Tema 4 Álgebra Lineal Numérica

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1 Tema 4 Álgebra Lineal Numérica Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Málaga Escuela Politécnica Superior

2 Qué es un Sistema Lineal? Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas puede ser expresado de la forma: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2... a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m o bien, en forma matricial A x = b, donde A es una matriz m n y b es un vector columna con m componentes.

3 Introducir matriz en SCILAB? Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab El sistema 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 3 1x 1 + 3x 2 2x 3 = 1 1x 1 3x 2 + 0x 3 = 2 se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma: --> A=[2 4 3; 1 3-2; ] --> b=[3; -1; 2] --> x=a\b

4 Conocimientos previos-i Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Sistema Compatible Determinado (SCD): Solución única. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas soluciones. Sistema Incompatible (SI): No existe solución. Determinante de una matriz cuadrada y su cálculo. --> det(a) Rango de una matriz. Significado y cálculo. Matriz traspuesta. --> A Matriz inversa. --> inv(a)

5 Conocimientos previos-ii Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Si A es una matriz cuadrada: Matriz inversible: ( A 1, A 0) Matriz singular: ( A 1, A = 0) Matriz diagonal: i j a i,j = 0 Matriz triangular superior: i > j a i,j = 0. Matriz triangular inferior: i < j a i,j = 0. Matriz simétrica: A = A. Autovalores y autovectores. Significado y cálculo. --> [P,D]=spec(A)

6 Propiedades Introducción Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab El producto de una matriz por su traspuesta siempre es una matriz simétrica. Los autovalores de una matriz simétrica siempre son reales. Los autovalores de A A siempre son no negativos.

7 Norma vectorial: Ejemplos Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Las usuales son: de las que destacan: x k = k x 1 k + x 2 k x n k Norma 1: x 1 = x 1 + x x n ( 1, 3, 4) 1 = 8. Norma 2: x 2 = x x x n 2 ( 1, 3, 4) 2 = Norma : x = máx{ x 1, x 2,..., x n } ( 1, 3, 4) = 4.

8 Radio espectral Introducción Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Se define el Radio espectral de una matriz A como el módulo del autovalor con mayor módulo. Esto es: ρ(a) = máx λ i i ( ) 2 1 Ejemplo: Dada la matriz A = > rad=max(abs(spec(a))) resulta:

9 Normas matriciales usuales Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Norma 1: A 1 = máx j i a i,j --> norm(a,1) Norma : A = máx i j a i,j --> norm(a, inf ) Norma 2: A 2 = ρ(a A) --> norm(a,2) --> norm(a) En general, toda norma verifica ρ(b) B.

10 Normas matriciales: Ejemplo Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Ejemplo: Para la matriz A = ( ) resulta: A 1 = máx{2, 4, 1} = 4, A = máx{5, 2} = 5 Para la norma 2: A A = 4 λ λ λ = λ3 + 15λ 2 17λ = 0 λ 1 = 0, λ 2 1,235, λ 3 13,765 luego A 2 13,765 3,7101. A λi = 0

11 Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab Sistemas Sobredeterminados y Vector Residuo A los sistemas que no tienen solución (incompatibles) se les llama también sistemas sobredeterminados. Vector residuo: Se llama así al vector r = A x b. --> r=a*x-b Si x es la solución del sistema, el residuo es el vector cero, pero no será así debido a los errores que siempre estarán presentes en los cálculos. Llamamos solución de un sistema sobredeterminado al vector x que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, no existe solución y llamaremos así a la menos mala.

12 Librería para Scilab de S.E.L. Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librerías de Scilab prac1.sci En este fichero se encuentra la librería de rutinas para la práctica primera. Pasos para cargar la librería: File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el que está la práctica File - Execute (seleccionar el fichero prac1.sci)

13 Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Rutinas implementadas Los métodos de Gauss implementados en Scilab son los siguientes: { Gauss, gauss.sci; Métodos Gaussianos. Gauss Jordan, gaussjor.sci; Para resolver un sistema Ax = B por Gauss en Scilab, hay introducir previamente las matrices A y B, a continuación hay que ejecutar las siguientes órdenes: --> x=gauss(a,b) --> residuo=a*x-b --> norm(residuo)

14 Otras opciones Introducción Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Hay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Comparar los resultados. --> x1=inv(a)*b --> x2=a\b Conviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada para ver que tipo de sistema estamos resolviendo. --> rank(a), rank([a B]) --> det(a)

