850 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

Transcripción

1 850 CAPÍTULO Funciones vectoriales Eploración de velocidad Considérese el círculo dado por Usar una herramienta de graficación en modo paramétrico para repretar este círculo para varios valores de. Cómo afecta a la velocidad del punto final cuando se traza la curva? Para un valor dado de, parece ser constante la velocidad? Parece ser constante la aceleración? Eplicar el razonamiento. Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores funciones vectoriales a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en el espacio puede desarrollarse de manera similar.) Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada la coordenada de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar ƒ g para repretar estas dos funciones, es conveniente escribir Por tanto, el vector de posición toma la forma Vector de posición. Lo mejor de este modelo vectorial para repretar movimiento es que se pueden usar la primera la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad la aceleración del objeto. (Ha que recordar del capítulo anterior que la velocidad la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud dirección.) Para hallar los vectores velocidad aceleración en un instante dado t, considérese un punto que se aproima al punto a lo largo de la curva dada por como se muestra en la figura.. A medida que la dirección del vector (denotado por ) se aproima a la dirección del movimiento en el instante t. lím lím Si este límite eiste, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de Por tanto, la dirección de da la dirección del movimiento en el instante t. La magnitud del vector da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes. Vector velocidad en el instante t Vector velocidad en el instante t t 0 para hallar C P r Q r(t) r(t + t) Figura.

2 SECCIÓN.3 Velocidad aceleración 85 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si son funciones de t que tienen primera segunda derivadas r es una función vectorial dada por entonces el vector velocidad, el vector aceleración la rapidez en el instante t se definen como sigue. Velocidad Aceleración Rapidez Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares. Es decir, si entonces Velocidad Aceleración Rapidez En el ejemplo, nótese que los vectores velocidad aceleración son ortogonales en todo punto en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante. (Ver ejercicio 57.) Hallar el vector velocidad, la rapidez el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por Solución El vector velocidad es Vector velocidad. La rapidez (en cualquier instante) es Rapidez. Círculo: + = 4 El vector aceleración es Vector aceleración. a(t) v(t) Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo son Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular Ecuación rectangular. r(t) t t i cos j Por tanto, la curva es un círculo de radio centrado en el origen, como se muestra en la figura.. Como el vector velocidad Figura. tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.

3 85 CAPÍTULO Funciones vectoriales Dibujar la traectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por hallar los vectores velocidad aceleración cuando Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas se puede determinar que la curva es una parábola dada por como se muestra en la figura.3. El vector velocidad (en cualquier instante) es el vector aceleración (en cualquier instante) es Vector velocidad. Figura.3 Sol a Figura.4 Cuando Cuando Vector aceleración. los vectores velocidad aceleración están dados por v(0) (0)i j j a(0) i. los vectores velocidad aceleración están dados por v() ()i j 4i j a() i. Si el objeto se mueve por la traectoria mostrada en la figura.3, nótese que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de apunta hacia la derecha). Esto implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la parábola. Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen traectorias parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida que se aproima al vértice de su traectoria disminue cuando se aleja del vértice. (Ver figura.4.) Curva: r(t) = ti + t 3 j + 3tk, t 0 Dibujar la traectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada por hallar los vectores velocidad aceleración cuando z (,, 3) 4 v() a() C 0 Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas se puede determinar que la traectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por Como el objeto parte de se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como se muestra en la figura.5. Como se tiene Vector velocidad. 4 Figura.5 Vector aceleración. Cuando los vectores velocidad aceleración están dados por v() r () i 3j 3k a() r () j.

4 SECCIÓN.3 Velocidad aceleración 853 Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad la aceleración derivando la función de posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. Un objeto parte del reposo del punto P(,, 0) se mueve con una aceleración Vector aceleración. donde de se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después segundos. Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene Como el objeto parte del punto se tiene Para hallar la función de posición, ha que integrar dos veces, usando cada vez una de las condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es donde Haciendo aplicando la condición inicial se obtiene Curva: r(t) = i t ( j t k ) z Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es Integrando una vez más se obtiene Vector velocidad. C 4 4 r() (,, 0) t = 0 (, 4, 4) t = donde Haciendo aplicando la condición inicial r(0) i j, se tiene Figura. Por tanto, el vector posición es La posición del objeto después de como se muestra en la figura.. segundos está dada por

