GEOMETRÍA I 23 de septiembre del 2011

Transcripción

1 GEOMETRÍA I 3 de septiembre del En el espacio ordinario se consideran las rectas l 1 : { x y + z = 1 x + y z = l : x 3 = y + 1 = z a. Hallar a IR para que exista un plano π que contenga a l 1 y sea perpendicular a l. Calcular la ecuación del plano π que lo verifica. Resp.: a = y π : 3x + y z = 3.. En un espacio ordinario hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1), es perpendicular al plano π : x y + z + 1 = 0 y es paralelo a la recta l dada por las ecuaciones x y = 0; z = 0. Resp.: x 4y 3z = Considerar la familia de planos λx + (λ + 1)y 3(λ 1)z + λ 4 = 0 en el espacio ordinario. Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta l : x + 3z 1 = 0, y 5z + = 0. Resp.: 4x + 3y 3z = Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 1, 1), es paralela al plano π : x y + z 3 = 0 y corta la recta l : x = 1, y = 3. Resp.: x = 1, y = z. (Soluciones en la página siguiente) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 1

2 SOLUCIÓN GEOMETRÍA I 3 de septiembre del 011: 1) La dirección de la recta l 1 está dada por el vector v 1 = (1, 1, 1) (, 1, 1) = (0, 3, 3). El vector director de la recta l es v = (3,, a). Las rectas l 1 y l han de ser perpendiculares, pues l 1 ha de estar contenida en el plano π que además debe ser perpendicular a l. Luego, v 1 v = (0, 3, 3) (3,, a) = a = 0 a =. Para determinar un punto de π tomamos uno cualquiera de la recta l 1, contenida en él. Por ejemplo, P (1, 0, 0). Así, la ecuación del plano π, que pasa por P (1, 0, 0) y de vector perpendicular (3,, ), es: 3(x 1) + (x 0) (z 0) = 0 3x + y z = 3. ) El plano que pasa por A(1, 0, 1) y contiene a los vectores u = (1, 1, ), perpendicular al plano π, y al vector v = (, 1, 0), director de la recta l, es: x 1 y z = x + 4y + 3z + 5 = ) Un vector perpendicular al plano a determinar ha de ser perpendicular a vector director de la recta l. Es decir, (λ, λ + 1, 3(λ 1)) ( 3, 5, 1) = 0 6λ + 5λ + 5 3λ + 3 = 4λ + 8 = 0 λ = El plano pedido tiene de ecuación: 4x + 3y 3z = 0. 4) Un vector perpendicular al plano π es u = (1, 1, 1). La dirección de la recta l viene dada por el vector v = (0, 0, 1). Un punto genérico de la recta l es de la forma (1, 3, t), t IR. La recta que se busca pasa por el punto A(1, 1, 1) y por algún punto de l; por lo que su vector director será de la forma a = (0,, t 1). Al ser paralelo a π, se tiene u a = 0, porque u a. (1, 1, 1) (0,, t 1) = + λ 1 = 0 λ = 3. Luego, a = (0,, ) y la ecuación de la recta que se busca es: O sea x = 1, y = z. x 1 0 = y 1 = z 1. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011

3 GEOMETRÍA I 14 de octubre del Dadas las rectas x y = 0, 3x y + = 0, determínese la ecuación de la recta que, pasando por el punto P (1, 0), corte a las rectas dadas en los puntos A y B, tales que P A = P B.. Ecuaciones de la semejanza con centro (punto fijo) en S(6, 0) y en la que A(0, 0) y A (0, 6 3) son homólogos. Comprobar que es la composición del giro de centro S y en el que son homólogas las rectas SA y SA con la homotecia de centro S y razón. 3. Hallar las coordenadas del centro del giro g = g 1 t v. siendo t v la traslación que lleva el origen de coordenadas al punto A(4, 4), y g 1 el giro de centro A y amplitud 90. Determinar las coordenadas del punto B homólogo de B(, ) en el giro g. 4. Se tiene un giro g 1 de centro C 1 el origen de coordenadas y de amplitud 45, y otro giro g de centro C (6, 6) y amplitud 90. Calcular las coordenadas del centro C del giro g = g g 1, producto de los anteriores, y la posición del punto A, homólogo del punto A(6, 0) en este nuevo giro. 5. En una traslación t v, el punto A(4, 0) tiene por imagen el punto A (4, 6). Qué magnitud ha de tener un giro g de centro O(0, 0) para que la transformación producto t v g sea una simetría central? Hallar el centro de esta simetría y las coordenadas del punto imagen de A en dicha simetría. (Soluciones en la página siguiente) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 3

4 SOLUCIÓN GEOMETRÍA I 14 de octubre del 011: 1) Las ecuaciones de la simetría central de centro en P (1, 0) son x = x +, y = y; x = x +, y = y. Mediante esta simetría la recta de ecuación x y = 0 se transforma en la recta x + y = 0. La intersección de esta recta con la segunda del enunciado, 3x y + = 0, da el punto B( 1, 1). El simétrico de B respecto a P nos da el punto A(3, 1) en la primera recta. ) Teniendo en cuenta que las ecuaciones de una semejanza (directa) son: x = ax + by + m, y = bx + ay + n, y usando que S(6, 0) S(6, 0) y que A(0, 0) A (0, 6 3), resultan las ecuaciones de la semejanza pedida: σ : x = x + 3y, y = 3x + y De las ecuaciones de un giro de centro (a, b) y amplitud θ: x = (x a) cos θ (y b) sen θ + a y = (x a) sen θ + (y b) cos θ + b, y teniendo en cuenta que el ángulo que forman las semirrectas SA y SA es θ = 60, se obtienen las ecuaciones del giro de centro S(6, 0) y amplitud θ = 60 : g : x = x + y + 3, y = x + 1 y Las ecuaciones de la homotecia de centro A(a, b) y razón k, son: La de razón y centro S(6, 0) son: x = k(x a) + a y = k(y b) + b. h : x = x 6, y = y. Sustituyendo estos valores en la ecuación del giro g se obtienen las ecuaciones de la semejanza σ. 3) La traslación dada está determinada por el vector v = (4, 4), y sus ecuaciones son: t v : x = x + 4, y = y + 4. Las del giro de centro A(4, 4) y amplitud 90 son: g : x = y + 8, y = x. Así, el producto g t v es: x = y + 4, y = x + 4. El punto fijo de este giro, (0, 4), es su centro. La imagen de B(, ) es B (6, 6). 4) El giro de centro el origen y amplitud π/4 es: g 1 : x = x y, x + y. 4

5 El giro de centro en (6, 6) y amplitud π/ es: g : x = y + 1, y = x. El producto de los giros g g 1 es un giro de amplitud 3π/4: x = x y + 1, y = x y. Su centro es su punto fijo: ( 6 ) 6, +. La imagen del punto A(6, 0) es ( 1 3, 3 ). 5) Las ecuaciones de la traslación son t v : x = x, y = y + 6. Las de un giro de amplitud θ y centro en el origen son g : x = x cos θ y sen θ, y = x sen θ + y cos θ. Para que la composición t v g se una simetría central de centro (a, b) se ha de verificar que: Es decir θ = π y (a, b) = (0, 3). (x cos θ y sen θ, x sen θ + y cos θ + 6) = ( x + a, y + b). Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 5

