Tema II. Señales, sistemas y perturbaciones.

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1 Tema II. Señales, sistemas y perturbaciones. II.1. INTRODUCCIÓN. CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES. II.2. PERTURBACIONES EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN. II.3. SEÑALES PASO BANDA DE BANDA ESTRECHA. Teoría de la Comunicación, 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz (jorge.ruizcruz@uam.es, TCO ( ) Teoría de la Comunicación 1 II.1. INTRODUCCIÓN. CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal II.1.3. Unidades logarítmicas TCO ( ) II. Señales, sistemas y perturbaciones. 2

2 II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. En un sistema de comunicaciones, lo más habitual es que las señales sean magnitudes eléctricas (es decir, asociadas a algún fenómeno electromagnético) dependientes del tiempo: - tensiones - corrientes - componentes de campos electromagnéticos (bien de ondas guiadas, bien de ondas por el espacio libre),... Se pueden establecer varias clasificaciones de las señales de comunicaciones, de las que ahora se verán: - A) determinista, aleatoria - B) Periódica y no periódica - C) de energía o de potencia - D) según su contenido espectral: banda base y paso banda TCO ( ) II.1. Introducción. Caracterización de señales. 3 A) Clasificación según deterministas/aleatorias: - Deterministas (función específica del tiempo). Ej: - Aleatorias: para un instante dado, cada valor posible que puede tomar la señal tiene una probabilidad asociada. En este último caso se trabaja con procesos estocásticos. Ej: * formalmente la señal anterior depende dos variables: la temporal (t, que toma valores en R), y la asociada al espacio de probabilidad (χ, que toma valores en el espacio muestral Ω) B) Clasificación según periódica (x(t)=x(t+t o )) y no periódica (Φ Φ(χ) es una variable aleatoria) - Las señales deterministas quedan completamente determinadas por su función de variación en el tiempo o por su espectro. - Si la señal es periódica, su espectro es el Desarrollo en Serie de Fourier (DSF). -Si es no periódica, su espectro es la Transformada de Fourier (TF). - Las señales aleatorias también tienen descripción espectral (p. ej. la densidad espectral de potencia), pero necesitan además la descripción probabilística. TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 4

3 C) Clasificación en señales de energía ó señales de potencia: - Una señal puede ser representada típicamente como un voltaje v(t) o una corriente i(t) sobre una resistencia R. La potencia instantánea de estas señales son: - Normalmente se trabaja con resistencias normalizadas (como 50Ω en sistemas de RF, 75Ω en TV, ó 1 Ω por simplicidad), y por tanto se puede escribir, sin pérdida de generalidad: *si la resistencia no fuera 1Ω y se necesitara el valor real de la potencia, simplemente habría que desnormalizar con la resistencia adecuada - La energía disipada en un periodo de tiempo T será: -La energía media disipada será: - La potencia disipada en un periodo de tiempo T será: -La potencia media disipada será: TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 5 C) Clasificación en señales de energía ó señales de potencia (cont.): - De acuerdo a las definiciones anteriores, las señales se pueden dividir en aquellas que tienen energía media finita y aquellas que tienen potencia media finita -C.1) Señales de energía: aquellas que su energía media es finita: * Tienen potencia media nula P x =0 y tienen asociada una función densidad espectral de energía * Ej: Típicamente son funciones acotadas y limitadas en el tiempo (p.ej. la función pulso x(t)=π(t) o la función triangular x(t)=δ(t) ) -C.2) Señales de potencia: aquellas que E x = y su potencia media es finita: (ver II.1.2) * Tienen asociada una función de densidad espectral de potencia (ver II.1.2) * Las señales periódicas x(t)=x(t+t o ) son señales de potencia, y la expresión de su potencia media se simplifica a: * Normalmente, las señales aleatorias son señales de potencia - Una señal no puede ser a la vez de energía y de potencia - Una señal podría no ser ni de energía ni de potencia, pero en sistemas de comunicaciones no se suelen dar. TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 6

