DINÁMICA DAS / KASSIMALI / SAMI MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS IC RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS II PRÁCTICA ESTUDIANTES

Transcripción

1 DINÁMICA IC UNVIERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA DAS / KASSIMALI / SAMI MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS II PRÁCTICA ESTUDIANTES Marcelo Gamboa, Russel Bellido Arango, Miguel De La Cruz Quispe, Giovanny Ataucusi choquecahua, Clever

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL PRÁCTICA 2 Curso DINÁMICA (IC-244) Docente Ing Cristian Castro Perez Estudiantes 1. Marcelo Gamboa, Russel 2. Bellido Arango, Miguel 3. De La Cruz Quispe, Giovanny 4. Ataucusi choquecahua, Clever Ayacucho - Perú 2013

3 1. EJERCICIO 1 Se coloca un bloque de 3 kg sobre un disco horizontal que esta inicialmente en reposo. El disco se hace girar en torno en torno al eje vertical con una aceleración constante de θ = 1.2rad/s 2. Si en coeficiente de fricción estática entre el bloque y el disco es 0.3, determine el tiempo que le toma al bloque comenzar a moverse sobre el disco. Pág.1 de 27

4 1. m = 3 kg 2. θ = 1.2 rad/s 2 3. µ = Fy = 0 N 1 = mg F = mac µmg = mω 2 1r ω 2 1 = µg r (esta es la velocidad justo antes de deslizarse) ω 1 = rad s 5. Por las ecuaciones del movimiento circular: ω 2 1 = ω αθ ω 2 1 = 2αθ θ = µg 2αr θ = rad θ = 1 2 αt2 t = 1.16 s Pág.2 de 27

5 2. EJERCICIO 2 Una caja de cartón de 100 kg se separa de un transportador con una velocidad de 5 m/s y se desliza hacia debajo de un conducto inclinado 10 0, como se ilustra. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el conducto es 0.1, determine la deformación máxima del amortiguador de resorte. La constante del resorte del amortiguador es 30 kn/m. 1. Analizaremos en el momento en que la caja y el tope chocan y se van moviendo juntos deformando el resorte. 2. Hallando la energía cinética en ese instante que vendría a ser la inicial: Pág.3 de 27

6 T 0 = mv2 0 2 = = 1250 J 3. En el instante de máxima deformación del resorte la energía cinética final será 0 ya que su velocidad será nula: T f = 0 J. 4. El trabajo efectuado por el rozamiento sobre la caja cuando se desliza por el suelo una distancia adicional x max es: U i f = xmax dx = 9.848(x max ) 5. Tomando como referencia la posición ocupada por la caja cuando entra en contacto con el tope, la energía potencial gravitatoria es nula. Y la energía potencial gravitatoria final será: v g = mgh = (100)(9.81)(x max sin 10 0 ) = ( x max sin 10 0 ) = (x max ) 6. Como en el instante en que la caja está en contacto con el tope el resorte no se deforma entonces la energía potencial elástica final será: v s = k (x max) 2 2 = 3000(x max) 2 2 = 1500(x max ) 2 7. El teorema de las fuerzas vivas da entonces: (x max ) 2 = (x max )+1500(x max ) 2 Entonces: x max = m Por lo tanto la deformación máxima es m 3. EJERCICIO 3 Una partícula de 3 libras se suelta del reposo en el punto A sobre la varilla circular de guía que se ilustra. Si la varilla es lisa, determine la velocidad de la partícula al llegar al punto B. la Pág.4 de 27

7 longitud no deformada del resorte es 4 pulg y la constante del resorte es 20 lib/pulg. 1. De la figura mostrada hallaremos la deformación del resorte y las alturas en A y B Del triangulo CAO tenemos: (4+x A ) 2 = Pág.5 de 27

8 x A = 45 4 x A = pulg 2. Del triangulo OBD tenemos: (4 + x B ) 2 = ( 18 3) 2 x A = x A = pulg 3. Ahora por la conservación de la energía: EM A = EM B mv 2 A 2 mv 2 B 2 mv 2 B 2 + kx2 A 2 + mgh A = mv2 B 2 = k(x A x B ) 2 2 = + mg(h A h B ) + kx2 B 2 + mgh B k(xa x B ) 2 + 2mg(h A h B ) 4. Reemplazando sus valores: con g = pulg/s 2 20(7.156) + 2(3)(388.89)(1.757) v B = v B ) = m v B = pulg/s 4. EJERCICIO 4 Un automóvil de 2000 lb que viaja hacia el este choco con otro auto de 3000 lb que iba hacia el norte. El choque de los dos autos ocurrió a una velocidad que da la expresión V = 30i + 20j Pág.6 de 27