6 GEOMETRÍA I 8 de octubre del 011 x 1 1. Dados la recta l : = y + 1 = z y el plano π : x + 3y + z 4 = 0, hallar [3] la ecuación de la recta proyección ortogonal de l sobre π.. (a) Sea λx = AX la ecuación matricial de una homografía en el plano ordinario ampliado con los puntos del infinito, donde λ es un número real arbitrario, X y X son matrices columna formadas por las tres coordenadas homogéneas de un punto X y las tres de su imagen X y A es una matriz cuadrada de coeficientes reales reales, de orden 3 3, con determinante no nulo. Si u 0 x 0 + u 1 x 1 + u x = 0 es la ecuación de una recta de coeficientes (u 0, u 1, u ), obtener [1] la ecuación matricial que relaciona estos coeficientes con los de su recta imagen. (b) Encontrar [] la ecuación de todos los giros en el plano que transforman la recta y = 0 en la recta 3x + y = 0. Cuál [1] es el lugar geométrico de los centros de tales giros? 3. Consideremos el plano ordinario ampliado con la recta del infinito. Demostrar [] que si una homografía del plano en sí mismo (aplicación biyectiva que que transforma puntos alineados en puntos alineados), conserva la recta del infinito (afinidad) y además transforma cada punto de una recta concreta en sí mismo (tiene una recta de puntos fijos) entonces, las rectas que unen cualquier punto con su imagen por tal homografía son paralelas entre sí. Citar [1] algún ejemplo de transformación geométrica en el plano que sea de este tipo. (Soluciones en las páginas siguientes) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 6

7 SOLUCIÓN GEOMETRÍA I 8 de octubre del 011: 1) Sólo debemos determinar, para obtener la recta proyección ortogonal de la recta l sobre el plano π, el plano que contiene a l y sea perpendicular al plano π. Vectores paralelos a este plano son v = (3, 1, 1), que determina la dirección de recta l, y a = (1, 3, 1), que da dirección perpendicular a π. Un punto de este plano es el punto (1, 1, 0) de la recta l, por lo que su ecuación es: ( v a) (x 1, y + 1, z) = 0 x + y 5z 1 = 0. Luego las ecuaciones de la recta proyección son: x + 3y + z 4 = 0, x + y 5z 1 = 0 x 3 16 = y 7 = z 1 5. ) Como el centro de un giro, que transforma una recta en otra, equidista de las dos rectas, dicho centro ha de estar en una de las bisectrices de ambas rectas. Utilizando coordenadas, sean las ecuaciones de un giro son de la forma x = ax + by + p y = bx + ay + q (a + b = 1). La imagen de un punto arbitrario P (t, 0) de la recta y = 0 es (at + p, bt + q), que debe estar en la recta 3x + y = 0; por lo que: 3(at + p) + ( bt + q) = 0 ( 3a b)t + 3p + q = 0. Como esta última relación se debe verificar para todo t, se sigue que: b = 3a, q = 3p. Como a + b = 1 se tiene que a = ±1/, b = ± 3/ y, por tanto, las ecuaciones de los dos giros genéricos que transforma la recta y = 0 en la recta 3x + y = 0, son de los tipos: x = 1 3 x + y + p x = y = x + 1 y x y + p 3 3p y = x 1 y 3p El centro de cada uno de los giros es su punto fijo, que lo determinamos resolviendo cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes: { { x + 3y + p = 0 3x 3y + p = 0 3x y 3p = 0 Obteniéndose respectivamente los centros: ( p, ) 3p, 3x 3y 3p = 0 (p, p 3 ). Al considerar todos los giros, sus centros recorren, respectivamente, las rectas: y = 3x, y = 3 3 x, 7

8 rectas por el origen de pendientes 60 y 150 : bisectrices de las rectas dadas. 3) Si la recta de puntos fijos NO es la del infinito y si tomamos un sistema de coordenadas tal que la recta de puntos fijos es x = 0, todo punto (t, 0) va en sí mismo. De la ecuación de una afinidad, que transforma un punto X(x, y) en el punto X (x, y ): x = ax + by + p, y = cx + dy + q, (1) se tiene que: t = at + p, 0 = ct + q p = 0, q = 0, c = 0, a = 1. Con lo que la afinidad queda de la forma: x = x + by, y = dy. Entonces, XX = (x + by, dy) (x, y) = y(b, d 1) es un vector de dirección constante. En el caso particular de b = 0 y d = 1, se trata de una simetría axial. En general es una homología de eje y = 0 y centro el punto del infinito en la dirección del vector (b, d 1). Si la recta de puntos fijos es la del infinito, un punto de coordenadas homogéneas (0, 1, m) se transforma en sí mismo. De las ecuaciones de una afinidad (1), se sigue que: 1 = a + bm, m = d + cm. Y como estas relaciones se han de verificar para todo m, se tiene: Con lo que la afinidad queda de la forma: a = 1, b = 0, d = 0, c = 1. x = x + p, y = y + q. Se trata de una traslación y la recta que une un punto X con X tiene la dirección del vector (p, q), de la traslación. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 8

9 GEOMETRÍA I 10 de noviembre del Obtener la ecuación de la hipérbola con asíntotas las rectas x = 1, x + y = 0, y tangente al eje OX. Sol.: 4x + 4xy 1x 4y + 9 = 0.. Deducir que x + xy + y 3x 5y + 4 = 0 es la ecuación de la parábola que pasa por el punto (0, 1), cuya tangente en el punto (1, 1) es la recta y = x y su eje es paralelo a la recta x + y = En el plano euclídeo, la ecuación general de una cónica a 11 x +a y +a 1 xy+a 01 x+a 0 y+a 00 = 0, representa una circunferencia si y sólo si a 11 = a y a 1 = 0. Si tenemos dos circunferencias C 1 y C, establecer que la combinación lineal C 1 + λc constituye un haz de circunferencias. Verificar que para λ = a 11 /b 11 degenera en una recta (llamada eje radical), que pasa por los puntos de intersección (reales o imaginarios) de C 1 con C. Dadas dos circunferencias de centros en (a 1, b 1 ) y (a, b ), y radios r 1 y r, respectivamente, comprobar que la recta que pasa por los puntos de intersección de ambas tiene por ecuación: (a a 1 )x + (b b 1 )y + a 1 a + b 1 b + r r1 = Determinar la ecuación de la hipérbola con centro (1, 0), que tiene a la recta y x + 1 = 0 como una asíntota y que pasa por los puntos (, ) y (0, ). Sol.: x y x + 4 = Siendo x y x + 4 = 0 la ecuación de la hipérbola del ejercicio (4), obtener la otra asíntota, sus ejes y la ecuación de la hipérbola referida a los ejes. 6. Determinar el valor de λ para que t 1 t + λp = 0 sea la ecuación de la cónica C x 6xy + x + y 1 = 0, donde t 1 = 0 y t = 0 son las ecuaciones de las tangentes a C desde el punto P (1, 1) y p = 0 es la ecuación de la polar de P respecto a C. 7. Determinar la ecuación de la cónica tangente a los ejes coordenados en los puntos (, 0) y (0, 3) y que pasa por el punto (1, 1). Sol.: 9x + 37xy + 4y 36x 4y + 36 = 0. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 011 9

