2. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 2 Sistemas de ecuaciones lineales 2 Ejercicios resueltos Ejercicio 2 Estudiar el número de condición de Frobenius de la matriz a b A a + ε b Solución: El determinante de A es A ab + ba + ε b ε Si b 0 y ε 0 es A 0 y, por tanto, A es invertible, siendo su inversa: A b b b ε a ε a El número de condición de Frobenius viene dado por κ F A A F A F Por lo que: A 2 F a2 + b 2 + a + ε 2 + b 2 2a 2 + 2b 2 + 2a ε + ε 2 A 2 F b2 + b 2 + a ε 2 + a 2 2a2 + 2b 2 + 2a ε + ε 2 b 2 ε 2 b 2 ε 2 κ 2 F A 2a2 + 2b 2 + 2a ε + ε 2 2 κ b 2 ε 2 F A 2a2 + 2b 2 + 2a ε + ε 2 b ε Obsérvese que cuando ε tiende a cero, el número de condición de Frobenius κ F A lo hace a infinito, por lo que la matriz A está mal condicionada 9

2 20 Álgebra Numérica Por ejemplo: para a 0 y b se tiene que κ F A ε + ε2 ε 202 ε ± 20 + ε Si ε 0 8 κ F A Ejercicio 22 Dado el sistema: { 3x + 4y 7 3x + 5y 8 a Calcular su número de condición euclídeo b Sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal de ambas, de forma que el número de condición sea mínimo Solución: a La matriz del sistema es A A A λ 8 27 P λ 27 λ 4 λ 8λ λ 2 59λ + 9 Las raíces de P λ son: λ 59 ± ± σ y σ κ 2 A σ 2 σ κ 2 A

3 2 EJERCICIOS RESUELTOS 2 b La matriz resultante de la combinación lineal es 3 4 B 3a + 3b 4a + 5b Una matriz tiene número de condición euclídeo mínimo y vale si, y sólo si, es proporcional a una matriz unitaria Por tanto, B debe tener las filas o las columnas ortogonales y de igual norma 3a + 3b a + 3b + 44a + 5b 0 4a + 5b 25a + 29b 0 Ambas filas han de tener la misma norma, por lo que 3 3a + 3b 3 4 3a + 3b 4a + 5b 4 4a + 5b Las condiciones que tenemos son: 25a + 29b 0 25a b ab a b ab a ± 29 3 b 25 3 Tomando, por ejemplo, a 29 3 y b 25 el otro caso es análogo, 3 obtenemos: B 5 U con U unitaria { El sistema resultante es 3x + 4y 7 4x 3y y su número de condición euclídeo es κ 2 B Ejercicio 23 Sea {05, 5, 25} y consideremos el sistema iterado x n+ x n + y n+ y n +

4 22 Álgebra Numérica Se pide a Resolver el sistema resultante de tomar límites para probar que, en caso de que converja, el límite de la sucesión no depende de b Para qué valores de converge la sucesión? c Para los valores anteriores que hacen que la sucesión sea convergente, con cuál lo hace más rápidamente? x 0 05 d Comenzando con el vector, aproximar iteradamente y 0 05 el límite de la sucesión utilizando el valor de que acelere más la convergencia Solución: x 0 y 0, x y, x 2 y 2 a En caso de que converja, tomando límites obtenemos que 0 x x 0 y + + y o lo que es lo mismo 2 x y + x 0 y por lo que x y x x y ya que es decir, la solución el límite de la sucesión no depende de

