Seminario de Audio Ernesto López Martín Rocamora

Transcripción

1 Seminario de Audio 2005 Ernesto López Martín Rocamora

2 Análisis espectral Representación temporal: Representación espectral:

3 Motivación La respuesta de un sistema LTI a una sinusoide es una sinusoide de igual frecuencia. Sólo se modifica la amplitud y la fase. Muchos sonidos se producen a partir del movimiento armónico simple del elemento generador.

4 Transformadas de Fourier Transformada de Fourier Señales continuas y aperiódicas Series de Fourier Señales continuas y periódicas Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) Señales discretas y aperiódicas Transformada Discreta de Fourier (DFT) Señales discretas y periódicas

5 Análisis de finitas muestras Cómo anlizamos un conjunto de muestras finito? Extendiendo con muestras nulas (DTFT). Repitiendo el conjunto de muestras (DFT).

6 Cálculo en una computadora La DTFT no es aplicable: Se necesitan infinitas sinusoides para sintetizar una señal aperiódica. Las computadoras pueden trabajar únicamente con un número finito de señales discretas. Para analizar en una computadora un conjunto de muestras finito, se repiten y se utiliza la DFT.

7 Transformada Discreta de Fourier Señal digital y descomposición en sinusoides Cosenos Senos

8 Transformada Discreta de Fourier donde X(k) y x(n) son números complejos que representan, el k-ésimo elemento de la DFT el n-ésimo elemento de la señal

9 La DFT Real Entrada Señal real discreta x[n] de N puntos Salida Dos señales reales ReX[k] y ImX[k] de N/2+1 puntos

10 La DFT Real Las señales de salida contienen las amplitudes escaladas de las componentes coseno y seno ReX[k] Componentes coseno ImX[k] Componentes seno

11 Funciones base de la DFT Conjunto de funciones linealmente independientes La suma de las funciones base Ck[n] y Sk[n] escaladas por los valores de la DFT, ReX[k] y ImX[k] respectivamente, producen la señal original

12 Cálculo de la DFT La correlación permite comparar señales. El proceso consiste en multiplicarlas punto a punto y sumar todos los valores resultantes. Ejemplos: 1 Señal y función base iguales Correlación máxima 2 Función base no contenida en la señal Correlación nula

13 Cálculo de la DFT Para calcular la DFT se correlaciona la señal analizada con cada una de las funciones base.

14 Notación Polar Es más claro representar la señales en frecuencia usando la notación polar. Esta notación representa la señal en términos de la amplitud y fase de sus componentes. A cos(x) + B sen(x) = M cos(x+ө)

15 Enventanado Al periodizar el bloque de análisis aparecen discontinuidades. Las discontinuidades producen componentes espectrales que no existen en la señal original.

16 Enventanado Para eliminar las discontinuidades, se mutiplica la señal por otra señal (ventana) que la suaviza. Distintos tipos de ventana: Triangular, Hamming, von Hann, Kaiser, etc. Enventanado Eliminación de discontinuidades

17 Enventanado Tiempo Espectro El efecto del enventanado es que la energía de los componentes espectrales se derrama hacia los costados en función del espectro de la ventana.

18 Tipos de ventana La elección de la ventana plantea un compromiso entre ancho del lóbulo principal y amplitud de los lóbulos sencundarios.

19 Tipos de ventana

20 Enventanado: resolución y derramamiento El ancho del lóbulo principal y la amplitud de los lóbulos secundarios determinan la resolución en frecuencia y el derramamiento. Sinudoides de frecuencias: 0.2 fs/2 y 0.3 fs/2 y amplitudes: 0.1 y 2

21 Enventanado: resolución y derramamiento Sinudoides de frecuencias 0.2 fs/2 y 0.23 fs/2 y amplitud 2

22 Resolución de la DFT El número de puntos de la transformada determina la resolución en frecuencia. Si la señal es de N puntos, el espectro tiene N/2+1 puntos entre 0 y fs/2. Resolución = fs/n Ejemplo: -sinusoides de frecuecias 0.2, 0.22 y 0.6 fs/2 -transformadas de largo 50, 100 y 200 puntos -resoluciones de 0.04, 0.02 y 0.01 fs/2.

23 Relleno de ceros El relleno de ceros consiste en agregar ceros a la señal enventanda. Como la señal tiene mas puntos, se obtiene mayor cantidad de puntos en el espectro entre 0 y fs/2. La representación del espectro tiene mayor definición.

24 Relleno de ceros Si bien el espectro tiene mayor definición, no aumenta la resolución. Ej. anterior con relleno de ceros. A pesar del relleno de ceros, sigue sin resolverse las componentes cercanas. Sólo aumenta la definición del espectro del conjunto de muestras enventanado y no de la señal analizada.

25 Transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) La evolución temporal del espectro puede analizarse mediante la Transformada de Fourier de tiempo corto. Se calcula la DFT de bloques de señal sucesivos. Los bloques se solapan en el tiempo para: considerar el enventanado e incrementar la resolución temporal. El largo del bloque de análisis y el solapamiento se determinan en función de las características de la señal.

26 STFT Compromiso entre resolución temporal y resolución espectral. Espectrogramas: Banda ancha Bloques cortos Buena resolución temporal Banda angosta Bloques largos Buena resolución espectral

27 Referencias Digital signal processing S. Smith Discrete-time signal processing A.V. Oppenhiem R.W. Schafer