Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4

Transcripción

1 Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4 (2 sesiones) Laboratorio de Señales y Comunicaciones

2 PRÁCTICA 4 Análisis Espectral mediante DFT. Objetivo Habitualmente, el análisis de señales y sistemas LTI discretos se realiza mediante la transformada de Fourier y la transformada Z. Para secuencias de duración finita resulta más práctica una representación en frecuencia alternativa conocida como la transformada discreta de Fourier (DFT). La DFT de una secuencia es otra secuencia (y no una función de una variable continua) formada por muestras equiespaciadas en frecuencia de la transformada de Fourier (continua) de dicha secuencia. La DFT es una de las herramientas fundamentales dentro del campo del tratamiento digital de señal debido a que la DFT es una transformada computable digitalmente y existen algoritmos muy eficientes para su cálculo (algoritmos FFT). Por ello, el objetivo de esta práctica es que el alumno conozca sus principales propiedades y características. Asimismo, esta práctica introduce el análisis espectral de señales deterministas, estudiándose los conceptos de enventanado y resolución. 2. Contenido Teórico El contenido teórico necesario para desarrollar esta práctica puede encontrarse en los capítulo 8 y del libro "Discrete-Time Signal Processing" de A. V. Oppenheim y R. W. Schafer. Su estudio previo es condición indispensable para el correcto aprovechamiento de las horas de laboratorio. 2

3 3. Cuestionario previo. Sea s[n] una sinusoide real enventanada: s [ n] = Acos( ω 0n + φ), n = 0,, 2,, N 2π Demuestre que si ω0 = m, (para cualquier m entero) sólo dos valores de su N DFT de longitud N serán distintos de cero. Emplee la relación de Euler si lo considera necesario. 2. Obtenga la DFT de N puntos de un pulso simétrico con respecto al origen y de L N y dibuje aproximadamente su módulo y fase. longitud L ( ) 3. Obtenga la transformada de Fourier de la ventana rectangular (0 < n < L-). Determine una expresión que proporcione la frecuencia discreta a la que se produce la caída de 3 db (con respecto al máximo) en función de la longitud de la ventana. Particularice la fórmula para L = 20. (Utilice una aproximación de Taylor de orden adecuado, si lo cree necesario) 4. Una ventana triangular de longitud impar (L) puede describirse como la convolución de una ventana rectangular de longitud (L+l)/2 consigo misma. a. Por qué la altura de los lóbulos laterales de la ventana triangular de longitud L es exactamente el doble (en db) que los de la rectangular de longitud (L+l)/2? b. Determine la longitud mínima que debería tener una ventana triangular para que su transformada de Fourier tenga la misma anchura de lóbulo principal a 3 db que una ventana rectangular de 20 puntos. 3

4 4. DFT y Muestreo de la transformada de Fourier Ejercicio Sea s[n] una sinusoide enventanada: s [ n] = Acos( ω 0n + φ), n = 0,, 2,, N a) Escriba la fórmula analítica de la DFT de s[n]., con N=7. b) Determine ω 0 para que el período de s[n] sea exactamente N (considere fase nula). Dibuje la señal en tiempo mediante stem y la referencia temporal adecuada. Calcule su DFT de longitud N, mediante fft, y dibuje el módulo y la fase. Preste especial atención al eje de frecuencias. Centre la transformada en torno a la frecuencia cero; para ello ayúdese de la función de MATLAB fftshift. c) Repita el apartado anterior para el caso de un seno. Compare el módulo y la fase obtenidos en ambos casos. Si encuentra valores no esperados para la fase, dibuje también la parte real e imaginaria de la transformada. Coincide con la fórmula teórica? d) Determine ω 0 para que la sinusoide tenga un período de N/2. Calcule su DFT de longitud N. Coincide el resultado con lo obtenido en la cuestión previa? e) Determine ω 0 para que la sinusoide tenga un período de N/2.. Por qué la DFT es tan diferente respecto al apartado c)? Ejercicio 2 Calcule la DFT de longitud 6 de un pulso centrado en el origen de longitud L=. Dibuje tanto el módulo como la fase de la transformada, entre π y π. Ejercicio 3 Es posible calcular la DFT de dicha señal con el comando de MATLAB fft? Es necesario rellenar con ceros la secuencia original? Genere un segmento de una secuencia exponencial: n x[ n] = 0.9 u[ n], para 0 < n < L - l. Tome un número reducido de muestras, por ejemplo L=6. a) Calcule la DFT de N = L puntos de x[n] y dibuje su módulo X [ k] entre 0 y 2π. n b) Sea y[ n] = 0.9 u[ n] una exponencial de duración infinita, e Y ( e ) su transformada de Fourier. Compare X [k] con lo que se obtiene al muestrear Y ( e ). Realice el muestreo entre 0 y 2π y elija, justificadamente, una 4

