 ωbd = ωbd 0 =0 ρ ωbd = 0 [ rad s ] agina 13 de 17

15 1 Figura 6 6. El colların A se mueve hacia la derecha a velocidad constante de 10 m/s en la forma en que se ilustra. En la posicion dada (θ4 5o ). Determine a) la velocidad angular de la barra AB y b) la velocidad del punto B. Ver Figura 6. SOLUCION a) La velocidad VyA es igual a VxB VxA = 10 m/s VyA = VxB = 10 m/s b) Por C.I.R. VxA = ωa (d) VxA ωa = = d =.86 ωa =.86 [ rad ] s 7. La barra AB de la articulacion que se muestra en la figura tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad/s cuando θ = 60o. Determine las velocidades angulares del elemento BC y la rueda en este instante. Ver Figura 7. agina 14 de 17

16 1 Figura 7 SOLUCION a) Analizando vectorialmente Por inspeccion, las velocidades de los puntos B y C estan definidas por la rotacion del eslabon AB y la rueda alrededor de sus ejes fijos. Para llegar a la solucion, escribiremos la ecuaci on cinem atica apropiada para cada elemento. b) Eslab on AB vb = ωab rb ˆ (0. cos 60oˆi + 0. sin 60o ˆj) vb = (30k) vb = (5.ˆi 3.0ˆj) [ m s ] c) Eslab on BC VC = VB + ωbc rc/b VC ˆi = 5.ˆi 3.0ˆj + ωbc kˆ (0.1ˆi) VC ˆi = 5.0ˆi + (0.ωBC 3.0)ˆj agina 15 de 17

17 1 VC = 5.0 = 0 = 0.ωBC 3.0 ωbc = 15 [ rad ] s d ) Rueda VC = ωd rc ˆ (0.1ˆj) 5.ˆi = (ωd k) 5.0 = 0.1ωD ωd = 5.00 [ rad ] s 8. Se obliga a girar el brazo ranurado AOB alrededeor del punto O cuando se mueve el perno A a lo largo del carril horizontal. Para la posicion que se muestra, establezca la relacion entre la velocidad vb del perno B y la velocidad va del perno A. Ver Figura 8. SOLUCION a) Se sabe por definici on va = ω R a vb = ω Rb b) Radio de A - C.I.R. Ra = (a + y) = Ra = (y + a) c) Radio de B - C.I.R. Rb = (x b) = Rb = (x b) d ) Por teorıa sabemos va= ω Ra va= ω (y + a) e) La velocidad angular es la misma para ambos vb = ω Rb vb = ω (x b) f ) Haciendo relaci on de velocidades va ω (y + a) = vb ω (x b) agina 16 de 17

18 1 Figura 8 VA = VB y+a xb agina 17 de 17