Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

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1 Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Natalia Boal - Manuel Palacios - Sergio Serrano Departamento de Matemática Aplicada Obetivos Trabaar con los métodos iterativos habituales (Jacobi, Gauss-Seidel y relaación) para la resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Analizar las principales características y propiedades de estos métodos. 1. Métodos iterativos clásicos La forma clásica de construir métodos iterativos para la resolución numérica de sistemas lineales Ax = b se basa en considerar una descomposición de la matriz A en la forma A = M N, con M regular. De manera que, dada una aproximación inicial x (0), para m 0, se define la recurrencia x (m+1) = (M 1 N) x (m) + (M 1 b) M x (m+1) = N x (m) + b. (1) La matriz B = M 1 N se denomina matriz de iteración del método. Los métodos así construidos son todos consistentes y su convergencia depende del radio espectral de la matriz B. Los métodos iterativos clásicos responden todos a la estructura (1); en cada uno de ellos se considera una elección distinta de la matriz M Método de Jacobi Consideremos el sistema Ax = b donde la matriz A la suponemos inversible con a 0 para todo y la escribimos en la forma A = D E F con a a D =....., E = a nn 0 a a 1n. F = a. (n 1)n a ,. a n1... a n(n 1) 0

2 Matemáticas II Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 2 El método de Jacobi se define tomando M = D, por lo que N = M A = E + F. Así, a partir de un vector inicial x (0), se construye una sucesión de vectores {x (m) } mediante la iteración D x (m+1) = (E + F )x (m) + b. Mirando la relación anterior componente a componente, se tiene que x (m+1) i 1 n i = a i x (m) a i x (m) + b i /a ii, i = 1, 2,..., n. (2) =1 =i+1 Se puede comprobar que todas las componentes de la solución en la iteración m + 1 dependen de las componentes de la iteración anterior. Nota. Como hemos visto en teoría, si la matriz A es estrictamente diagonal dominante, entonces el método de Jacobi converge. Por ello, es conveniente preparar el sistema reordenando las ecuaciones de forma que en la diagonal principal de la matriz de coeficientes se coloquen los coeficientes de mayor valor absoluto de cada una de las ecuaciones. De esta forma, si la nueva matriz A es estrictamente diagonal dominante, el método convergerá. A continuación aparece el contenido de un fichero.m que define una función en Octave, llamada met acobi, que implementa este método. function [x,iter]=met_acobi(a,b,x0) % Método iterativo de Jacobi aplicado al sistema Ax=b % % Valores de entrada: A matriz de coeficientes % b vector (columna) de términos independientes % x0 vector (columna) inicial % % Valores de salida: x aproximación a la solución % iter número de iteraciones realizadas max_iter=100; % Fiamos un número máximo de iteraciones tol=eps; % y una tolerancia [n,m]=size(a); % Número de filas y columnas de A, deben coincidir m y n x_new=x0; % Tomamos el vector inicial iter=0; % Inicializamos el contador de iteraciones a 0 met acobi.m do % Empezamos el bucle principal del método iter=iter+1; % Vamos aumentando el contador de iteraciones x_old=x_new; % Actualizamos el valor de la aproximación calculada

3 Matemáticas II Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 3 for i=1:n x_new(i)=(-a(i,1:i-1)*x_old(1:i-1)-a(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)+b(i))/a(i,i); end % Calculamos la nueva aproximación dif=norm(x_new-x_old); % Criterio de parada: x_new - x_old < tol until (dif<=tol iter==max_iter) % Acabamos el bucle principal del método, porque hemos conseguido convergencia % o porque hemos superado el número máximo de iteraciones. if dif>tol % no conseguimos convergencia disp( Número máximo de iteraciones superado ) end x=x_new; % Último valor calculado Eercicio 1.1 Comprueba que el programa funciona correctamente sobre el sistema x y = z 11 tomando como vector inicial x (0) = (0, 0, 0) t. (Solución exacta: ( 1, 0, 2) t.) 1.2. Método de Gauss-Seidel El método de Gauss-Seidel se define tomando M = D E, por lo que N = F. De este modo, dado un vector inicial x (0), la sucesión de vectores {x (m) } se construye según la siguiente recurrencia, (D E) x (m+1) = F x (m) + b. Mirando la relación anterior componente a componente, se tiene que x (m+1) i = i 1 =1 a i x (m+1) n =i+1 a i x (m) + b i /a ii, i = 1, 2,..., n. (3) Se puede comprobar que cada componente de la solución depende de los últimos valores calculados de las restantes componentes. Eercicio 1.2 Compara las fórmulas (2) y (3) y modifica el programa del método de Jacobi para construir una función en Octave, llamada met gauss seidel, con los mismos argumentos que met acobi, en la que se implemente el método de Gauss-Seidel. Eercicio 1.3 Chequea la función met gauss seidel con el sistema del eercicio 1.1.