5 frecuencia de muestreo adecuada. Dibuje el módulo de ambas transformaciones n en la misma gráfica. Nota: tenga en cuenta que TF{ a u[ n]}= ae Interprete las muestras de la transformada de Fourier anterior, Y ( e ), como una DFT: V[ k] = Y ( e ) ω= 2π / N k El proceso completo se muestra en siguiente figura., k = 0,..., N y[n] = 0.9 n u[n] Transformada de Fourier en tiempo discreto Y( e ) = 0.9e muestreo v[n] Transformada de Fourier Discreta (DFT) inversa V[k] = Y(e ) ω=2π/nk c) Calcule la DFT inversa de V[k] mediante ifft, es decir, obtenga la secuencia v[n]. Experimente con diferentes longitudes de la DFT. Explique detalladamente a qué se debe la diferencia entre v[n] e y[n] y cómo afecta el valor de N. d) Encuentre la expresión analítica de v[n] en función de y[n]. 5. Análisis Espectral de Señales Deterministas 5.. Enventanado El análisis de señales en el dominio de la frecuencia implica necesariamente (cuando éstas tienen una duración grande o ilimitada) el enventanado de las mismas en el dominio del tiempo. Para esta tarea (también para diseño de filtros) se han propuesto muchos tipos de ventanas; en cualquier caso, la ventana siempre actúa limitando la duración de la señal en el tiempo y [ n] = x[ n] w[ n], con w[ n] = 0fuera del intervalo0 n L Las propiedades fundamentales de las ventanas se describen habitualmente en el dominio de la frecuencia: la transformada de Fourier de la señal enventanada es la convolución periódica de la transformada de Fourier de la señal original con la transformada de Fourier de la ventana: y 2π π TF [ n] = x[ n] w[ n] Y( e ) = X ( θ ) W ( ω θ ) dθ π 5

6 Ejercicio 4 Genere una ventana rectangular de longitud L = 20. Calcule su DFT (utilice para la fft un N = 52, y asegúrese de que N es mayor que la longitud de la señal) y dibújela (plot) representando el eje vertical en db ( 0 log0 ) y el horizontal desde -π hasta π. Repita el ejercicio anterior para diferentes longitudes de ventana: 8 y 64, empleando siempre DFTs de la misma longitud. Qué efecto tiene en el espectro la longitud L? Ejercicio 5 La ventana triangular se conoce también como ventana de Bartlett. MATLAB ofrece dos funciones para generar este tipo de ventanas: bartlett y triang, que conducen a ventanas de longitud diferente. Use bartlett para generar una ventana de longitud y dibújela (stem). Vamos a medir la bondad de una ventana mediante dos parámetros: la anchura del lóbulo principal y la altura de los lóbulos secundarios. La anchura del lóbulo principal está en relación inversa con la longitud de la ventana. a) Calcule y dibuje la DFT de ventanas triangulares de longitud 39 y 79. Se divide a la mitad el ancho del lóbulo principal al duplicar la longitud de la ventana? Compare este resultado con el obtenido en la cuestión previa 4. b) Calcule y dibuje la DFT de una ventana triangular de longitud impar, L=39, junto con la correspondiente a una ventana rectangular de longitud (L+)/2. Los lóbulos secundarios presentan la relación esperada?. (Nota: normalice a 0dB el módulo de las transformadas para una comparación justa) Los lóbulos secundarios vienen determinados por el tipo de ventana. La ventana rectangular tiene los peores (mayores) lóbulos secundarios, y la gran mayoría de tipos de ventanas se han propuesto con el fin de reducirlos. La medida más habitual para cuantificar estos lóbulos secundarios es la amplitud del lóbulo secundario más alto. c) Calcule y dibuje la DFT de ventanas rectangulares y triangulares de longitudes L=4 y L=6. Dibújelo con un subplot(22x). Observe la amplitud del lóbulo secundario más alto y el ancho del lóbulo principal. Rellene la siguiente tabla. Qué conclusiones extrae de la misma? Ancho lóbulo principal (rad.) Altura lóbulo secundario (db) Rectangular 4 Rectangular 6 Triangular 4 Triangular 6 6

