Práctica 4: Series de Fourier

Transcripción

1 Práctica 4: Series de Fourier Apellidos, nombre Apellidos, nombre Grupo Puesto Feca El objetivo de esta práctica es profundizar en la respuesta de sistemas LTI, comprobar el comportamiento de estos sistemas ante señales eponenciales complejas, y desarrollar prácticamente varios de los conceptos relacionados con el Desarrollo en Serie de Fourier (DSF) de señales discretas periódicas. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un ficero de comandos ejercicio_x.m separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el ficero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficeros.m generados en un único ficero practica_4_puesto_xx. zip, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda. Salvo que se le indique lo contrario en algún apartado concreto, no está permitido utilizar en los scripts las funciones de control de flujo del programa de MATLAB (for, if-else, etc.). 4.1 Eponenciales complejas como autofunciones de sistemas LTI Ejercicio 1: sistemas LTI causales El objetivo de este ejercicio es comprobar que las eponenciales complejas discretas son efectivamente autofunciones de los sistemas LTI. Para comprobarlo, este ejercicio está orientado a localizar los autovalores correspondientes a varias de estas funciones. Sea un sistema LTI causal definido por la siguiente relación entrada/salida: y [] n 0.25y[ n 1] = [] n + 0.9[ n 1] Suponiendo que se verifica la condición de reposo inicial para n < 0, es posible obtener n = δ n y n = n, aplicando recurrencia: analíticamente su respuesta al impulso, [ ] [ ] [ ] [ ] De la ecuación que describe el sistema, se desprende que [ n] = [ n] + 0.9[ n 1] y[ n 1] y : [] 0 = y[] 0 = [ 0] + 0.9[ 1] y[ 1] = 1 [] 1 = y[] 1 = [] [ 0] y[ 0] = [] 2 = y[] 2 = [ 2] + 0.9[ 1] y[ 1] = 0.25 ( ) 2 [] 3 = y[] 3 = [ 3] + 0.9[ 2] y[ 2] = 0.25 ( ) Deduzca la epresión general de [] n :

2 []= n Sean las señales: π j n [] n e 4 1 = [] n = sin( n π ) 2 π [] n ( 9 ) n 10 3 = [] n = n Defina las cuatro señales i [] n en el intervalo n [ 20,50], y la señal [ n] en el intervalo n [ 0,70] y represéntelas en cinco gráficos en fila en una misma ventana (utilice subplot). Caso de que alguna señal tenga parte real y parte imaginaria, representa simultáneamente su módulo y fase en el mismo gráfico (comando old y dos colores). Parte A: obtención de las respuestas con la función conv. Observe que [] n toma valores en el intervalo n [ 0, ) ; por lo tanto, ya que en la práctica no podemos definir un vector de infinitos valores, cualquier cálculo de una respuesta y [ n] utilizando la función conv tendrá que utilizar una versión reducida o truncada de [ n], que denominaremos [] n. Según se vio en la práctica anterior, ello ará que la respuesta obtenida, y T [ n], sea una versión reducida o truncada de la respuesta teórica, y [] n. Teniendo en cuenta que en este caso T [ n] se a definido en el intervalo n [ 0,70], indique en qué intervalo se verificará que [ n] y[ n] y T =. T n Obtenga, utilizando la función conv, las respuestas y i [ n], y represéntelas en un nuevo gráfico de cuatro filas; represéntelas únicamente en el intervalo en que son válidas. Obtención de los autovalores: Debido a la imposibilidad que tiene MATLAB de trabajar con señales infinitamente largas, las señales i [] n an de comenzar en un instante determinado. Ello da lugar a una respuesta natural o transitoria en y i [] n, que conforme aumenta n se va aciendo despreciable. En este caso, comenzando las señales en n = 20, el transitorio es prácticamente nulo para n 0. Como la propiedad de las eponenciales como autofunciones se da en régimen permanente, para comprobarla compararemos las entradas y las respuestas sólo desde el índice n = 0 asta el final del intervalo de validez de las respuestas. En este

3 intervalo, si la relación yi [] n i [] n es constante, indica que [ n] dica constante es el autovalor buscado. i es una autofunción del sistema, y que Represente las cuatro señales H y [ n] [ n] adjunta: Es autofunción (SI/NO) Autovalor H: i = i i en un nuevo gráfico de cuatro filas y rellene la tabla 1 [ n] 2 [ n] 3 [ n] [ n] 4 Parte B: obtención de las respuestas con la función filter. El comando filter calcula la respuesta de un sistema LTI causal especificado por una ecuación en diferencias, lineal y de coeficientes constantes, y suponiendo reposo inicial. Más específicamente, sea el sistema está definido por la ecuación: N = 0 a y M [ n ] = b [ n ] = 0 Para un vector fila de valores de entrada,, la epresión y=filter(b,a,) obtiene el vector de valores de salida, y, siendo a un vector con los valores de a, y b un vector fila con los valores de b. El vector de salida tiene el mismo rango de valores que el de entrada, y todos sus valores son válidos (a diferencia de lo que ocurre con la función conv debido al uso de [ n], truncada por necesidad). Obtenga, aora utilizando la función filter, las respuestas y i [ n], y represéntelas en un nuevo gráfico de cuatro filas. Obtenga, como en el caso anterior, los autovalores, comparando las entradas y las respuestas desde el índice n = 0. Represente de nuevo las cuatro señales H y [ n] [ n] la tabla adjunta: Es autofunción (SI/NO) Autovalor H: i = i i en un nuevo gráfico de cuatro filas y rellene 1 [ n] 2 [ n] 3 [ n] [ n] Desarrollo en Serie de Fourier de señales discretas periódicas Dada una señal [] n periódica, para obtener con MATLAB los coeficientes a de su DSF, utilice la función a=(1/n)*fft(), donde N es el periodo fundamental de la señal [ n], y es un vector fila que contiene los valores de un periodo cualquiera, y sólo uno, de [ n]. La operación inversa se realiza del siguiente modo: dada la serie de coeficientes a, [ 0, N 1],