10 GEOMETRÍA I 17 de noviembre del Hallar las ecuaciones de la recta situada en el plano x 3y z + 4 = 0 y que es perpendicular a la recta de ecuaciones x z 3 = 0, y z = 0, en el punto en que ésta corta al plano.. Justificar que existen exactamente dos isometrías en el plano, una directa y otra inversa, que transforman un segmento en otro. En el caso de que un segmento sea AB de extremos A(0, 0) y B(0, 1) y su transformado sea A B con A (1, 0) y B (, 0). cuáles son las ecuaciones de tales transformaciones? y especificar de qué isometrías se trata. Indicar cuáles son los elementos fijos (puntos y rectas) de cada una, si los tienen. 3. Establecer las condiciones para que una afinidad sea una semejanza directa. Demostrar que una semejanza directa es o bien una traslación o bien una homología (homografía en al plano con un punto doble y una recta de puntos dobles no incidentes). Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna,

11 GEOMETRÍA I 5 de diciembre del Si t XAX + λ t XBX = 0 es la ecuación de un haz de cónicas determinado por dos cónicas de matrices asociadas A y B, cómo [0.5] se procede para obtener las cónicas degeneradas del haz? En un haz de cónicas (no todas degeneradas) cuál [0.5] es el número máximo de cónicas degeneradas que pueden haber? Si en un haz de cónicas los cuatro puntos base están dos confundidos y los otros dos son distintos o bien están confundidos por pares, cuántas [0.5] cónicas degeneradas posee? Considérense en el plano real las cónicas C 1 : x + y xy (x + y) + a = 0 y C : x + y + xy 3 = 0. Determinar [.5] los valores de a para los cuales C 1 y C tengan puntos comunes en los que las tangentes a ambas coincidan Applet GeoGebra. Qué [0.5] ángulo forma la tangente a una cónica en un vértice, con el eje que lo contiene? Hallar [] la ecuación de la hipérbola de vértices los puntos (1, 1) y (3, 3) y que pasa por (3/, 0). Determinar [0.5] centro, ejes y asíntotas. Hipérbola: xy x y + 3 = En el espacio ordinario considérense las rectas r : y = 0, z = 1; s : y = 0, z = 1. Hallar [] el lugar geométrico de las rectas de intersección de los pares de planos perpendiculares, cada uno de los cuales contiene a una de las rectas anteriores. De qué [1] se trata? S.: y + z = 1. (Soluciones en las página siguiente) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna,

12 SOLUCIÓN GEOMETRÍA I 5 de diciembre del 011: 1) Para que el haz de cónicas x + y xy (x + y) + a + λ(x + y + xy 3) = 0 tenga exactamente dos cónicas degeneradas, la siguiente ecuación ha de tener una raíz doble: a 3λ λ λ + 1 = 1 λ 4 (9λ3 3aλ + 36λ 1aλ + λ + 8) = 1 4 (λ + 4) ( 9λ 3aλ + ) = 0. λ Siendo las soluciones: λ 1 = 4, λ = 1 6 habrá dos soluciones coincidentes si: ( a ) a 8, λ 3 = 1 ( a + ) a 6 8, λ = λ 3 a = ± ó λ 1 = λ a = No hay valores reales de a para los que λ 1 = λ 3. Tampoco hay valores de a para los que λ 1 = λ = λ 3, es decir, no es un haz osculatriz o hiperosculatriz. ) La hipérbola pedida pertenece al haz de cónicas bitangentes a las rectas perpendiculares a su eje en sus vértices: Tal haz de cónicas es: x + y 6 = 0 y x + y = 0. (x + y 6)(x + y ) + λ(y x) = 0. La cónica de este haz que pasa por (3/, 0) se obtiene para λ = 1 y es la hipérbola equilátera: xy x y + 3 = 0, de centro en (, ), ejes x y = 0, x + y 4 = 0 y asíntotas x =, y =. Para determinar la cónica en cuestión podemos proceder obteniendo cinco de sus puntos. Como el centro es el punto medio de sus vértices (1, 1) y (3, 3), él es (, ). El simétrico de (3/, 0) respecto al centro es (5/, 4), que pertenece a la cónica. Y el simétrico de (3/, 0) respecto al eje que une los vértices dados, x = y, es el punto (0, 3/), que también es de la cónica. Tenemos así cinco puntos de la cónica: (1, 1), (3, 3), (3/, 0), (5/, 4) y (0, 3/). 3) Planos genéricos que pasan por las rectas r y s son: y + λ(z + 1) = 0 y y + µ(z 1) = 0. Pares de estos planos serán perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es cero: (0, 1, λ) (0, 1, µ) = 1 + λµ = 0. Luego, la ecuación del lugar geométrico pedido es: ( y ) ( y ) + 1 = 0 z + 1 z 1 y + z = 1. Se trata de un cilindro elíptico (circular) de generatrices paralelas al el OX. 1

13 GEOMETRÍA I 13 de diciembre del 011 (Ejercicios Cuarto Seguimiento) 1. Justificar la siguiente construcción geométrica del baricentro G de los cinco puntos A, B, C, D y E que se expresa en la siguiente figura, siendo L, M, N, P y Q los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD, DE y EA, respectivamente:. Consideremos tres puntos A, B y C en el plano y sean D, E y F puntos en las rectas BC, CA y AB, respectivamente. Si las tres rectas AD, BE y CF son concurrentes establecer que, para segmentos orientados: AP P D = AF F B + AE EC. Sugerencia: Aplicar el teorema de Menelao a los triángulos ABD y ADC, cortados por las rectas CP y BP, respectivamente. 3. Consideremos tres puntos A, B y C en el plano y sean D, E y F puntos en las rectas BC, CA y AB, respectivamente. Si las tres rectas AD, BE y CF son concurrentes establecer que, para segmentos orientados: DP DA + EP EB + F P F C = 1. Sugerencia: Utilizar el Ejercicio y aplicar el teorema de Ceva al triángulos P BC y al punto A. 13