5 22 EJERCICIOS PROPUESTOS 23 b El polinomio característico de la matriz + iterado es P λ λ 2 2 λ + 2 que admite la raíz doble del método Dado que el radio espectral de la matriz debe ser menor que, ha de ser mayor que, por lo que converge para 5 y para 25, pero no lo hace para 05 c El método converge más rápidamente para el valor de que hace menor el radio espectral de la matriz, es decir, para 25 d Partiendo de x 0 y y tomando 25 se obtiene: x y 4/ 5 4/ 5 x 2 y 2 23/ 25 23/ 25 x 3 y 3 2/ 25 2/ 25 que podemos observar como converge a solución del sistema x y que era la 22 Ejercicios propuestos { Ejercicio 24 Dado el sistema x + y 2 2x + y 3 a Calcular su número de condición de Frobenius Sol : κ F A 7 b Calcular a para que el número de condición del sistema resultante de sumarle a la segunda ecuación la primera multiplicada por dicha constante a, sea mínimo Sol : a 3/2

6 24 Álgebra Numérica Ejercicio 25 Comprobar que la matriz: A admite factorización LU y realizarla Sol : L y U Todas sus matrices fundamentales son regulares Ejercicio 26 Resolver, por el método de Cholesky, el sistema de ecuaciones: 6 + 3i 2i x 2i 3i 3 + i x 2 + i + 2i i 2 2i Sol : x 2i, x 2 3 i, x 3 + 2i p p 2p Ejercicio 27 Dada la matriz A p p + 2 se pide: 2p 6p a Determinar para qué valores de p es hermítica y definida positiva Sol : p / 2, 3 / 2 b Para p, efectuar la descomposición de Cholesky y utilizarla para resolver el sistema Ax b siendo b 0 3 t Sol : x, x 2 0, x 3 Ejercicio 28 Resolver, utilizando MatLab y comenzando con el vector nulo, el sistema: 0x x 2 + 2x 3 6 x 3 x + x 2 x 3 + 3x x x 2 + 0x 3 x 4 3x 2 x 3 + 8x 4 5

7 22 EJERCICIOS PROPUESTOS 25 por los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR con ω 2 Sol : x, x 2, x 3, x 4, 2,, Jacobi 42 iteraciones, Gauss-Seidel 6 y SOR 24 Ejercicio 29 Al resolver el sistema x 3y + 5z 5 8x y z 8 2x + 4y + z 4 por el método de Gauss-Seidel, utilizando MATLAB, observamos que el programa se detiene en la iteración 38 dándonos el vector inf inf -inf T a El método de Gauss-Seidel realiza el proceso x n+ L x n +c Determina la matriz L Sol : L b Utilizar los círculos de Gerschgorin para estimar el módulo de los autovalores de L Sol : λ i 244 c Justificar el porqué de la divergencia del método Sol : ρl > d Existe alguna condición suficiente que deba cumplir la matriz de un sistema para garantizar la convergencia del método de Gauss-Seidel? Hacer uso de ella para modificar el sistema de forma que el proceso sea convergente? Sol : Llevando la primera ecuación al último lugar, la matriz del sistema resultante es de diagonal dominante y por tanto converge el método Ejercicio 20 Sea el sistema Ax b, donde x A, x x 2 y b

8 26 Álgebra Numérica a Obtener la factorización LU de la matriz A Se puede conseguir la factorización de Cholesky? Sol : L, U No admite factorización de Cholesky b Resolver el sistema Ax b utilizando la factorización A LU obtenida en el apartado anterior Sol : x, x 2, c Calcular A, A y el número de condición de la matriz κ A Se puede decir que está bien condicionada? Sol : A 999, A 999, κ A es decir, la matriz está mal condicionada d Comprueba que Ax A para la solución x, T del sistema Ax b Cuál es el máximo valor que puede tomar Ax, cuando x es un vector unitario para la norma? Sol : 999 e Si se perturba b en b + δb 99899, 9970 T, calcular δb / b Si x + δx es la solución obtenida para el nuevo sistema Ax b + δb, es el error relativo δx / x el máximo que se puede cometer? Indicación: δx x Sol : Es el máximo posible κ A δb b Ejercicio 2 a Dado un sistema Ax b, el método de Gauss-Seidel consiste en construir la sucesión x n+ L x n + c, a partir de un vector inicial x 0 Si conocemos el valor de x n+ podríamos determinar el de x n haciendo x n L x n+ c? Sol : No L no tiene inversa Porqué?, justifícalo

