Soluciones de la ecuación de onda ( ) ( ) ( ) ONDAS PLANAS. Ecuación de onda en coordenadas cartesianas. Separación de variables.

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Soluciones de la ecuación de onda ( ) ( ) ( ) ONDAS PLANAS. Ecuación de onda en coordenadas cartesianas. Separación de variables."

Lidia Morales Toro
hace 6 años
Vistas:

1 ONDAS PLANAS Soluciones de la ecuación de onda cuación de onda en coordenadas cartesianas Ω+ Ω Ω Ω Ω Ω Separación de variables Ω X Y Z d X dy dz X d Y d Z d X d Y d d X dy Z d dz + + cuaciones de onda d X d dy d dz d + X + Y + Z

distintas direcciones, para un caso sin variación según, particulariando en las ondas que se propagan son

2 Soluciones modales para el problema escalar Ω h h h,, Ω f,, Ω d' d ',, Las funciones armónicas h, que son solución de la ecuación de onda son ( ) ( ) ( ) h h h h sin cos e j j e Las ondas planas se pueden propagar en distintas direcciones, para un caso sin variación según, particulariando en las ondas que se propagan son proporcionales a Ω e j e + Si se representan las ondas para diversos valores de, se obtiene, j Representación gráfica de Re( e e )

3 Representación gráfica de las soluciones Las ondas planas se propagan manteniendo constante su amplitud, con una variación lineal de fase. La representación gráfica del módulo, fase, parte real e imaginaria puede ilustrar el comportamiento de dichas ondas Representación gráfica de una onda plana. π e j arg e j 4 π 4 4 j e arg( e j ) 4 Re e j Im e j 4 4 Re 4 ( j e ) cos( ) Im( e j ) sin ( ) 4

4 spectro angular de ondas planas La solución de la ecuación de onda en coordenadas cartesianas se puede epresar en función de las soluciones elementales como una superposición de las mismas. Ω f,, Ω d' d ',, Ω h h h,, Las soluciones individuales en el caso del espacio libre se pueden escoger como ondas progresivas en la dirección radial,, j j j jr Ω e e e e La solución de la ecuación se puede interpretar como un conjunto de ondas planas que se propagan en todas las direcciones del espacio, cada una de ellas con su amplitud, con la misma constante de propagación. Las constantes de separación de la ecuación diferencial están relacionadas entre sí tan sólo es necesario considerar dos de ellas como variables independientes. + La solución para cada una de las ondas elementales es ( ) j j j, e e e + Ω Una interpretación alternativa es que la solución es un conjunto de ondas que se propagan todas ellas en la dirección del eje, con constantes de propagación diferentes. La fase en planos cte no sería plana. La solución completa es

5 Ω Ω ( ) (, ) ( ) j j + j f, e e e d' d ' j j a e e d' d ' La solución se puede interpretar como una transformada de Fourier de la función a(, ) planas., que se denominará espectro angular de ondas La relación que eiste entre los ángulos del espacio las constantes de propagación es sinθ cosφ sinθsinφ cosθ Los valores máimos mínimos de las variables,, son +. La ecuación que liga con las tres variables,, es la ecuación de una esfera. n el plano, los valores que hacen que sea real son los contenidos en un círculo de radio. sin θ cos φ sin θsin φ + sin θ n los otros casos es imaginario, la función (, ) rápidamente, de forma proporcional a j e + a se atenúa Si se representa gráficamente el espectro en curvas de nivel, el margen visible (ondas que se propagan) está en el interior de un círculo de radio, los ángulos correspondientes a dicha radiación se pueden obtener a partir de una simple transformación geométrica, tal como se indica en la figuras. La ona que se encuentra fuera del margen visible no contribue a la radiación, pero supone una energía reactiva almacenada.

6 Representación gráfica del espectro de ondas planas radiadas por una apertura, su correspondiente diagrama de radiación. Interpretación gráfica de la relación entre el espectro el diagrama.

7 fecto de filtrado espacial Se ha demostrado que las ondas en el espacio se pueden analiar a partir de la transformada de Fourier de una función Ω ( ) ( ) j j + j f, e e e d' d ' l efecto de propagación según se puede interpretar como un filtrado, teniendo como función de peso (,, ) ( ) j A e + l módulo de dicha función es constante en el círculo de radio, decae eponencialmente en los otros casos. n la figura siguiente se representa la atenuación en función de /. A(., ) A(.5, ) A(, ) Fig. Representación gráfica de la función filtro de propagación, para un espectro que se ha propagado las distancias de.,.5 longitudes de onda.