14 4. En el plano afín se consideran las referencias cartesianas R = {O; u, v} y R = {O; u, v }. Hallar la condición necesaria y suficiente para que existan otros puntos distintos de O que tengan las mismas coordenadas respecto de R y R. Hallar el lugar geométrico de estos puntos. 5. Consideremos el espacio afín real de dimensión 3. (a) Si en un sistema de referencia R = {O; e 1, e, e 3 } un plano tiene por ecuación x + y + z =, cuál será su ecuación en la referencia R = {P ; u 1, u, u 3 } cartesiana si P (1, 1, 0) y u 1 = e 1 + e 3, u = e + e 3, v 3 = e 1 + e + e 3. (b) Encontrar una referencia R respecto a la cual el plano x y +z = 3 tenga por ecuación y = Dadas las rectas en el plano afín real en una cierta referencia cartesiana que tiene por ecuaciones: r 1 : 3x y + 3 = 0; r : y = 4 r 3 : 3x y = 1, encontrar un triángulo ABC tal que A esté en r 1, el punto (1, 0) esté en la recta BC y que sus medianas sean las rectas dadas. (,5) (3.6) r (1,4) (1,3) (5/3,4) (,4) y - 4 = 0 (1,) 3x - y + 3 = 0 r 1 r 3 (1,0) 3x - y - 1 = 0 7. Sean los r puntos P 1, P,..., P r en un espacio afín y G su baricentro. (1) Probar que si G i es el baricentro de los puntos P 1, P,..., P i 1, P i+1,..., P r, entonces G es la intersección de las rectas P i G i (i = 1,..., r). () Probar que para cada i {1,,..., r}, se tiene el siguiente valor de la razón simple: (P i G i G) = r 1. r Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna,

15 GEOMETRÍA I 19 de enero del 01 (Examen Final. Primera Convocatoria) 1. Establecer que no se cortan la rectas l 1 : { 3x y + z = 3 x y z = l : { x + y = 1 x y + z = Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 0, 1) y que corta a l 1 y a l. Hallar también los puntos de intersección de esta recta con las rectas l 1 y l.. Establecer que mediante una homotecia una recta y su imagen son paralelas. Dado el triángulo ABC, con A(0, 0), B(1, 0) y C(9, 6), utilizar una adecuada homotecia de centro en C, para construir un cuadrado DEF G inscrito en ABC, con DE en el lado AB y los vértices F y G sobre BC y CA, respectivamente. Cuáles son las coordenadas de D, E, F y G? 3. Describir la posición de una recta y una cónica. Ecuación de la recta tangente a una cónica y de las tangentes desde un punto a una cónica. Dada la parábola 3y + x = 0 averiguar la posición relativa de las rectas con respecto a dicha parábola. l 1 : x + 6y = 6, l : x 3y = 18, l 3 : x + y = Encontrar la ecuación de la cónica tangente a las rectas x + y = 0, x = 1 en los puntos de intersección con la recta x+y +1 = 0 y que pasa por el punto (1/, 1/). Se trata de una hipérbola, determinar sus asíntotas. 5. Dados tres puntos A, B, C alineados en un espacio afín se tiene que AC = ρab; al escalar ρ se le denomina razón simple de los puntos A, B, C y ponemos ρ = (A B C). Sean A, B, C, D cuatro puntos alineados, demostrar que: (A B C) (A D B) (A C D) = 1. () Sean P 1, P, P 3 tres puntos no alineados en el plano afín y l una recta que no pasa por ninguno de ellos. Sean Q 1, Q, Q 3 los punto en que l cortan a las rectas P P 3, P 3 P 1 y P 1 P, respectivamente. Demostrar el resultado siguiente, llamado Teorema de Menelao: 15

16 (Q 3 P 1 P ) (Q 1 P P 3 ) (Q P 3 P 1 ) = 1. (Considerar el punto P de intersección de la recta paralela a l por el punto P 3 con la recta P 1 P y aplicar el Teorema de Tales para obtener (Q P 3 P 1 ) = (Q 3 P P 1 ) y (Q 1 P P 3 ) = (Q 3 P P ); luego, aplicar ().) : 6. Sea {O; e 1, e } un referencia cartesiana en el plano afín real y sean las rectas r : x + y = 1, s : x y = 1. Hallar una referencia cartesiana tal que las ecuaciones de r y s sean r : y = 0, s : x = 0. Dar las expresiones del cambio de coordenadas respecto a las dos referencias. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 16

17 GEOMETRÍA I 6 de enero del 01 (Examen Final. Segunda Convocatoria) 1. Dados en el espacio ordinario un punto P y dos rectas no paralelas que no se cortan y que no pasan por P, justificar que por P pasa una única recta que corta a las rectas dadas. Encontrar la recta l que para por el origen (0, 0, 0) de coordenadas que se apoya en las recta l 1 : x = 1, y = 1 y l : x = 1, z = 1.. Qué tipo de transformaciones da la composición de giros? Justificar la respuesta. Dados los puntos P (1, 0) y Q(0, 1) en plano, consideremos la composición del giro de centro P y amplitud 90 con el giro de centro Q y amplitud 90 ; establecer que el resultado es una simetría central con respecto al centro de un cuadrado de lado P Q. 3. Clasificar la cónica x y +x+6y 13 = 0. Dar su ecuación reducida utilizando sus invariantes métricos. Encontrar, si es el caso, su centro, sus ejes y sus asíntotas. Hacer una gráfica aproximada. 4. a) Determinar el lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas y = mx, (m )x + (5m + 1)y = m, cuando m varía. De qué se trata? b) Hallar la ecuación de la cónica (coincide con el lugar geométrico del apartado anterior) que pasa por el punto (3, 1), tangente a la recta y = x en el origen de coordenadas, y a la recta x + y + = 0 en el punto (1, 0). 5. Dar definiciones equivalentes de espacio afín y establecer la equivalencia entre ellas. Demostrar que el conjunto de las matrices simétricas de orden, con coeficientes reales es un espacio afín asociado al espacio vectorial IR 3 con la siguiente ley externa ( ) ( ) a11 a 1 + (x 1, x, x 3 a11 + x ) = 1 a 1 + x a 1 a a 1 + x a + 3x En el plano afín real se dan tres puntos A, B, C no alineados. Se consideran los puntos A α, B α, C α tales que se tiene las siguientes expresiones para las razones simples: (A B C α ) = (A C B α ) = (B C A α ) = α. Cuáles son las coordenadas de los puntos A α, B α y C α en la referencia cartesiana {A; AB, AC }. Demostrar que los baricentros de los triángulos A α B α C α, cuando α varía, están en una recta (paralela a AC por el baricentro de ABC) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 17