4 D) Clasif. en banda base vs. paso banda (modulación de canal) X(f) - D.1.1) Banda base (no hay portadoras) en sistemas analógicos x(t) t TF (caso 1) (caso 2) 0 B f B=ancho de banda * Señal en tiempo continuo y con valores continuos, cuyo espectro está 0 B concentrado en torno a la frecuencia f=0. Ej: salida de un micrófono o de una cámara de video. - D.1.2) Banda base (no hay portadoras) en sistemas digitales. f (ej. 1) (ej. 2) x(t) x(t) t t TF 0 X(f) B B=ancho de banda f * Señal en tiempo continuo, donde en cada periodo de símbolo la señal se toma de un conjunto finito de pulsos con espectro concentrado a la frecuencia f=0. Ej: señal de cables LAN TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 7 - D.2.1) Paso banda (hay portadoras) en sistemas analógicos. y(t) t f * Señal en tiempo continuo y con valores continuos, con su espectro centrado alrededor de una determinada frecuencia (normalmente altas ) 0. Ej: señal emitida por una emisora de radio (ej. 1) (ej. 2) y(t) f c TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 8

5 Otras clasificaciones/tipos de señales: x(t) Ej: Muestreo de una señal de voz - Señales en tiempo discreto, con valores continuos: t x(t) (ver Tema IV.1) - Señales en tiempo discreto, con valores pertenecientes a un conjunto finito: - Uni/Multi-dimensionales (audio/video),... Ej: Cuantificación de una señal de voz muestreada t - Una señal con características especiales es la señal sinusoidal: x(t)= cos(ω o t+φ) = =cos(2πf o t+φ), que también se conoce como tono o portadora. Su espectro es una delta a la frecuencia f 0 (y su correspondiente delta en f o ). - Cuando se utiliza como portadora (carrier), f 0 es una frecuencia alta (mucho mayor que la máxima frecuencia de la señal de información) y se suele utilizar la letra f c. - Sin embargo, a veces se utiliza como ejemplo de señal de información en banda base (tono con f 0 menor o igual que la máxima frecuencia de la señal de información) porque se puede manipular matemáticamente de manera muy sencilla y evaluar el sistema de manera analítica. TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 9 Ejemplos de señales analógicas: - Señal de audio: * Audio: cualquier tipo de señal de sonido. Oído humano capta aprox. entre 20 Hz y 20 KHz. En radiodifusión AM se utiliza B 7 KHz y en FM B 15 KHz. * Voz: sonidos producidos por el hombre. Energía aproximadamente entre 100 Hz y 7.8 KHz. En telefonía clásica se utiliza B 3.4 KHz. - Señal de vídeo: * Señal de vídeo monocromo: resultado de la transformación de la iluminación en función de la posición y del tiempo en una señal 1-D (tensión en función del tiempo). Su ancho de banda es del orden de B 5.5 MHz. * La señal de vídeo a color necesita tres componentes. La señal de televisión analógica modulada con el procesamiento necesario (video + audio) ocupa aproximadamente B 7 MHz. Ejemplos de señales digitales: conversión A/D de las señales de audio y vídeo, señales de datos (ver tema IV.1). TCO ( ) II.1.1. Tipos de señales y ejemplos. 10

6 II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal. Aunque la variación temporal o el espectro de una señal caracterizan por completo a una señal, muchas veces bastan parámetros más simples: el rendimiento de un sistema no suele depender de la forma específica de la señal, sino de alguno de sus parámetros Ahora se verán algunos parámetros de interés: - Valor medio: señales periódicas - Energía media y potencia media (vistos en II.1.1): señales periódicas - Potencia continua y alterna: - Valor cuadrático medio (rms) y valor eficaz: TCO ( ) II.1. Introducción. Caracterización de señales. 11 Densidad espectral de energía (d.e.e.): función que dice como está distribuida la energía de la señal sobre el espectro (para señales de energía E x < ): X(f) es la transformada de Fourier de x(t) Energía en la banda de frecuencias entre f 1 y f 2 Energía media total (calculada a través de la d.e.e.) Densidad espectral de potencia (d.e.p): función que dice como está distribuida la potencia de la señal sobre el espectro (para señales de potencia 0< P x < ): X T (f) se calcula como (ver Ap. B): Potencia en la banda de frecuencias entre f 1 y f 2 Potencia media total (calculada a través de la d.e.p.) TCO ( ) II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal. 12