15 Ejemplo Introducción Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR --> A=[1 2 3; 3 4 5; 3 4 5] --> b=[1 2 3] Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada: --> rank(a) ans = 2. --> rrank([a b]) ans = 3. El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error. --> x=gauss(a,b) Probar las opciones: --> inv(a) B --> A\B

16 Método de Factorización QR Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Dada una matriz A, la descompondremos en A = QR siendo Q una matriz ortogonal (Q = Q 1 ) y R una matriz triangular superior. Para resolver A x = b consideramos A x = QR x = b Q QR x = R x = Q b. Así: 1 Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R]=qr(A) 2 Resuelvo R x = Q b. x = R \ Q b

17 Método QR: Ejemplo 1 Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Q = Para resolver el sistema A x = b por el método QR, haremos: 1 Introducimos la matriz A, el vector b y descomponemos: --> A=[4 4 5;2 1 3; 5 6 4]; --> b=[2 3 4] ;[Q,R]=qr(A) 0,5963 0,1988 0,7778 0,2981 0,8447 0,4444 0,7454 0,4969 0, Calculo x mediante: --> R \ (Q b) 6 Obtenemos x = 3. 2, R = 6,7082 7,1554 6, ,3416 1, ,7778

18 Método QR: Ejemplo 2-(a) Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2), (-2,2), (0,2) y (3,4). La ecuación de la recta es y = mx + b por lo que debemos encontrar m y b tales que se verifique: 3=2m+b; 2=-m+b; 2=-2m+b, 2=b; 4=3m+b, que no pueden verificarse simultáneamente (sistema sobredeterminado). La mejor solución (recta de regresión por mínimos cuadrados), se obtiene de forma eficiente por el método QR: A = , b =

19 Método QR: Ejemplo 2-(b) Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR Q = 0,4714 0,3558 0,2170 0,1729 0,5777 0,2357 0,5083 0,7079 0,4298 0,0126 0,4714 0,5592 0,6410 0,1414 0, ,4575 0,1967 0,8663 0,0392 0,7071 0,3050 0,0467 0,1222 0,6244, R = 4,2426 0, , b = Q b = 2,8284 5,3374 0,3104 0,4174 0,4910 { 4,2426x 0,4714y = 2,8284 2,1858y = 5,3374 luego la recta es: y=0.3953x } ( 0,3953 x = 2,4419 )

20 . Introducción Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Los métodos directos resultan, en general, inservibles para n > 50 incógnitas porque propagan los errores. Otro problema es que los métodos directos necesitan almacenar la matriz A en memoria. Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la práctica, tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual a cero) y aunque existen métodos directos especiales, usualmente se resuelven por métodos iterativos. Los métodos iterativos tienen la ventaja de no propagar el error. La estimación de la solución obtenida x (k), puede considerarse como vector inicial (sin errores) para la iteración siguiente k + 1.

21 Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Convergencia y otros problemas asociados Los métodos iterativos obtienen una estimación de la solución del sistema x (m+1) en función de las anteriores, en este caso sólo será una función lineal de la anterior: x (m+1) = B x (m) + C donde B es la matriz del método y C es un vector. Los problemas asociados con los métodos iterativos son: Convergencia Para que sea útil debe ser convergente y el ĺımite ser la solución del sistema. Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo más rápido posible. Vector inicial: Cómo se elige?. Condición de parada: Cuándo paramos de iterar?

22 Criterio de Convergencia Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Un método iterativo de la forma: x (m+1) = B x (m) + C, converge, si y sólo si, ρ(b) < 1. Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio. Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valor de ρ(b). Interesa que sea lo más próximo a cero posible. La solución del sistema ( x ), debe ser punto fijo del método iterativo x = B x + C.

23 Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Forma matricial del método de Jacobi Consideremos la descomposición A = D + L + R donde: D= Matriz diagonal con la misma diagonal que A. L= Matriz con todos los términos nulos, excepto los que están por debajo de la diagonal en los que coincide con A. R= Matriz con todos los términos nulos, excepto los que se encuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A. Dado el sistema A x = b (D + L + R) x = b D x = (L + R) x + b x = D 1 (L + R) x + D 1 b El método de Jacobi queda: x (m+1) = B J x (m) + C J con B J = D 1 (L + R), C J = D 1 b

24 Ejemplo Introducción Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Hallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el método de Jacobi, x (0) = (2, 3, 0), al sistema: A x = b: A = 2 3 1, b = Tras 3 iteraciones por Jacobi, --> [x3,res,rad,bj,cj]=jacobi(a,b,3,[2;3;0]): 0,0160 1,3519 x (3) = 1,7333 1,7680 res = 0,5361 1,3439 res 1 = 3,2319 res = 1,3519 res 2 = 1,9802

25 Condiciones de convergencia Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores La condición necesaria y suficiente de convergencia de un método, es que el radio espectral de la matriz del método sea menor que 1: ρ(b) < 1. Como para cualquier norma, ρ(b) < B, si B < 1 el método converge.