18 GEOMETRÍA I Junio-Julio del Entre las recta del espacio afín ordinario que pasan por el punto P (, 1, 1) y cortan a la recta 4x y + z = 13, x y z = 1 determinar si existe una que pasa por el punto Q(, 1, 3), dando en caso afirmativo la ecuación de dicha recta.. Obtener las expresiones del cambio de coordenadas entre dos referencias cartesianas en un espacio afín. En el espacio afín real tridimensional se considera una referencia cartesiana R = {O; e 1, e, e 3 }. Sea R = {O ; v 1, v, v 3 } una nueva referencia cartesiana con origen en el punto O (, 3, 1), sus ejes cortan a los ejes de R, respectivamente, en los puntos de coordenadas (3, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 4), de modo que el punto P (1, 1, 5) tenga coordenadas (1, 1, 1) en R. Obtener los vectores v 1, v, v 3 y las ecuaciones del cambio de referencia. 3. Describir geométricamente, en el plano afín, la trasformación homotecia. Cuáles son sus ecuaciones cuando el centro de homotecia no es el origen de coordenadas? Es una homotecia la composición de homotecias? Es conmutativa la composición de homotecias? Dónde está el punto P si su imagen mediante la homotecia η 1 de centro O 1 y razón k 1, coincide con su imagen mediante la homotecia η de centro O y razón k (k 1 k )? 4. En una cónica con centro, obtener la ecuación que permite determinar las pendientes de los ejes. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el origen, tiene por asíntota la recta x y 1 = 0 y uno de sus ejes es la recta x y 1 = 0. (Sol.: x + y 5xy 4x + 5y = 0.) Obtener su ecuación reducida en el plano euclídeo. Es necesario trabajar cada una de las preguntas. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 18

19 GEOMETRÍA I 9 de Julio del Hallar [1] las ecuaciones de la recta paralela al plano π : x y+z 3 = 0, corta la recta l : x = 1, y = 3 y que pasa por A(1, 1, 1).. Obtener [1] las ecuaciones de la transformación T que resulta de componer la traslación de vector u = (3, 4) con la simetría axial de eje de simetría la recta 4x 3y = 1. Cuáles son sus elementos fijos [0.5] (puntos y rectas propios o impropios)? Cuáles son las ecuaciones [0.5] de T si tomamos el eje de simetría como un nuevo eje de coordenadas? 3. Qué es un diámetro [0.5] de una cónica? Dado un diámetro d, sea d el diámetro que pasa por el polo de d (se dice que d y d son diámetros conjugados), Obtener [1] la relación que existe entre las pendientes de d y d? A partir de la esta relación, deducir [0.5] qué condición deben verificar las pendientes de los ejes de una cónica con centro. Es válida la condición anterior para una parábola? Por qué [0.5]? 4. Ecuación de la parábola [1] que pasa por los puntos de coordenadas (1, 0), (0, 0), (5, 3) y de eje paralelo a la recta de ecuación x + y = 1. Obtener [1] su eje de simetría. 5. Definir [0.5] coordenadas baricéntricas en un espacio afín y establecer [0.5] su relación con las coordenadas cartesianas. Sean A = (1, 1, 1), B = (1,, 3), C = (, 3, 1) y D = (3, 1, ) las coordenadas de cuatro puntos en el espacio ordinario, respecto a una referencia cartesiana R = {O, e 1, e, e 3 }. Demostrar [0.5] que R = {A, B, C, D} es una referencia baricéntrica. Hallar [1] las coordenadas baricéntricas de O respecto a R. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 19

20 GEOMETRÍA I 1 de Septiembre del Hallar las ecuaciones de la recta que es paralela al plano π : x y + z 3 = 0, que corta la recta l : x = 1, y = 3 y que pasa por A(1, 1, 1). Resp.: x = 1, y = z.. Es posible trazar un plano paralelo al plano de ecuación x y + z =, por los puntos A(1, 1, 1) y B(0, 3, )? Y uno perpendicular? Cuando sea posible obtener su ecuación. Resp.: No es posible trazar un plano paralelo. Plano perpendicular: 5x 7y + 3z + 15 = Posición relativa del eje OX y del plano que pasa por la recta l : x y + 1 = 0, x z = 0 y que contiene al punto P (, 0, ). Resp.: Se cortan en el punto (1/, 0, 0). 4. Ecuación de un plano genérico paralelo a las rectas l 1 : 6x = 3y 3 = z 4, l : x = y +1 = z +1. De los planos obtenidos, encontrar el que equidista de ambas rectas. Resp.: x 4y + z = Encontrar la recta paralela al plano x + y = 0, contenida en el plano x + y + z = 1 y que pasa por el punto (1, 0, 0). Resp.: x + y = 1, z = Dadas las rectas l 1 : x = y, z = 0 y l : x = y 1 = z 3. Hallar otra recta s que se apoye en 3 l 1 y l y además sea paralela a la recta r : x = y = z. Resp.: x + 1 = y + 1 = z. x Dadas las rectas l 1 : x 1 = y = 3z y l : = y 1 = z. Calcular la ecuación del plano que pasa por el origen O(0, 0, 0) y es perpendicular a la recta que pasa por O y corta a las rectas l 1 y l. Resp.: 3x 3y z = Sean el punto P (1, 1, 0) y el plano π : 4x y z = 1. Calcular las coordenadas del punto P simétrico de P, respecto a π. Resp.: (1/9, 11/9, /9). Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 0

21 GEOMETRÍA I 11 de octubre del 01 (Segundo seguimiento) 1. Se considera la transformación σ en el plano que resulta de componer el giro de centro en el punto A(1, 0) y amplitud 60, con la homotecia de centro en el origen de coordenadas O(0, 0) y razón. Clasificar la transformación σ. Expresarla como composición de una homotecia con un giro, ambos con el mismo centro. Y expresarla como composición de un giro con una homotecia, ambos con el mismo centro. Determinar la transformada l la recta l : x = 1, mediante la transformación σ? Puedes decir cuál es el valor del ángulo α que forman las recta l y l, sin determinar ésta?. Se considera la transformación σ en el plano que resulta de componer la homotecia de centro en el origen de coordenadas (0, 0) y razón con el giro de centro en el punto A(1, 0) y amplitud 60. Clasificar la transformación σ. Expresarla como composición de una homotecia con un giro, ambos con el mismo centro. Y expresarla como composición de un giro con una homotecia, ambos con el mismo centro. Determinar la transformada l la recta l : x = 1/, mediante la transformación σ? Puedes decir cuál es el valor del ángulo α que forman las recta l y l, sin determinar ésta?. Respuestas: Giro de centro A(1, 0) y amplitud 60,G (A,60 ): x = x 1 3y + 1, y = 1 y 3(x 1) +. Homotecia de centro O(0, 0) y razón, H (O,) : x = x, y = y. Semejanza directa σ 1 = H (O,) G (A,60 ): x = x 3y + 1, y = 3x + y 3. Semejanza directa σ = G (A,60 ) H (O,) : x = x 3y + 1, y = 3 3x + y. 1 Centro de la semejanza σ 1 (punto fijo propio): C 1 (1, ). ( 3 ) 1 Centro de la semejanza σ (punto fijo propio): C, 1. 3 σ 1 = H (C1,) G (C1,60 ) = G (C1,60 ) H (C1,). σ = H (C,) G (C,60 ) = G (C,60 ) H (C,). G (C1,60 ) : x = 1 ( x ) 3y +, y = 1 ( 3 3x + 3y ) 3. 6 G (C,60 ) : x = 1 ( x ) 3y + 1, y = 1 ( 3 3x + 3y ) 3. 6 H (C1,) : x = x 1, y = 1 3 l 1 : x = 1 σ 1 (l 1 ) : x + 3y = 0. l : x = 1/ σ (l ) : x + 3y 1 = 0. ( 6y ) 3. H (C,) : x = 1 (4x 1), y = 1 ( 1y ) 3. 6 Las trasformadas de una recta l por las semejanzas σ 1 y σ son rectas tales que l, σ 1 (l) = l, σ (l) = 60. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 1

