( t) MATEMATICAS. Respuesta No. 4 Hoja 1 de 3

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Carla Roldán de la Cruz
hace 6 años
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1 MATEMATICAS Pregunta No. 4 Tiempo: 5 min. Un proyectil es disparado con una velocidad desconocida, inicialmente con un ángulo de 3º respecto de la horizontal. Si se sabe que choca más arriba de la mitad de la altura de una loma cuya forma se aproima a ; y que el proyectil se disparó desde 4 metros a la izquierda de la parte más alta de la loma, y desde el nivel cero respecto de la loma. a) Con qué velocidad fue enviado el proyectil? b) Si además se sabe que alcanzó en su trayectoria, la altura máima poble en las condiciones dadas. Cuál era su velocidad inicial?

2 MATEMATICAS Respuesta No. 4 Hoja de 3 a) Conderando la ecuación dada para la loma, conviene tomar esa ecuación como base del stema de referencia, por lo que con el punto O como origen: se encuentra que la poción el proyectil en todo tiempo es: r ( t) 9.8t ( 4 V cos3 t) iˆ V sen3 t ˆj como la altura máima de la loma está en tanto, y tiene valor f ( ) 6 f '( ) por lo 6, por lo que la altura del choque del proyectil se alcanza en 8<y 6, por otro lado:

3 MATEMATICAS Respuesta No. 4 Hoja de , ±8 por lo que la poción horizontal del choque se da en 8 < < 8 La velocidad mínima del proyectil apenas alcanza el punto A, por lo que el punto de choque debe ser A( 8, 8). Igualando cada una de las componentes de r (t) a esta poción se encuentra que: t 4 8 cos 3 V, 4 8 cos sen3 cos 3 V 8 ; de donde se encuentra que: V > 5. 7 m seg

4 MATEMATICAS Respuesta No. 4 Hoja 3 de 3 Para el caso B( 8) 8, se tiene: t 4 8 cos 3 V donde se encuentra que:, sen3 cos3 cos3 V V m seg 8 ; Finalmente para que se cumplan las condiciones del impacto del proyectil la velocidad inicial debe de estar en el rango 5.7 m V 8. m seg < < 85 seg b) Puesto que el ángulo de inicio en la velocidad es fijo, se tiene que a mayor velocidad se alcanza mayor altura, por lo que para las condiciones impuestas al problema, la velocidad que satisface este requerimiento es V m seg el impacto se da en el punto B. que es cuando

5 MATEMÁTICAS Pregunta No. 3 Tiempo: 5 min. En el diseño de curvas de transferencia (cambios de vía) para enlazar secciones rectas de vías de ferrocarril, es importante saber que la aceleración del tren debe ser continua para que la fuerza reactiva ejercida por el tren sobre la vía sea también continua, esto ocurre la curvatura varía continuamente. Encuentren un polinomio de quinto grado que rva como curva de transferencia entre los segmentos de recta: y para y y para

6 MATEMÁTICAS Respuesta No. 3 Hoja de 4 Al insertar el tramo de vía, se puede modelar con la función: f ( ) P( ) < < donde P ( ) A B C D E F Luego, f '( ) P'( ) < <

7 MATEMATICAS Respuesta No. 3 Hoja de 4 y, por otra parte, κ ( ) P''( ) [ [ P'( ) ] ] 3 < < como 4 3 P '( ) 5A 4B 3C D E y 3 P''( ) A B 6C D Las condiciones que deben satisfacerse son: Lim P ( Lim P' ) ( ) Lim P ( ) ; Lim P' ( ) ; Lim κ ( ) Limκ ( ) ;

8 MATEMATICAS Respuesta No. 3 Hoja 3 de 4 Esto conduce a: D C B A D E D C B A E F E D C B A F Resolviendo el stema se obtiene:, 6, 8,, 3 F y E D C B A Con lo que la curva de transferencia queda representa con el polinomio: ) ( P

9 MATEMATICAS Respuesta No. 3 Hoja 4 de 4 y la gráfica de f () es:

10 MATEMATICAS Pregunta No. Tiempo: min. En el agua flota un barril cilíndrico de S pies de diámetro y P libras de peso. Después de un hundimiento inicial, su movimiento es oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, en línea vertical. Establezcan el modelo que describe el movimiento y la epreón para el desplazamiento vertical y(t ). Nivel del agua

11 MATEMÁTICAS Respuesta No. Hoja de 3 r s F y(t) F F F Empuje ( Ley P ( Peso del dearquímides) Cilindro)

12 MATEMÁTICAS Respuesta No. Hoja de 3 Se calcula el peso del agua en función del volumen del cilindro y la longitud vertical desplazada en el movimiento oscilatorio: V π r L radio r S r Longitud L L y( t) por lo tanto se obtiene: V π S 4 y( t) Se evalúa el peso del agua en función del volumen según el resultado anterior: P A m A g

13 MATEMÁTICAS Respuesta No. Hoja 3 de 3 ρ Como m V y tomando en cuenta el Principio de Arquímedes se tiene: P e π ρ S y( t) g 4 (Fuerza debido al empuje) Conderando la fuerza debido al peso del cilindro P d y c mcg, la Segunda Ley de Newton: F ma m, dt y tomando en cuenta las fuerzas involucradas, el modelo matemático que describe al fenómeno fíco del desplazamiento vertical y(t) es: m c d dt y P E P c d y π mc [ ρgs ] y( t) dt 4 m c g

14 MATEMÁTICAS Pregunta No. Tiempo: min. Cuando la masa m de un cuerpo que se mueve a través de un campo de fuerzas es variable, la segunda ley de Newton asume la guiente forma: Cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta F es igual a la rapidez de cambio del d F, donde movimiento del cuerpo ; esto es, (mv) dt mv es la cantidad de movimiento. Utilicen esta formulación de la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación diferencial que describa la guiente tuación: L ft, se sujeta Una cadena uniforme de longitud verticalmente de modo que el etremo inferior toque apenas el suelo. La cadena pesa lb El etremo superior que estaba sujeto se suelta partiendo del reposo cuando t, y la cadena cae directo hacia abajo. Desprecien la restencia del aire. S ft.

15 MATEMÁTICAS Respuesta No. Hoja de Peso de la cadena: Masa de la cadena: W m Segunda ley de Newton: variable. Lρ W g F ( d dt L (mv) ) ρ g donde m es Como no se toma en cuenta la restencia del aire, entonces: F W Por lo tanto, d dt d dt d dt ( [( [( mv L L ) Lρ ) ) ρ d g dt d dt ] ] Lρ Lgρ ρ

16 MATEMÁTICAS Respuesta No. Hoja de Aplicando la regla del producto se obtiene: d d d ( L ) dt dt dt Lg Por lo tanto la ecuación diferencial que describe al modelo es: d d ( L ) dt dt Lg

17 κ ( ) f'' ( ) [ ( ) ] 3 f' ( )

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