9 (pies/s).determine la velocidad de cada uno de los autos antes del choque. 1. Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento de dos partículas m A v A + m B v B = (m A + m B ) v f 2000 v A i v B j = 5000(30i + 20j) 2 v A i + 3 v B j = 150i + 100j 2. Realizando la igualación de ecuaciones tenemos: v A = 75i m/s v B = 33.3j m/s 5. EJERCICIO 5 Pág.7 de 27

10 Dos esferas de 5 kg están montadas en dos barras rígidas de masa despreciable y longitud de 5 m y están girando libremente alrededor de una flecha vertical, como se ilustra. La flecha vertical está girando a una velocidad de 120 rpm cuando θ = Determine la velocidad angular cuando θ = Pág.8 de 27

11 1. Escribimos a la ecuación de momentum angular H 0 = rxm v H 0 = rmv 2. Los datos requeridos de la figura r = L sin θ v θ = L sin θω θ H 0 = (L sin θ)(m + m)(l sin θω θ ) H 0 = (L 2 sin 2 θ)(2m)(ω θ ) 3. Este sería la ecuación general dependiendo de un ángulo cualquiera, en el momento de rotación. Ahora queremos para un ángulo de 60 0 y 45 0 en el cual el momento angulas es el mismo: H 0 = (L 2 sin 2 θ)(2m)(ω 45 0) = L 2 sin 2 θ)(2m)(ω 60 0) ω 45 0 = sin sin ω 60 0 ω 45 0 = 180 rpm 6. EJERCICIO 6 Tres partículas A, B y C que pesan 5 lb, 10 lb y 20 lb, cada una, ocupan posiciones definidas por sus respectivos vectores de posición r a = t 2 i2tj (pies), r b = j 3tk pies, r c = 2t 2 i+3tk pies, en donde t esta en s. Determine el vector de velocidad y el vector aceleración del centro de masa del sistema de tres partículas en el momento t = 5 s. Pág.9 de 27

12 Datos: w a = 5lb ; r a = t 2 i + 2tj pies w b = 10lb ; r b = j 3tk pies w c = 20lb ; r c = 2t 2 i + 3tk pies 1. Para los vectores de posición hallamos la primera y segunda derivada r a = t 2 i + 2tj (pies); r b = j 3tk (pies) y r c = 2t 2 i + 3tk (pies) Derivando por primera vez: r a = t 2 i + 2tj r b = 3k r c = 4ti + 3k Derivando por segunda vez: r a = 2i r b = 0 r c = 4i Pág.10 de 27

13 2. Para el vector de velocidad v c = w a r a + w b r b + w c r c w a + w b + w c 5(2ti + 2j) + 10( 3k) + 20(4ti + 3k) v c Para t = 5s. v c = 12.86i j k 3. Para el vector aceleración a c = w a r a + w b a r b + w c r c w a + w b + w c 5(2i) + 10(0) + 20(4i) a c = a c = 90i 35 a c = 2.57i 7. EJERCICIO 7 Un meteorito que entra a la atmósfera terrestre a una velocidad de 3000 mph se divide en dos partes, como se ilustra. Los fragmentos continúan dentro del plano xy. Un radar rastrea el cuerpo en desintegración y determina la velocidad del fragmento A como a = 3200 mph. El fragmento B se recupera en la tierra y pesa W b = 7000 lb. Determine el peso total del meteorito. 1. En la dirección x w o (v ox ) = w a (v a cos35 0 ) + w b (v b cos65 0 ) Pág.11 de 27

14 2. En la dirección y w o (v oy ) = w a (v a sen35 0 ) w b (v b sen65 0 ) 3. Operando se tiene: w o (v ox ) = (w o w b )(v a cos35 0 )+w b (cos65 0 )(w o w b ) (sen350 ) sen65 0 w o (3000) = (w o 700)(3200cos35 0 ) + 700(cos65 0 )(w o 700) (sen350 ) sen65 0 w o = 5075 lb 8. EJERCICIO 8 El bloque A con masa de 75 kg está sujeto al bloque B con masa de 50 kg por medio de un cordón inextensible, como se ilustra. Si se libera el sistema para que salga de reposo, determine la velocidad de cada bloque después de que el bloque A se haya Pág.12 de 27

15 movido hacia la derecha 0.75 m. el coeficiente de fricción en la superficie horizontal el Considérese que la polea carece de masa. 1. La ecuación del trabajo y la energía cinética aplicado al sistema de los dos pasos es: (T 1 + T 2 ) A + (U A B ) 1 + (U A B ) 2 = (T 1 + T 2 ) B 2. Dónde inicialmente está en reposo el sistema,entonces: (T 1 + T 2 ) A = 1 2 (w 1 g + w 2 g )(02 ), es la energía cinética. 3. Y después de haber recorrido una distancia d=0.75 m (T 1 + T 2 ) B = 1 2 (w 1 g + w 2 g )(v2 ), es la energía cinética final. 4. Para el trabajo realizado del punto A B (U A B ) 1 = w 2 d (U A B ) 2 = (( un + w 1 ) d) Pág.13 de 27