5 854 CAPÍTULO Funciones vectoriales v 0 velocidad inicial v 0 v(0) v(t ) a a a Altura inicial Figura.7 v(t ) Ahora a se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la traectoria de un proectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un proectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical que puede repretarse por el sistema de coordenadas con el origen correspondiente a un punto sobre la superficie de la Tierra (figura.7). Para un proectil de masa m, la fuerza gravitatoria es Fuerza gravitatoria. donde la constante gravitatoria es pies por segundo al cuadrado, o 9.8 metros por segundo al cuadrado. Por la segunda le del movimiento de Newton, esta misma fuerza produce una aceleración satisface la ecuación Por consiguiente, la aceleración del proectil está dada por lo que implica que Aceleración del proectil. Un proectil de masa m se lanza desde una posición inicial Hallar su vector posición en función del tiempo. con una velocidad inicial Solución Se parte del vector aceleración se integra dos veces. Se puede usar el hecho de que para hallar los vectores constantes Haciendo esto se obtiene Por consiguiente, el vector posición es v 0 = v 0 = rapidez inicial r 0 = h = altura inicial v 0 j En muchos problemas sobre proectiles, los vectores constantes no se dan eplícitamente. A menudo se dan la altura inicial la rapidez inicial v 0 el ángulo con que el proectil es lanzado, como se muestra en la figura.8. De la altura dada, se puede deducir que Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que se puede escribir Por tanto, el vector posición puede epresarse en la forma h i r 0 = v 0 cos = v 0 Figura.8

6 SECCIÓN.3 Velocidad aceleración 855 TEOREMA.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL Despreciando la resistencia del aire, la traectoria de un proectil lanzado de una altura inicial con rapidez inicial ángulo de elevación se describe por medio de la función vectorial donde g es la constante de la gravedad. Figura pies 300 pies 0 pies Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 00 pies por segundo con un ángulo de 45 respecto al suelo, como se muestra en la figura.9. Hallar la altura máima que alcanza la pelota de béisbol. Pasará por encima de una valla de 0 pies de altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento? Solución Se tienen dados Así, tomando pies por segundo al cuadrado se obtiene La altura máima se alcanza cuando lo cual implica que segundos. Por tanto, la altura máima que alcanza la pelota es pies. Altura máima cuando segundos. La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando Despejando t de esta ecuación se obtiene altura de la pelota es segundos. En este instante, la pies. Altura cuando segundos. Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 0 pies.

7 85 CAPÍTULO Funciones vectoriales En los ejercicios a 0, el vector posición r describe la traectoria de un objeto que se mueve en el plano. Dibujar una gráfica de la traectoria dibujar los vectores velocidad aceleración en el punto dado Función posición 4. r t ti t 4 j 5. r t t i t 3 j Punto En los ejercicios a 0, el vector posición r describe la traectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapidez aceleración del objeto. Aproimación lineal En los ejercicios se dan la gráfica de la función vectorial un vector tangente a la gráfica en. a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica en b) Utilizar las ecuaciones de la recta para aproimar... r t 4t 3 i tj 3, 7., 3,. r t ti 5tj 3tk. r t 4ti 4t j t k 3. r t ti t j 4. r t 3ti tj k 5. r t ti t j 9 t k. r t t i t j t 3 k 7. r t 8. r(t cos t, t, t 9. r t 0. r t ln t, t, t4 t 4t, 3 cos t, 3 t e t cos t, e t t, e t 4 t k En los ejercicios 3 a 8, usar la función aceleración dada para determinar los vectores velocidad posición. Después hallar la posición en el instante a t 3k v 0 3i j k, 7. a t cos ti tj v 0 j k, 8. a(t) e t i 8k r 0 v 0 i 3j k, r 0 5j k i r 0 0 Movimiento de proectiles En los ejercicios 9 a 44, usar el modelo para el movimiento de un proectil, suponiendo que no ha resistencia del aire. 9. Hallar la función vectorial de la traectoria de un proectil lanzado desde una altura de 0 pies sobre el suelo con una velocidad inicial de 88 pies por segundo con un ángulo de 30 sobre la horizontal. Usar una herramienta de graficación para repretar la traectoria del proectil. 30. Determinar la altura máima el alcance de un proectil disparado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo con velocidad inicial de 900 pies por segundo con un ángulo de 45 sobre la horizontal. 3. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo, se aleja del bate con un ángulo de 45 es cachada por un jardinero a 3 pies sobre el nivel del suelo a 300 pies del plato de lanzamiento. Cuál es la rapidez inicial de la pelota qué altura alcanza? 3. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al jugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 millas por hora con un ángulo de 5 con la horizontal. A qué altura cacha la pelota el jugador de primera base? 33. Eliminar el parámetro t de la función de posición para el movimiento de un proectil mostrar que la ecuación rectangular es 5 z (3, 4, 4) 34. La traectoria de una pelota la da la ecuación rectangular 4 Usar el resultado del ejercicio 33 para hallar la función de posición. Después hallar la velocidad la dirección de la pelota en el punto en que ha recorrido 0 pies horizontalmente. Figura para Figura para