22 GEOMETRÍA I 19 de octubre del Obtener la recta que corta a la recta r : x y + z = 0, x + y + z = 0 y que pasa por el punto P (1,, 3), formando con ella un ángulo de 60.. Ecuación del plano que pasando por el origen de coordenadas sea paralelo a las rectas: x 1 = y + 1 = z, { x = 3 y = z Sean l 1 y l dos rectas en el plano que forman un ángulo α (medido desde l 1 a l, en sentido contrario a las agujas del reloj, p.ej. α = 15 ). Dado un punto X, sea X 1 el punto que resulta de hallar el simétrico de X respecto a l 1 y luego el simétrico de éste respecto a l ; por otra parte, sea X el punto que resulta de hallar el simétrico de X respecto a l y luego el simétrico de éste respecto a l 1. Coinciden los puntos X 1 y X? Si no coinciden X 1 con X, cómo se puede obtener X a partir de X 1, con un sólo movimiento? 4. Una afinidad que tiene una recta fija l y un par de puntos P y Q fijos, no pertenecientes a l, tiene una recta de puntos fijos. Si tomamos las rectas l y P Q como ejes coordenados, cuáles son las ecuaciones de la afinidad? 5. Ecuaciones de la semejanza directa que transforma los puntos A(0, 0) y B(1, ) en A (15, 1) y B ( 7, 5) respectivamente. Expresarla como la composición de un giro con una homotecia, ambos con el mismo centro. 6. Hallar la ecuaciones del giro de centro B(1, 1) y ángulo π/4 y de la homotecia de centro B(1, 1) y razón. Determinar las ecuaciones de la semejanza que resulta de componer el giro con la homotecia anteriores. Encontrar el punto que puede tomarse como centro común de un giro y una homotecia, que compuesto en cualquier orden, den lugar a la semejanza obtenida anteriormente. Ecuaciones de estas últimas transformaciones. (Soluciones en la página siguiente) Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01

23 1) El vector director de la recta r es (1,, 1) (1, 1, 1) = ( 3, 0, 3) v = ( 1, 0, 1). Un punto genérico de la recta r es de la forma Q(t, 0, t). El vector P Q = (t 1,, t 3) ha de formar con el vector v un ángulo de 60 : v P Q = v P Q cos 60. t = ( t 3) + (t 1) + 4 (1/). Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación: 3( 1 + t + t ) = 0 = t = 1 ±. Luego, las ecuaciones paramétricas de las rectas que cumple las condiciones pedidas son: ( x = ) ( λ + 1, y = λ, z = ± ) λ + 3. ) El plano pedido es paralelo a los vectores directores de las rectas dadas: u = (,, 1) y v = (0, 1, 1). Luego, un vector perpendicular al plano pedido es a = u v = (1,, ): así, su ecuación, al pasar por (0, 0, 0), es x y + z = 0. 3) Tomemos la recta l 1 como eje de abscisas y la recta l por el origen de coordenadas y formando un ángulo α con con l 1, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. La composición de la simetría axial s 1, respecto a l 1, con la simetría axial s, respecto a l, es un giro g (O,α) de centro el en origen de coordenadas y amplitud α. La composición de la simetría axial s, respecto a l, con la simetría axial s 1, respecto a l 1, es un giro g (O,(π α)) de centro el en origen de coordenadas y amplitud (π α), pues el ángulo que forma la recta l con l 1, medido en el sentido contrario de las agujas del reloj es π α. Dado un punto X en el plano, sean: X 1 = (s s1 )(X) = g (O,α) (X), X = (s 1 s )(X) = g (O,(π α)) (X). Luego, g (O, α) (X 1 ) = X y g (O,(π α)) (g (O, α) (X 1 )) = X, esto es: X 1 X = g (O,(π α) α) (X 1 ) = g (O, 4α) (X 1 ). Es decir, la transformación que lleva X 1 en X 3 es un giro de centro en el punto de intersección de las rectas l 1 y l y amplitud 4α, siendo α el ángulo que forma la recta l 1 con l medido en el sentido contrario de las agujas del reloj. A este mismo resultado podemos llegar haciendo los cálculos partiendo de las ecuaciones de simetría axial, respecto a una recta x cos α + y sen α p = 0, siendo p la distancia de la recta al origen de coordenadas y α el ángulo que forma la normal a la recta con el eje de abscisas: x = x cos α y sen α + p cos α y = x sen α + y cos α + p sen α, Las simetrías respecto a l 1 : y = 0 y a l : y = (tag α)x ó x cos(α π/) + y sen(α π/) = 0, son respectivamente: ( { π ) ( π ) x s 1 : = x x = x cos y s = y : + α y sen ( + α π ) ( π ) y = x sen + α + y cos + α. Por tanto, las ecuaciones de la transformación producto s s1 son: { s x s1 : = x cos α y sen α y = x sen α + y cos α, 3

24 que representan las ecuaciones de un giro g (O,α), de centro el origen y amplitud α. Y las ecuaciones de la transformación producto s 1 s las podemos obtener paso a paso como sigue: ( ( (x, y) s π ) ( π ) ( π ) ( π )) x cos + α y sen + α, x sen + α + y cos + α s1 ( ( π ) ( π ) ( π ) ( π )) x cos + α y sen + α, x sen + α y cos + α = (x cos α + y sen α, x sen α + y cos α). Con lo que las ecuaciones de s 1 s son: { s 1 x s : = x cos( α) y sen( α) y = x sen( α) + y cos( α), Que representan las ecuaciones de un giro g (O, α), de centro el origen y amplitud α. En consecuencia, teniendo en cuenta que el inverso de un giro es un giro con el mismo centro y amplitud opuesta y que la composición de giros con el mismo centro es un giro de amplitud la suma de amplitudes y mismo centro, resulta que: X = ( (s 1 s ) (s s ) 1) ( ) (X 1 ) = g (O, α) g 1 (O,α) (X 1 ) = g (O, 4α) (X 1 ). 4) El punto de intersección de las rectas P Q y l, que denotamos por O, se trasforma en un punto O que ha de estar en la recta l, al ser ésta fija. Además, como los puntos P y Q son fijos, la recta P Q es fija, luego el punto O ha de estar también en la recta P Q. En consecuencia, O = P Q l, es decir, O es fijo y la recta P Q es de puntos fijos. Tomando como O como origen de coordenadas, la recta l como eje abscisas y P Q como eje de ordenadas y teniendo en cuenta que esta afinidad O(0, 0) O(0, 0), P (0, p) P (0, p) y A(u, 0) A (v, 0) (u v), resulta fácilmente que: x = ax, y = y. 4