4 utilice =N*ifft(a) para obtener un periodo de la señal periódica [ n]. Para evitar efectos derivados de la precisión finita con que opera MATLAB, redondee al quinto decimal (recuerde lo visto en la Práctica 2) los valores de las señales resultantes de ambas operaciones (fft e ifft) antes de acer nada más con ellas Ejercicio 2: DSF de sinusoides discretas Sean las siguientes señales discretas periódicas: ~ 1 [] n = cos n, que es una señal par 10 ~ 2 [] n = sin n, que es una señal impar 10 Obtenga los coeficientes de su DSF siguiendo el procedimiento indicado: defina las señales n ~ n n ~ n n 0, N 0 1, y aplique la epresión indicada. En un 1[] = 1[] y 2 [] = 2[] en el intervalo [ ] mismo gráfico, represente en la fila superior tres gráficos con 1 [ n], el módulo de sus coeficientes y la fase de sus coeficientes; en la fila inferior represente en otros tres gráficos la información correspondiente de 2 [] n. Compruebe que los coeficientes corresponden con lo que cabría esperar, y que efectivamente verifican las propiedades que corresponden a las señales pares e impares. Comente, en este sentido, el resultado obtenido: Ejercicio 3: Obtención de una señal a partir de sus coeficientes Sea una señal discreta periódica de periodo N 0 = 5, con coeficientes: * jπ 4 * jπ 3 0 = 1, a2 = a 2 = e, a4 = a 4 2e a = A la vista de los coeficientes, espera que la señal periódica a que pertenecen, ~ [] n, sea una señal que tome valores complejos, que sólo tome valores reales, o que sólo los tome imaginarios? Determine analíticamente el valor de los coeficientes a. Para ello recuerde que los coeficientes del DSF cumplen la relación a a + =. N 0 a, [ 0, N 0 1]

5 Aplique sobre el vector de coeficientes la función ifft para obtener un periodo, [] n de la señal periódica a que pertenecen. Genere a continuación la señal ~ [ n] en el intervalo n [ 3N 0,3N 0 1] replicando la señal [] n, y represéntela: ~ [n] Ejercicio 4: DSF de señales discretas cuadradas Sean las siguientes señales discretas periódicas: [] n 1, 1 = 0,, n = 0 n = 1 1, 2[] n = 0,, 0 n 7 8 n 15 1, 3[] n = 0,, 0 n 7 8 n 31 con periodos N = 01 2, N 02 = 16 y N 03 = respectivamente. Defina tres vectores, 1, 2 y 3, cada uno con un solo periodo de las tres señales definidas. Represente a continuación en un mismo gráfico de tres filas las tres señales periódicas en el intervalo n 0,63 (para ello, replique los periodos de cada una que sea necesario). [ ] Obtenga los coeficientes del DSF de las tres señales y represente su módulo en un mismo gráfico de tres filas. Indique cuál es el valor medio en un periodo de cada señal y compruebe que el primer coeficiente del desarrollo de cada señal coincide con su valor medio en un periodo. Asimismo calcule la energía por período de las tres señales, tanto a partir de las muestras de la señal como de los coeficientes a : Valor medio: Coeficiente a 0 : Energía a partir de [n] 1 [ n] 2 [ n] [ n] 3 Energía a partir de a Nota: la energía por período a partir de los coeficientes a se calcula como N N a = 0 2

6 4.2.4 Ejercicio 5: Reconstrucción de una señal a partir de parte de sus coeficientes. El objetivo del ejercicio es observar el efecto que tiene eliminar parte de las componentes frecuenciales de una señal, y comprobar que en señales discretas no se produce el fenómeno de Gibbs. Este ejercicio parte de la serie de coeficientes, a, [ 0,31], obtenidos para la señal 3 [] n del ejercicio anterior; por lo tanto, replique la parte del ejercicio anterior necesaria para obtenerlos. * Teniendo en cuenta que al ser 3 [] n una señal real, sus coeficientes verifican a = a, genere en el intervalo n [ 0,] las siguientes señales, 3 _ m [ n], que consisten en el DSF de 3 [] n truncado (es decir, con sólo m de los armónicos): 3_ 2 3_ 8 3_12 3_ all 2 = 2 8 = 8 12 a e a e = a e a = 15 j n j n e j n j n Represente las cuatro señales en un mismo gráfico de cuatro filas, de modo que se muestre cómo la familia de funciones va convergiendo a 3 [ n]. Indique si se aprecia el fenómeno de Gibbs en las reconstrucciones parciales. Valor medio: Coeficiente a 0 : Energía a partir de [n] 3_2 [n] 3_8 [n] 3_12 [n] 3_all [n] Energía a partir de a