8 858 CAPÍTULO Funciones vectoriales 50. a) Mostrar que la rapidez de la partícula es b) Usar una herramienta de graficación en modo paramétrico para repretar el círculo para Probar distintos valores de Dibuja la herramienta de graficación más rápido los círculos para los valores maores de 5. Hallar el vector aceleración mostrar que su dirección es siempre hacia el centro del círculo. 5. Mostrar que la magnitud del vector aceleración es Movimiento circular En los ejercicios 53 54, usar los resultados de los ejercicios 49 a Una piedra que pesa libra se ata a un cordel de dos pies de largo se hace girar horizontalmente (ver la figura). El cordel se romperá con una fuerza de 0 libras. Hallar la velocidad máima que la piedra puede alcanzar sin que se rompa el cordel. (Usar donde 59. Investigación Un objeto sigue una traectoria elíptica dada por la función vectorial a) Hallar b) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla. t 0 Rapidez c) Repretar gráficamente la traectoria elíptica los vectores velocidad aceleración para los valores de t dados en la tabla del inciso b). d) Usar los resultados de los incisos b) c) para describir la relación geométrica entre los vectores velocidad aceleración cuando la rapidez de la partícula aumenta cuando disminue. Figura para 53 Figura para Un automóvil de libras está tomando una curva circular de 300 pies de radio a 30 millas por hora (ver la figura). Supuesto que la carretera está nivelada, hallar la fuerza necesaria entre los neumáticos el pavimento para que el automóvil mantenga la traectoria circular sin derrapar. (Usar F ma, donde m 3 400/3.) Hallar el ángulo de peralte necesario para que ninguna fuerza de fricción lateral sea ejercida sobre los neumáticos del automóvil. 55. Lanzamiento de peso La traectoria de un objeto lanzado con un ángulo es donde es la rapidez inicial, es la altura inicial, es el tiempo en segundos es la aceleración debida a la gravedad. Verificar que el objeto permanecerá en el aire recorrerá una distancia horizontal de pies libra 300 pies pies. 30 mph 5. Lanzamiento de peso Un peso es lanzado desde una altura de pies con rapidez inicial pies por segundo con un ángulo de con la horizontal. Hallar el tiempo total de recorrido la distancia horizontal recorrida. 57. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus vectores velocidad aceleración son ortogonales. 58. Demostrar que un objeto que se mueve en línea recta a velocidad constante tiene aceleración nula. segundos 0. Considerar una partícula que se mueve sobre una traectoria elíptica descrita por r t a cos t i b t j, donde d dt es la velocidad angular constante. a) Encontrar el vector velocidad. Cuál es la rapidez de la partícula? b) Encontrar el vector aceleración demostrar que su dirección está siempre hacia el centro de la elipse.. Con las propias palabras, eplicar la diferencia entre la velocidad de un objeto su rapidez.. Qué se conoce acerca de la rapidez de un objeto si el ángulo entre los vectores velocidad aceleración es a) agudo b) obtuso? 3. Redacción Considerar una partícula que se mueve sobre la traectoria a) Analizar todo cambio en la posición, velocidad o aceleración de la partícula si su posición está dada por la función vectorial b) Generalizar los resultados a la función posición 4. Cuando t 0, un objeto está en el punto (0, ) tiene un vector velocidad v(0) i. Se mueve con aceleración a(t) ti cos t j. Mostrar que la traectoria del objeto es un círculo. Verdadero o falso? En los ejercicios 5 a 8, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o dar un ejemplo que pruebe que es falsa. 5. La aceleración de un objeto es la derivada de la rapidez.. La velocidad de un objeto es la derivada de la posición. 7. El vector velocidad apunta en la dirección de movimiento. 8. Si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, entonces los vectores velocidad aceleración son ortogonales.

9 Soluciones de los ejercicios impares A-3 i j k k i j k i j k i j r i j r i k i j k C i j k C i j k C i j C i j k i j k i j k i j i i j k j r r r

10 A-3 Soluciones de los ejercicios impares r i j