8 Representación tridimensional de la función filtro del espectro de ondas planas para distancias de..5 longitudes de onda. Soluciones vectoriales de la ecuación de onda asta ahora se han encontrado las soluciones de la ecuación de onda en coordenadas cartesianas para una función escalar. Para obtener las soluciones completas de los campos en todo el espacio ha que tener en cuenta que de las seis componentes de los campos en un punto,,,,,,, tan sólo ha dos independientes, las demás se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Mawell. Por lo tanto se podrá obtener la solución completa de los campos en el espacio si se definen dos funciones independientes, que denominaremos potenciales escalares. La elección de las funciones potenciales es arbitraria, pero se suele emplear la componente de los potenciales vector eléctrico magnético. No se debe confundir la solución modal en el espacio libre con la relación que eiste entre las fuentes los potenciales.

9 Modos TM Se definen como aquellos cuas componente de campo magnético es. Se obtienen a partir de la función potencial A(,,) F jω A+ A A µ presando los campos a partir de la función potencial, se obtiene AΩ jωω + Ω Ω µ Las epresiones en coordenadas cartesianas son Ω jωω Ω Ω µ Ω Ω jωω + Ω Ω µ Ω µ

10 Modos T Se definen como aquellos cuas componente de campo magnético es. Se obtienen a partir de la función potencial F(,,) A F ε jωf+ F presando los campos a partir de la función potencial, se obtiene FΩ Ω ε jωω + Ω Las epresiones finales de los campos en coordenadas cartesianas son Ω Ω ε Ω jωω Ω ε Ω ε Ω Ω jωω + Ω

propagan en la dirección son de la forma Ω h h e j l campo eléctrico en la dirección, paralelo a las paredes es de la forma Ω jωω + jω h( )

11 Modos en guías rectangulares Modos TM n una guía rectangular, la solución de los campos se puede obtener aplicando las condiciones de contorno para el campo eléctrico campo magnético en las paredes de la guía Las soluciones elementales del potencial para modos TM que se propagan en la dirección son de la forma Ω h h e j l campo eléctrico en la dirección, paralelo a las paredes es de la forma Ω jωω + jω h( ) h( ) e j ( ) h( ) h( ) e j Imponiendo las condiciones de contorno de campo cero en,a,,b se obtienen mπ nπ h( ) h( ) sin sin a b Campo, Modo TM Campo, Modo TM

Modos T n este caso las soluciones para el campo

) h( ) e j j Imponiendo condiciones de contorno

las paredes Ω ε Ω ε Se obtienen las soluciones

cos cos a b La representación gráfica de los campo

12 Modos T n este caso las soluciones para el campo magnético aial son Ω jωω + j h ω ( ) h( ) e ( ) h( ) h( ) e j j Imponiendo condiciones de contorno para las componentes de campo eléctrico paralelas a las paredes Ω ε Ω ε Se obtienen las soluciones elementales de la ecuación de onda mπ nπ h( ) h( ) cos cos a b La representación gráfica de los campo en cte es Campo, Modo T Campo, Modo T Campo, Modo T Campo, Modo T

13 Radiación de aperturas Campos radiados La formulación habitual para obtener los campos radiados en antenas de apertura se basa en el teorema de equivalencia las corrientes superficiales equivalentes. J s M n ˆ s n ˆ Los vectores de radiación eléctrico magnético se calculan a partir de las corrientes equivalentes v' v' jrˆ r' jrˆ r ' e ds' se ds s' jrˆ r' jrˆ r ' ' s s' N J J L Me ds M e ds ' ' Los campos radiados se calculan a partir de las componentes tangenciales de los vectores de radiación jr e j λr N + L jr e j λr N + L φ θ η θ η ( η ) θ θ φ ( η ) φ φ θ φ Finalmente se obtienen unas epresiones para los campos radiados en la forma jr e η θ j θ + ( φ φ) e e d d λr Z + s' j ' ' j cos cos sin ' ' jr e η φ j + θ ( φ φ) e e d d λr Z + s' j ' ' j cos sin cos ' '

14 Campos próimos Los campos próimos de una antena se pueden obtener a partir de la formulación vectorial. Modos T Los campos de los modos T son Ω ε Ω ε Ω Ω jωω + Ω Utiliando la solución espectral para el potencial, las derivadas se sustituen por productos ( ) j j + j Ω f, e e e d' d ' j Ω ε j Ω ε Ω Ω ( ) Ω

15 Modos TM Los modos TM se pueden obtener de forma similar, a partir de la solución espectral del potencial Ω Ω jωω + Ω Ω µ Ω µ Ω Ω ( ) Ω j Ω µ j Ω µ l campo total se obtiene a partir de la superposición de los modos T TM respecto a La solución es ηω Ω ηω η Ω

Documentos relacionados

Tecnología Electrónica 3º Ingeniero Aeronáutico. radiación n y antenas

Tecnología Electrónica 3º Ingeniero Aeronáutico Conceptos básicos b de propagación, radiación n y antenas Dra. Mª Ángeles Martín Prats Radiación n y propagación. 1. Ondas electromagnéticas ticas en el