7 Densidad espectral de pot. para señales periódicas (que son señales de potencia): C n son los coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier de x(t), que tiene periodo fundamentalt 0 =1/f 0 Potencia en función de los coeficientes C n Filtrado por sistemas LTI: cuando una señal de energía (potencia) pasa a través de un LTI, su d.e.e. (d.e.p.) queda relacionada con la de entrada por: x(t) de energía LTI x(t) de potencia LTI Para los procesos estocásticos (que son señales de potencia), existen expresiones formalmente idénticas, que se verán al tratar el ruido (II.2.6) TCO ( ) II.1.2. Parámetros fundamentales de una señal. 13 II.1.3. Unidades logarítmicas. Normalmente, las señales y sus perturbaciones se definen en escalas logarítmicas. - Son relativas y adimensionales - Permiten manejar señales muy fuertes y muy débiles características de los sistemas de comunicaciones - Convierten multiplicaciones/divisiones en sumas/restas - Las respuestas de los órganos sensoriales son proporcionales a los logaritmos de las excitaciones Forma general de las unidades logarítmicas: - x 1,x 2 son los valores de la magnitud (expresados en las mismas unidades naturales) - Q es el valor resultante en unidades logarítmicas - b es la base del logaritmo (10 o e) - k es un factor de proporcionalidad (10 ó 20 para b=10; 1 ó ½ para b=e) -Si x 1 es una referencia, Q se denomina nivel TCO ( ) II.1. Introducción. Caracterización de señales. 14

8 Definición: Una relación en decibelios entre dos potencias p 1, p 2 expresadas en las mismas unidades naturales se define como: - Cuando se trabaja con amplificadores (para otros dispositivos se procedería igual), la ganancia de potencia y tensión del amplificador vendrá dada en unidades naturales como: - Si se utilizan resistencias normalizadas, la relación de estas dos ganancias en unidades naturales será: En db, la ganancia se define de una única manera: Los dbs también se utilizan para niveles, utilizando una referencia normalizada: -dbm, dbw: (Ej: 0.5W mw -3dBW 27dBm) - La potencia a la salida de un amplificador será: - En TV, a veces se usa el dbμv para tensiones E: TCO ( ) II.1.3. Unidades logarítmicas. 15 Línea de transmisión ideal: - Si la resistencias de entrada y salida son iguales: (retardo no influye en la potencia, pero si la constante k) - Los parámetros k,y t o a veces se dan en función de los parámetros electromagnéticos de la línea: Atenuación de la línea - Longitud de la línea: d [m] - Constante de atenuación: α [Nep/m] - Constante de fase: β [rad/m] = 2πf/c = 2π/λ - Longitud de onda: λ [m] = 2π/β = c/f - Velocidad de propagación de la luz en la línea de transmisión: c [m/s] TCO ( ) II.1.3. Unidades logarítmicas. 16

9 Línea de transmisión ideal (cont.) - La atenuación de la línea es α [db/m] y, con abuso de notación, muchas veces se le llama también α (sin factor ). - Los dos parámetros se distinguen por las unidades (Neper/m vs. db/m) Cadena de amplificador y atenuador: TCO ( ) II.1.3. Unidades logarítmicas. 17 Ejemplos de calculo de potencias en unidades logarítmicas: Señal x s (t) Potencia p s (uni. nat.) [W] p s [mw] [dbm] P s [dbw] Comentarios x(t) señal de potencia Amplificación de ganancia G=10dB Amplificación de ganancia G=20dB Amplificación de ganancia G=3dB Amplificación de ganancia G=6dB Atenuación de A=3dB (ganancia de -3dB) Ganancia de G=24dB (=30-6) (Atenuación de A=-24dB) Atenuación de A=33dB (= ) Atenuación de A=52dB (=70-3 6) g p = g v2 = 1/a v 2 = 1/a p p s =g p p=p/a p = =g v2 p=p/a v 2 P s [dbm]= P[dBm]+G[dB] P s [dbw]= P[dBW]+G[dB] G[dB] = -A[dB] [dbm] = [dbw]+30 TCO ( ) II.1.3. Unidades logarítmicas. 18