16 DINAMICA IC Reemplazando en la ecuacio n en la ecuacio n (1) 1 w1 w w2 d + (( un + w1 ) d) = ( + )(v 2 ) 2 g g (( )) 0.75 = (v)2 2 v = 0.62 m/s 9. EJERCICIO 9 Un cohete suplementario o de arranque que pesa inicialmente lb (incluyendo la estructura del cohete y el combustible) se emplea para impulsar una carga u til de 2000 lb en o rbita alrededor de la tierra. La carga de combustible del cohete suplementario es de lb y el cohete consume combustible a razo n de 600 lb/s. los gases de escape salen del cohete a una velocidad constante de pies/s con relacio n a la boquilla de descarga. Determine la velocidad ma xima del cohete y la carga u til despue s de que se dispara el cohete verticalmente desde el terreno Pa g.14 de 27

17 1. La velocidad del cohete en el momento t puede expresarse. v = (v rel + (pa) sal k m o ln( m o Kt ) 2. Se sustituyen los siguientes valores: 3. Velocidad de los gases con relación al cohete, v rel = pies/s 4. Rapidez de consumo de combustible, K = 60/g slug/s 5. masa inicial total, m o = g 6. masa del combustible, m comb = g slug 7. Duración del combustible, t b = m comb K t b = 54000g 600g = 90s v = (10000)ln( ) 32.2(90) v = pies/s 10. EJERCICIO 10. La barra uniforme de 50 kg que se muestra en la figura esta soportada por un perno en O y se libera de un estado de reposo. La barra gira en el sentido de las manecillas del reloj por su propio peso en el plano vertical. Determine la aceleración angular de la barra en el instante que se muestra. Pág.15 de 27

18 1. Primero calculamos el momento de inercia respecto al eje de giro O I o = I g + md 2 (teorema de los ejes paralelos) I o = 1 12 ml2 + md 2 I o = I o = kgm 2 2. Aplicando la segunda ley de newton Mo = I o α rmg = I o α α = α = 0.63 rad/s EJERCICIO 11. Un disco uniforme de 100 lb gira sin deslizarse hacia debajo de una pendiente de Una fuerza horizontal F = 20 lb actúa en oposición al movimiento, como se muestra. Determine la aceleración del centro del disco. Pág.16 de 27

19 1. Primero calculamos el momento de inercia del disco I o = mr 2 I o = = 400 lbft 2 2. Aplicamos la segunda ley de newton al sistema Mo = I o α Pág.17 de 27

20 f r xr == 400xα f r = α = 200α 3. Nuevamente la segunda ley de newton pero en el eje x M = ma mg sin θ f r F cos θ = m 9.81 sin sin α 20 cos 30 0 = sin 30 0 α = 0.86 rad/s EJERCICIO 12. Una barra de 40 kg comienza a deslizarse sobre un piso y una pared, como se ilustra. Si el coeficiente de fricción cinética entre las superficies de la pared y el piso y los puntos extremos de la barra es µ k = 0.20, determine la aceleración angular inicial de la barra y las fuerzas normal y de fricción ejercidas sobre la barra en A y B. Pág.18 de 27

21 Datos: m = 40 kg µ = 0.20 L = 4 m 1. Del análisis vectorial tenemos: a b = a a + a b/a a x = 2α cos 40 0 a y = 2α sin Aplicando la segunda ley de newton Mo = I α + m ad mg(2 sin 30 0 ) 0.20N b (4 sin 30 0 ) 0.20N a (4 cos 30 0 ) = 1 12 md2 α+ma x (2 cos 30 0 )+ma y (2 sin 30 0 ) (2 sin 30 0 ) 0.20N b (4 sin 30 0 ) 0.20N a (a cos 30 0 ) = α α (2 cos ) α (2 sin ) N b 0.69N a = 53.4α α + 40α α = N b N a Pág.19 de 27

22 3. En el eje X Fx = ma x N b 0.20 N a = 40 2 cos 30 0 N b = N a 3. En el eje Y Fx = ma y N a N a b = 40 2 sin Entonces: N b = N a = α = 1.56 rad/s EJERCICIO 13. Dos bloques A(m a = 15 kg) y B(m b = 15 kg) están unidos por un cordón inextensible que esta enrollado en un tambor desbalanceado con radio de 1.5, masa de 25 kg y radio de giro de 0.7 m respecto a O. en la posición que se muestra, el tambor gira en el sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular de 3 rad/s. determine la velocidad angular del tambor cuando el centro de masa C del tambor llega al punto directamente abajo del centro de rotación O. Pág.20 de 27