9 22 EJERCICIOS PROPUESTOS 27 b Si la matriz A del sistema es de diagonal estrictamente dominante, puede ser el radio espectral de L mayor que? Sol : No Porqué?, justifícalo c Si, para un determinado sistema y comenzando con un determinado vector x 0, el método de Gauss-Seidel requiere 50 iteraciones para aproximar la solución con un error menor que ε y en la iteración 49 se pierde la primera coordenada del vector x 49 y la sustituimos por un valor arbitrario, se obtendrá en el paso siguiente la solución buscada con el mismo error que si no hubiésemos perdido el dato? qué ocurriría si la coordenada que perdemos del vector x 49 es la segunda en vez de la primera? Sol : Si se pierde la primera: Sí Si se pierde la segunda: No d Tomando como vector inicial x 0 2,, 2 T, realizar dos pasos del 4 2 x 6 método de Gauss-Seidel para el sistema 0 2 y z 0 Podrías decir cuál es la solución exacta del sistema? Sol : 4,-,2 Ejercicio 22 Considérese el sistema Ax b en el que a b x A, x y b con, β R c d y β a Determinar la matriz B, para que el método iterativo x n+ B x n + c sea el que se obtiene con el método de Jacobi aplicado al sistema Ax b 0 Sol : B b / a c / d 0 b Hallar los autovalores de B y probar, en este caso particular, que si la matriz A es simétrica y definida positiva, entonces el método de Jacobi converge Sol : λ i ± bc/ ad ρb + bc/ ad Si A es simétrica y definida positiva ρb < y converge c Determinar la matriz B 2, para que el método iterativo x n+ B 2 x n + c 2 sea el que se obtiene con el método de Gauss-Seidel aplicado al sistema

10 28 Álgebra Numérica Ax b Sol : B 2 0 b / a 0 bc/ ad d Hallar los autovalores de B 2 y dar un ejemplo de matriz A con a para la que el método de Gauss-Seidel no converja Puede, en tal caso, ser convergente el método de Jacobi? Sol : λ 0, λ 2 bc / ad Uno de los infinitos ejemplos para A sería 0 2 A Jacobi también diverge 2 e Comprobar la matriz A es otro ejemplo para la no convergencia del método de Gauss-Seidel Calcular, para dicha matriz y el vector b el término general de la sucesión x k obtenida por el método de Gauss-Seidel a partir del m vector x 0 y comprobar que dicha sucesión no converge para n valores arbitrarios de m y n Existe algún vector inicial x 0 para el que converja el método? y, en caso de existir, contradice dicho ejemplo el hecho de que el método no sea convergente? 2 k n + Sol : x k que diverge si n 0 No existe contradicción 2 k n porqué? Justifícalo Ejercicio 23 Se quiere encontrar una función de la forma fx ax 3 +bx+c que pase por los puntos, 4, 2, 23 y 2, 2 a Plantear un sistema de ecuaciones para calcular los coeficientes de f y resolverlo usando la descomposición LU de la matriz del sistema Sol : fx 2x 3 + 3x b Usar una sucesión de Sturm para saber cuántas raíces reales tiene la ecuación fx 0

11 22 EJERCICIOS PROPUESTOS 29 Sol : Sólo una c Separar dichas raíces por intervalos adecuados para que se den las hipótesis de las condiciones de Fourier Sol : x [03, 04] d Cuantas iteraciones son necesarias para obtener las raíces reales con 6 cifras decimales exactas usando para su cálculo el método de Newton? Sol : Tres e Aplicar dicho método para calcularlas con una precisión de 2 cifras decimales exactas asegurando en cada paso del método el número de cifras que se van obteniendo Sol : x