7 5.2. Resolución espectral La resolución espectral que proporciona una ventana viene dada por la anchura de su lóbulo principal: la resolución será tanto mayor cuanto más estrecho sea éste. De aquí en adelante entenderemos por resolución espectral de un determinado algoritmo su capacidad para distinguir dos frecuencias muy próximas. Sean las señales x j [ ] ( ω n+ φ ) j [ ] ( ω2n+ φ n = A e y x n = A e 2 ) El algoritmo que vamos a considerar será la FFT y la señal a analizar será la suma de las dos anteriores x [ n] y x 2 [ n]. Tomaremos A l = A 2 = y las fases nulas. Ejercicio 6 y = + 2 (para n = 0,,, L ). Utilice una longitud L=6 y unos valores de ω =2π3/32 y ω 2 =2π4/32. Genere un segmento de la señal [ n] x [ n] x [ n] a) Calcule la FFT de longitud N=6 de y[n] y dibuje su módulo entre π y π. b) Repita el apartado a) pero con valores de N = 64, 256 y 024. Dibuje las 4 gráficas mediante un subplot de una columna. Es posible observar las dos exponenciales en todos los espectros? Por qué? c) Repita los apartados a) y b), ahora con una señal y[n] de L=32 muestras. Es posible observar ahora las dos exponenciales en todos los espectros? Por qué? d) Genere de nuevo todas las gráficas anteriores, pero enventanando y[n] con una señal triangular (triang(l)). Señale las diferencias con los espectros anteriores y razone a qué se deben. e) A la vista de este ejercicio, indique qué ventajas aporta aumentar N, L y qué papel desempeña el tipo de ventana que se emplee

8 Ejercicio 7 La fibrilación auricular (FA) es una patología cardiaca caracterizada por una morfología temporal compleja. La señal del electrograma recoge la variación de la onda eléctrica que se desplaza por la superficie del corazón. Se quiere determinar el ciclo de latido en varios electrogramas de FA, así como un índice que nos asegure la validez de esta medida. El ciclo de los latidos (tiempo medio entre 2 latidos) en una FA no suele ser fácil de calcular en el dominio temporal. Se va a recurrir a técnicas de procesado de señal para su cómputo. Partiendo del electrograma de FA como el de la figura (A, izquierda), se desea obtener su espectro (D, derecha), donde se puede observar la frecuencia dominante, FD, - componente frecuencial de mayor amplitud- en aproximadamente 6 Hz. Por tanto el ciclo de los latidos será de /FD = 67 ms. Adicionalmente a la frecuencia dominante, se desea calcular un parámetro que mida la calidad de esta medida, que calcularemos mediante el índice de regularidad, IR. Su valor es la energía espectral en la banda de 0 75 Hz centrada en la FD dividido por la energía espectral entre 3 y 5 Hz. En caso de que IR > 0.25 daremos por válida la estima de la FD. 8

9 Los electrogramas ya digitalizados a 000 Hz se han almacenado en el archivo de MATLAB electrogramasfa.m Se pide realizar el procesado descrito de manera automática, mediante un programa en MATLAB con la siguiente cabecera: [FD, IR, V] = detector (x); Donde FD es la frecuencia dominante e IR el índice de regularidad de la fibrilación almacenada en x, y V indica si la FD es válida () ó no (0). El programa debe aceptar que x sea una matriz, con tantas señales de FA distintas como filas tenga, y devolver entonces la FD, IR y V como vectores columna, de longitud el número de señales de FA. El procesado de señal que se empleará, siguiendo las figuras anteriores, es el siguiente: A. Señal sin procesar, muestreada a 000 Hz. B. Filtrado paso banda entre 40 y 250 Hz. C. Rectificación (cálculo del valor absoluto). D. Filtrado paso bajo a 20 Hz. A continuación se buscará el máximo del espectro entre 3 y 5 Hz (dando lugar a la FD) y se calculará el cociente de energías para el IR. NOTAS: Ensaye a enventanar la señal con distintas ventanas antes de calcular la FFT y compruebe cuál da mejores resultados. Explique brevemente si le resultan razonables los pasos de procesado de señal realizados. Para encontrar el máximo de una función debe igualar la derivada a cero. Ayúdese de la función clap.m, que elimina el espectro por debajo de un umbral que debe elegir. Recuerde que en tiempo discreto la derivada se realiza mediante una ecuación en diferencias de primer orden. Busque los lugares donde se produce el cambio de signo de la derivada. Elija el número de puntos de la FFT para asegurar que entre 2 muestras de la misma hay como mucho una separación de 0. Hz. 9