25 GEOMETRÍA I 9 de noviembre del 01 Todas las respuestas han de ser justificadas 1. Dada una cónica de matriz asociada A y rango(a) =. Puede ocurrir que la cónica carezca de puntos? Puede tener cualquier recta que se considere un sólo punto común con la cónica? a) NO. Pues posee al menos un punto, que es el punto singular solución del sistema homogéneo: f x 0 a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 0 x = 0 f x 1 a 01 x 0 + a 11 x 1 + a 1 x = 0 f x a 0 x 0 + a 1 x 1 + a x = 0 b) NO. Hagamos una demostración por reducción al absurdo. Sabemos que: Si P es un punto singular y el punto Q es otro punto cualquiera de la cónica, la recta determinada por ellos está enteramente contenida en la cónica. En efecto, los tres coeficientes de la ecuación que determinan los puntos comunes con la recta P Q: λ t QAQ + λ t P AQ + t P AP = 0, son en este caso nulos. Así, si Q es el único punto común de la cónica con una recta l, la cónica NO posee puntos fuera de la recta P Q; pues, si existiera otro punto R, la recta P R forma parte de la cónica. Y existirá otro punto (l P R) común de la cónica con la recta l. Por tanto, la cónica se reduce a la recta P Q (doble) y tendría rango 1, en contradicción con las hipótesis.. Tienen puntos singulares la cónicas imaginarias? Las únicas cónicas con puntos singulares son las degeneradas; además, las cónicas imaginarias son de género elipse. Luego, debe tratarse del producto de rectas imaginarias (un punto). 3. Si una cónica tiene tres puntos comunes con una recta dada, qué cónica puede ser? Proposición Una recta y una cónica pueden tener comunes dos puntos, uno sólo o ninguno, o la recta forma parte de la cónica. En consecuencia, la recta pertenece a la cónica y la cónica es el producto de rectas. 4. En una cónica, pueden ser paralelas las polares de tres puntos no alineados? NO. Proposición Las polares de los puntos de una recta pasan por el polo de esta recta. Es decir, las polares de puntos alineados son concurrentes. O equivalentemente, los polos de rectas concurrentes están alineados. Así, si las rectas son paralelas (un punto impropio común) sus polos están alineados. 5. En una elipse, se toma dos diámetros conjugados como ejes de coordenadas. Respecto a este sistema de coordenadas, su ecuación puede ser de la forma ax + by cx + d = 0, con c > 0? NO, debe ocurrir que c = 0 Diámetros conjugados son dos rectas que pasan por el centro de la cónica, tales que el polo de cada uno de ellas está en la otra. Si se toman dos diámetros como ejes coordenados, ha de ocurrir que el polo del eje OX, y = 0, ha de ser el punto del infinito (0 : 0 : 1) del eje OY ; y que el polo del eje OY, x = 0, ha de ser el punto del infinito (0 : 1 : 0) del eje OX. Imponiendo estas condiciones a la ecuación general de una cónica, queda de la forma: a 11 x + a y + a 00 = 0. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 5

26 GEOMETRÍA I 30 de noviembre del 01 Segundo Parcial 1. Definir [1] una cónica como un lugar geométrico en términos de uno de sus focos y de la directriz correspondiente. Establecer [] que la polar de un foco es la directriz correspondiente. (Podría tomarse el foco como origen de coordenadas y como directriz una recta paralela a uno de los ejes, y utilizar la definición pedida para encontrar la ecuación de la cónica).. Determinar [] la ecuación del haz de cónicas del cual se sabe que: La cónica no degenerada de ecuación x + y = 0 pertenece al haz. Todas las cónicas del haz son tangentes en el mismo punto a la recta l de ecuación x+y 1 = 0. Todas las cónicas, salvo las degeneradas, son parábolas que intersecan con la recta del infinito en un punto común. Hallar la cónica de haz que pasa [1] por P (1, 0) y la no degenerada que es tangente [1] a x y+1 = Dadas las rectas r : y = 0, z = 1 y s : z + 1 = 0, x + y + 1 = 0, una recta l se mueve cortando a los dos dadas en los punto P y Q, de tal modo que el segmento P Q se ve desde el origen de coordenadas bajo una ángulo recto, es decir el ángulo P OQ es de 90. Hallar [] la superficie engendrada por la recta móvil l. De qué [1] se trata? En la página siguiente aparecen una sugerencia a las soluciones. 6

27 7 Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01

28 1) Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) es constante. Si el punto fijo (foco) es el origen de coordenadas O(0, 0) y la recta fija es x = a, se de debe verificar que para un punto genérico de la cónica P (x, y) x + y = e (cte.) x a Por lo que la ecuación de la cónica es x + y e (x a) = 0. La polar del foco O(0, 0) es la recta x = a, directriz correspondiente: ae e 0 e 1 e = ae e Obsérvese que la cónica es elipse si 0 < e < 1, parábola si e = 1 e hipérbola si e > 1. ) (Tomado de: Ejercicio 91.) En el blog del Departamento de Algebra de La Universidad de Sevilla, puedes encontrar una demostración de que La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita : A parte de la cónica no degenerada dada, x + y = 0, otra cónica del haz que se pide es la formada por el producto de la recta tangente dada, x + y 1 = 0, y la recta del infinito que es tangente a todas las parábolas del haz en un mismo punto; luego, el haz lo podemos escribir de la forma: x + y + λ(x + y 1) = 0, y + (1 + λ)x + λy λ = 0, que son todas parábolas, que solo degeneran para λ = 1, en la recta doble y = 1. Construcción con GeoGebra La parábola del haz que pasa por P (1, 0) se obtiene para λ = ; siendo su ecuación: y x 4y + = 0. 8