10 Sean x(t), y(t) dos señales de potencia y se forma z(t)=x(t)+y(t): - La potencia de la señal suma es: - Si se cumple <x,y>=0, se dice que las dos señales son ortogonales, y se tiene que la potencia de la señal suma es la suma de las potencias de las señales individuales. Señal Potencia [W] [mw] [dbm] [dbw] Comentarios x(t) señal de potencia y(t) señal de potencia Notar que el resultado NO es 30dBm+30dBm=60 dbm Notar el cambio de signo Notar que el resultado NO es 33dBm+33dBm=66 dbm Notar que el resultado NO es 30dBm+38.5dBm=68.5 dbm TCO ( ) II.1.3. Unidades logarítmicas. 19 Ap. A: Transformada de Fourier en la variable f La transformada de Fourier usada en Sistemas Lineales X sl (ω) y en Teoría de la Comunicación X tc (f) están relacionadas por un simple cambio de variable ω=2πf A partir de ahora, para la transformada de Fourier se usará: TCO ( ) II.1. Introducción. Caracterización de señales. 20

11 Ap. A (cont.) Transformada de Fourier: TF Todas las propiedades de la TF vista en sistemas lineales se conservan, y simplemente habrá que hacer el cambio de variable ω [rad/s]=2π f [1/s] (teniendo cuidado con la función δ, ver siguiente página) Pares de transformadas básicos: TF TCO ( ) Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f. 21 Ap. A (cont.) Pares de transformadas (cont.): Observaciones: - Propiedad de la función delta: - Por tanto, con un cambio de variable ω=2πf: TCO ( ) Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f. 22

12 Ap. A (cont.) Propiedades básicas: Señales reales: Relaciones de Rayleigh y Parseval: TCO ( ) Ap. A. Transformada de Fourier en la variable f. 23 Ap. B (opcional): Cálculo de las densidades espectrales de energía y de potencia Densidad espectral de energía (definida sólo para señales de energía): - Definición de la función autocorrelación para señales de energía (E x < ): - De la definición se desprende: - Se define G x (f) como la Transformada de Fourier de la función autocorrelación: - Teniendo en cuenta que para cualquier par de transformadas z(t) Z(f) se cumple: - Por tanto, la función G x (f) cumple: - En conclusión, la d.e.e. G x (f) establece como se distribuye la energía de x(t) sobre el espectro. La forma de G x (f)= X(f) 2 también se podría haber obtenido por el teorema de Parseval TCO ( ) II.1. Introducción. Caracterización de señales. 24

13 Ap. B (cont.) (opcional) Densidad espectral de potencia (definida sólo para señales de potencia): - Definición de la función autocorrelación para señales de potencia (0<P x < ): - De la definición se desprende: - Se define S x (f) como la Transformada de Fourier de la función autocorrelación: - Y utilizando el mismo argumento que para la d.e.e (particularización de la definición de la TF para τ=0) : - En conclusión, la d.e.p. S x (f) establece como se distribuye la potencia de x(t) sobre el espectro. - Las funciones autocorrelación y sus TF (las densidades espectrales de energía/potencia), tienen unas propiedades características (paridad, filtrado, ) que se mantienen también en el caso de procesos estocásticos (señales de potencia) (ver p. ej. Haykin, Comm. Systems, 4ª ed. ) TCO ( ) Ap. B. Cálculo de la d.e.e. y de la d.e.p. 25 Ap. B (cont.) (opcional) Densidad espectral de potencia (cont.): cálculo de S x (f) - Para hallar la forma de S x (f), se define la señal auxiliar x T (t), que es una señal de energía (está limitada en el tiempo): - La autocorrelación de la señal de potencia x(t) se puede poner en función de la autocorrelación de la señal de energía x T (t): - Si ahora se hace la TF de la expresión anterior, y se pueden intercambiar la operación de TF y el límite, se tiene Teorema de Wiener-Khintchine - Donde: TCO ( ) Ap. B. Cálculo de la d.e.e. y de la d.e.p. 26