4 Matemáticas II Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Método de relaación La familia de métodos de relaación se define tomando M = 1 D E con ω 0, por lo que ω N = 1 ωd + F. En estos métodos iterativos, a partir de un vector inicial ω x(0), se construye una sucesión de vectores {x (m) } tal que o bien, componente a componente x (m+1) i = ω i 1 a ii =1 (D ωe) x (m+1) = ((1 ω)d + ωf ) x (m) + ωb, a i x (m+1) n =i+1 a i x (m) + b i + (1 ω)x (m) i, i = 1, 2,..., n. (4) Eercicio 1.4 Compara las fórmulas (3) y (4) y construye una función en Octave, llamada met relaacion con argumentos de entrada: la matriz del sistema A, el vector de términos independientes b, el vector inicial x (0) y el parámetro ω. Para ello te puedes ayudar de la función met gauss seidel. Eercicio 1.5 Chequea la función met relaacion con el sistema del eercicio 1.1. Eercicio 1.6 Aplica el método de Jacobi al sistema x y z = tomando como vector inicial x (0) = (0, 0, 0) t. Explica el resultado y cómo obtener una aproximación adecuada. Compara la solución obtenida con la del eercicio Análisis de la convergencia Todos los métodos iterativos descritos en la sección anterior son consistentes por construcción, luego la convergencia de éstos viene determinada por el valor del radio espectral de la matriz de iteración. En la práctica no se calcula este valor puesto que ello puede ser más costoso que la resolución del propio sistema. Sin embargo, con una finalidad académica y con obeto de ilustrar los resultados teóricos estudiados, vamos a calcular con la ayuda de Octave la matriz de iteración y el radio espectral del método de Jacobi en el sistema lineal: Las órdenes serían las siguientes: x y z = (5)

5 Matemáticas II Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 5 octave:1> A=[1 2 3;4 2 6;2 3-1] A = octave:2> D=diag(diag(A)) D = octave:3> E = - tril(a,-1) E = octave:4> F = - triu(a,1) F = octave:5> M=D; N=(E+F); B=inv(M)*N B = octave:6> rho_b=max( abs (eig(b) ) ) rho_b = Eercicio 2.1 Para el sistema de ecuaciones lineales (5) calcula la matriz de iteración, B GS, del método de Gauss-Seidel y la matriz de iteración, B ω, del método de relaación (con ω =0.5). Nota: A efectos de comprobación, ρ(b G ) = y ρ(b ω ) =2.0607, B G = , B ω = Eercicio 2.2 Analiza la convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver los sistemas.

6 Matemáticas II Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 6 x + 2y 2z = 1, (S1) x + y + z = 3, 2x + 2y + z = 5, Qué conclusión sacas de dicho análisis? 2x y z = 2, (S2) 2x + 2y + 2z = 6, x y + 2z = 0. Nota. En los siguientes eercicios, por defecto y para todos los métodos, consideraremos como vector inicial el vector nulo. Eercicio 2.3 Utiliza el método de Jacobi para resolver el sistema 4x + 2y + z = 5, x + y + 3z = 4, 2x + 5y + z = 1. a) Cómo evoluciona el error? Calcula el radio espectral de la matriz de iteración del método y relaciónalo con el resultado obtenido. b) Es posible reordenar las ecuaciones del sistema de forma que el método convera? Razona la respuesta y, en caso afirmativo, explica cómo hacerlo e indica cuál es el resultado que se obtiene. c) Qué ocurrirá si resolvemos el sistema reordenado con el método de Gauss-Seidel? d) Resuelve el sistema reordenado con el método de relaación utilizando los valores del parámetro ω =0.5, 0.8, 1, 1.6, 1.7 y 2.1 y anota el número de iteraciones necesario para obtener convergencia. La función pintar rela(a,ini,fin) dibua la gráfica del radio espectral de la matriz de iteración del método de relaación frente al valor del parámetro ω, con ω [ini, fin]. Ayúdate de esta función para ustificar los resultados obtenidos. e) Usando la función pintar rela(a,ini,fin) obtén un valor aproximado del valor óptimo de ω. Utiliza dicho valor para obtener un valor aproximado de la solución del sistema lineal. Comprueba que con este valor se alcanza convergencia de forma más rápida que en los casos anteriores. f) El valor óptimo calculado en el apartado anterior encaa con algún resultado teórico conocido? Eercicio 2.4 Sea el sistema de ecuaciones definido al eecutar la instrucción sisttridiag. a) Estudia la convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel sin calcular su radio espectral. b) Sabemos que una condición necesaria para que el método de relaación convera es que el parámetro de relaación pertenezca al intervalo (0, 2). En este eemplo en concreto ésta también es condición suficiente, por qué? c) Sin resolver numéricamente, ordena de más rápido a más lento los métodos de relaación con ω =0.5, 0.78, 1 y d) Resuelve numéricamente y comprueba que la ordenación que has dado es correcta.