29 Para encontrar la parábola tangente a la recta x y + 1 = 0, ésta debe tener con la cónica un sólo punto común, por lo que al sustituir en la ecuación del haz la variable x, despejada de la ecuación de la recta, se obtiene la ecuación de segundo grado en y : y + 8(λ + 4)y λ 1 = 0, que debe tener una única solución. Para lo que ha de verificarse que: (3λ + ) + 3λ + = 0, o sea λ = 1 ó λ = /3. La cónica del haz que se obtiene para λ = 1 es la recta doble (y 1) = 0, y para λ = /3 se tiene la parábola: 3y + x 4y + = 0. Otra forma de expresar el haz de parábolas: Como se trata de un haz de cónicas bitangente, también podemos formar el haz de cónicas tomado como cónicas base la parábola dada, x + y = 0, y la recta (tomada dos veces) que une los puntos de tangencia de todas las cónicas del haz: la paralela a OX (eje de la parábola) por ( 1/, 1), punto de tangencia de la recta l : x + y 1 = 0 y la parábola dada. Quedando la ecuación del haz de la forma: x + y + µ(y 1) = 0. 3) Un punto genérico de la recta r : y = 0, z = 1 es P (t, 0, 1) y el plano que pasa por el origen y perpendicular a OP, tx + z = 0, corta la recta s : z + 1 = 0, x + y + 1 = 0 en: ( 1 Q t, t + 1 ), 1. t Un punto genérico de la recta l es: (x, y, z) = ( ( ) ) 1 t + t t (t + 1)λ λ,, 1 λ. t Eliminando t y λ entre estas ecuaciones se obtiene la cuádrica: y xy + zy + xz y x + z 1 = 0, se trata de un hiperboloide reglado o de una hoja: Rango A= 4 A = 4 Ptos. Hiperb. Rango (A 00 )= 3 Elipsoide Hiperboloide Paraboloide Elipsoide Hiperboloide A la ecuación del hiperboloide también podemos llegar tomando un punto P (t, 0, 1) en la recta r y el punto Q(u, 1 u, 1) en la recta s e imponer que OP OQ = 0; o sea que, tu 1 = 0. Eliminado t, u, λ, entre tu 1 = 0 y las ecuaciones de la recta variable l: x = t + (u t)λ, y = ( u 1)λ, z = 1 λ, se obtiene la cuádrica con determinate de la matriz asociada igual 4 > 0 (sus puntos son hiperbólicos) y la cónica del infinito es no degenerada; por tanto, se trata de un hiperboloide de una hoja. y xy + zy + xz y x + z 1 = 0, Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 01 9

30 GEOMETRÍA I 9 de enero del 013 Primera Convocatoria 1a) Calcular [6] el punto simétrico del punto P (, 0, 1) respecto de la recta r : x + y = 6, z =. Resp.: (18/5, 16/5, 3). 1b) Una colineación u homografía en el plano real, ampliado con los puntos del infinito, es una aplicación biyectiva que transforma puntos alineados en puntos alineados. Respecto a un sistema de coordenadas homogéneas, deducido de un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, escribir [1] las ecuaciones de una homografía. Una afinidad es una homografía que conserva la recta del infinito. Probar [6] que una afinidad que transforma una recta en otra paralela a ella es una homotecia. Si k 1 y k (k 1 k 1) son las razones de dos homotecias, establecer [6] que el producto de dos homotecias de centros distintos, C 1 y C, es una homotecia de centro C alineado con los centros de ambas y razón el producto de las razones. Obtener [?] que C 1 C = (1 k )/(1 k 1 k ) C 1 C. a) Dada una cónica C no degenerada, sean P y p un punto y su recta polar respecto a la cónica. Puede ocurrir [3], que según sea el tipo de la cónica no degenerada C, exista otro punto P cuya polar sea la recta p? Dado un punto Q sobre la recta p, su polar q contiene [3] al punto P? Justificar las respuestas. b) Consideremos la familia F de cónicas que pasan por los puntos A(1, 0), B(, 0) y C(0, 1) y son tangentes en este último al eje OY. Determinar [5] (x 4y 3x + 4y = 0), clasificar [1] y hallar (si es posible) su centro [1], ejes [] y asíntotas [] del lugar geométrico de los centros de las cónicas de la familia F. Qué cónica [4] de la familia F es la que tiene por polar del punto D(0, ) la recta x + y = 1? (x + 4y + 7xy 6x 8y + 4 = 0). 3a) En el plano afín ordinario sean los puntos P (1, ), A(3, 1), B(, 3) y C(1, 0) respecto a una referencia canónica R 0. En la referencia R = {P ; u = P A, v = P B } un punto E tiene por coordenadas (, ); encontrar [4] las coordenadas, respecto a R 0, del punto D tal que R = {P ; u = P C, v = P D } sea una referencia, respecto a la cual el punto E también tenga las coordenadas (, ); y comprobar [] que AC y BD son paralelos. Si ahora E es un punto arbitrario del plano, no situado sobre la recta AP, que tiene las mismas coordenadas respecto a R y R, deducir [?] que D está en la paralela a AC por B. 3b) Dados tres puntos A, B y C se considera una poligonal BC a A B a C (en forma de M ) con cuatro segmentos de la misma longitud, l a, cuyo primer segmento BC a queda sobre la recta BA, el punto A esta sobre BC y el último segmento queda sobre la recta AC. De forma similar se construyen sendas M, CA b B C b A y AB c C A c B con l b = CA b = A b B = B C b = C b A y l c = AB c = B c C = C A c = A c B. Demostrar [4] que las rectas AA, BB y CC son concurrentes (puede aplicarse el teorema de Ceva). 30

31 Sabrías encontrar [?] las coordenadas baricéntricas de P en la referencia {A, B, C}? Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna,

32 GEOMETRÍA I 1 de enero del 013 Segunda convocatoria 1a. Sea la recta r : x + y + 1 = 0, x z + 3 = 0. Para cada punto P de r, determinar [6] la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. 1b. Cuándo [] una afinidad (aplicación biyectiva del plano ampliado en sí mismo que transforma puntos alineados en puntos alineados y lleva rectas paralelas en rectas paralelas) es una semejanza? Obtener [3] las ecuaciones de la semejanza, a partir de las de una afinidad. Ecuación [4] de la semejanza directa que aplica el punto de coordenadas (0, 0) en (15, 1) y (1, 0) en (9, 7). Determinar [1] su centro y razón de semejanza. Expresar [] esta semejanza como producto de un giro por una homotecia ambos con el mismo centro. a. Un punto (real o imaginario) de intersección de dos cónicas es [1] común a todas las cónicas del haz que ellas dos determinan. Por un punto no básico de un haz de cónicas pasa [1] una y solo una cónica del haz. Un haz de cónicas contiene [] siempre una cónica degenerada (producto de rectas). b. Hipérbolas [5] con una asíntota la recta y = x y la otra variable paralela al eje OY, y que son tangentes a la recta t : y =. Ecuación [] del diámetro de cada hipérbola que pasa por el punto de contacto T con la tangente t. Si T es el punto de contacto de cada hipérbola con la otra tangente horizontal (distinta de t), cuál [3] es el lugar geométrico que describen los puntos T? 3a. Un subconjunto F de un espacio afín A asociado a un espacio vectorial E es una variedad lineal si { P Q E /P, Q F} es un subespacio vectorial de E. Dar [1] otra definición de variedad lineal y establecer [3] la equivalencia entre las dos. 3b. Sea F el subespacio vectorial de IR 4 generado por los vectores { u = (1, 0, 1, 0), v = ( 1, 1, 1, ), w = (0, 1,, )}. Obtener unas ecuaciones paramétricas [] y unas ecuaciones cartesianas [] o implícitas de la variedad lineal F que pasa por el punto P (1, 0, 0, ) y de subespacio director F. Geometría I. Angel Montesdeoca. La Laguna, 013 3