23 Datos: A = 15 kg B = 50 kg r = 1.5 m r = 25 mkg k o = 0.70 m ω 1 = 3 rad/s ω 2 =? 1. Y por dato el sentido del tambor es en dirección de las manecillas del reloj. Sabemos que T 1 + U 1 2 = T 2 Pág.21 de 27

24 T 1 = 1 2 m av 2 a m bv 2 b + I o (ω 1 ) 2, pero v = ω r T 1 = 1 2 m a(ω 1 r) m b(ω 1 r) I a(ω 1 ) 2 T 2 = 1 2 m a(ω 2 r) m b(ω 2 r) I a(ω 2 ) 2 2. Hallando la ecuación para el trabajo: U 1 2 = ω B d ω A d, d = π r, es la distancia que avanza. 3. Sabemos que: I o = m t k 2 o = = kgm 2 4. Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ecuación general,entonces: 1 2 m a(ω 1 r) m b(ω 1 r) I a(ω 1 ) 2 + ω B d ω A d = 1 2m a (ω 2 r) m b(ω 2 r) I a(ω 2 ) 2 ω 2 = 18 rad/s 14. EJERCICIO 14. La placa triangular de 50 lb está en reposo sobre la superficie horizontal lisa. Durante 7 s está sometida la acción de las fuerzas horizontales que se indican. Determine la velocidad del centro de masa de la placa y su velocidad angular después de 7 s. Pág.22 de 27

25 1. Hallamos la velocidad del centro de masa. 2. Aplicamos la ecuación de principió de impulso angular y momento angular (m v c ) 1 + t 2 3. Aplicamos en el eje X t 1 F dt = (m v c ) 2 ( ) 1 + (30 40) 7 = ( v cx) 2 v cx = 1.4 m/s 4. Aplicamos en el eje Y (m v c ) 1 + t 2 t 1 F dt = (m v c ) 2 50 ( ) 1 + ( ) 7 = ( v cy) 2 Pág.23 de 27

26 5. Ahora hallamos la velocidad angulas para lo cual el sentido horario será positivo I c W 1 + t 2 t 1 M dt = I c ω ( ) 7 = I c W 2 ω 2 = 185 I c triangular es: ω = 309 rad/s, donde el momento de inercia del la placa 15. EJERCICIO 15. Una barra uniforme de 10 lb (longitud=3 pies) se libera desde el estado de reposo θ = Determine la velocidad angular de la barra después de t = 0.06 s, suponiendo que la articulación situada en O carece de fricción y que la variación del ángulo de posición θ durante el periodo de impulso t es despreciable. El movimiento tiene lugar en el plano vertical. Pág.24 de 27

27 1. De la gráfica: M0 = I α + mad mg( L 2 ) sin θ = 1 12 ml2 α + L 2 (sin θ)2 (m L 2 )α 2g sin θ α = L(sin 2 θ + 1/3). 2g sin θ ωl = L(sin 2 θ + 1/3) 2g sin θ ω = L 2 (sin 2 θ + 1/3) 2. Para θ = 75 0,g = pulg/s 2 y L = 3pies ω = 2(388.89) sin( ) 3 2 (sin 2 ( ) + 1/3) ω = rad/s 16. EJERCICIO 16. Una barra uniforme tiene una masa de 10kg y una longitud de 1 m. La barra gira en el plano horizontal alrededor de su eje vertical situado en O, como se ilustra en la figura. La barra tiene un velocidad angular de 5rad/s en el sentido de las manecillas del reloj cuando es golpeado por e una partícula B que tiene una masa de 100g y una velocidad de 200m/s en la dirección que la del movimiento del punto de contacto en la barra. Si el coeficiente de restitución es cero y después del impacto la velocidad angular de la barra es 10rad/s, determine la ubicación de X p con relación a la articulación en O del punto de impacto P. Pág.25 de 27

28 1. Escribimos la ecuación de conservación angular cuando se expresa con respecto al momento en O da: (H 0 ) i = (H 0 ) f 2. El sentido positivo del momento los manejaremos en sentido horario: m b v b r + I 0 W i = m b v b r + I 0 W f 3. Además sabemos que la inercia de la barra es: I 0 = 1 3 m b L 2 I 0 = Remplazamos los valores en la ecuación: X p = X p v bf Además nos dice que el coeficiente de restitución es cero e = v pf v bf v pi v bi = 0 v pf = v bf. Además sabemos que lav pf = ω p r Pág.26 de 27

29 6. Entonces v bf = 10 X p 7. Volviendo a la ecuación, tenemos: X p = X p v bf X p = X2 p X p = 0.87 m Pág.27 de 27