26 Errores en los métodos iterativos Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores El error cometido en un método iterativo tras m iteraciones puede acotarse mediante: x (m) x = x (m) B m x(1) x (0) 1 B donde B ( B < 1) es la matriz del método iterativo. De la fórmula anterior, podemos calcular el número de iteraciones n necesario para obtener una solución con un error determinado E: m 1 ( E (1 log ( B ) log B ) ) x (1) x (0) Estas fórmulas pueden dar problemas en el caso de que B sea próxima a 1.

27 Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores Errores en los métodos iterativos: Ejemplo Acotar el error cometido al dar 3 iteraciones por el método de Jacobi al sistema x = 4, x (0) = > [x3,res,rad,bj,cj]=jacobi(a,b,3,[0;1;0]) --> n=norm(bj) --> ans=0.8 --> x1=jacobi(a,b,1,[0;1;0]) --> n1=norm(x1-[0;1;0]) Resultados y calculamos el error: x (3) n3 n1 1 n = 4,096 Cuántas iteraciones serán necesarias para obtener un error menor que 10 7?.

28 Scilab calcula los autovalores de una matriz A con la orden spec(a), si queremos además la matriz diagonal V y la matriz de paso X, escribiremos [X,V]=spec(A). Un método iterativo para el cálculo de autovalores se basa en la descomposición QR de la matriz A. 1 A 0 = A 2 Repetir: [Q, R] = qr(a i ) A i+1 = RQ En Scilab el algoritmo está implementado en el archivo francis.sci, ejecutarlo y luego introducir francis(a,n), siendo A la matriz de partida y n el número de iteraciones.

29 Ejercicio 1 Dado el sistema Ax=b, siendo: A = , b = (a) Iterar por el método de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen). Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, del vector residuo. (c) Acotar el error cometido.

30 Ejercicio 2 Dado el sistema Ax=b, siendo: A = , b = (a) Estudiar la compatibilidad del sistema. (b) Resolverlos por métodos directos e iterativos estudiados (c) Estudiar la convergencia de los métodos iterativos. (d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la solución con error menor que 10 6.

31 Ejercicio 3 Dado el sistema Ax = b, con A = ; b = Estudiar la convergencia de Jacobi y calcular el error cometido si das 100 iteraciones.

32 Ejercicio 5 Dado el sistema Ax = b con: 8, , ,6423 A = 3, , , ; b = 10, , , , , , (a) Resolver por los métodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiando previamente la convergencia. (b) Calcular los residuos y comparar. (c) Acotar el error cometido en cada uno.

33 Ejercicio 6 La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce el siguiente sistema de ecuaciones: (R 1 + R 3 + R 4 )I 1 + R 3 I 2 + R 4 I 3 = E 1 R 3 I 1 + (R 2 + R 3 + R 5 )I 2 R 5 I 3 = E 2 R 4 I 1 R 5 I 2 + (R 4 + R 5 + R 6 )I 3 = 0 Calcular las intensidades de corriente I 1, I 2, I 3 cuando R 1 = 1, R 2 = 1, R 3 = 2, R 4 = 1, R 5 = 2, R 6 = 4 y E 1 = 23, E 2 = 29. Calcular también para E 1 = 12, E 2 = 21,5. Resolver por los distintos métodos estudiados, calcular errores y comparar resultados.

34 Ejercicio 7 Dado el sistema Ax = b con A = (a ij ) = 1/(i + j 1); b = (b i ) = i 2 3, (i, j = n). (a) Resolver por un método directo y por un método iterativo con n = 8. (b) Comparar resultados analizando el vector residuo, y su norma.

35 Ejercicio 9 Calcular, si es posible, los autovalores de la matrices de los ejercicios anteriores con la orden directa y con el algoritmo francis.