Ejercicios resueltos del capítulo 1

Transcripción

1 Ejercicios resueltos del capítulo Ejercicios impares resueltos..b Resolver por el método de Gauss el sistema x +x x +x 4 +x = x x +x 4 = x +x +x = x +x x 4 = F, ( ) F 4, () F, ( ) F, () Como el número de pivotes distintos de cero es 4 y el número de incógnitas es el sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos, dejando una incógnita como libre, por sustitución regresiva. 8x 4 7x = 4; x 4 = x x + x x = 6; x = x x + x x = ; x = x x + x x + x 4 + x = ; x = x. Una industria utiliza tres máquinas en la elaboración de cuatro productos diferentes. Las máquinas se utilizan a pleno rendimiento 8 horas al día. El número de horas que cada máquina necesita para elaborar una unidad de cada producto es:

2 Producto Producto Producto Producto 4 Máquina Máquina Máquina Cuál es el número de unidades de cada producto que elaborará la industria en un día? Planteamos el sistema de ecuaciones considerando que cada máquina trabaja 8 horas al día y que x, y, z y t son las cantidades de los respectivos productos que se fabrican: x +y +z +t = 8 x +z t = 8 x +y +z = 8 Resolvemos el sistema teniendo en cuenta que las soluciones tienen que ser enteros positivos. 8 F, ( ) 8 8 F, ( ) El sistema es compatible indeterminado por tener la matriz del sistema tres pivotes distinto de cero y cuatro incógnitas. Elegimos como incógnita libre t. z t = ; 4y z t = 8; x + y + z + t = 8; z = t y = t x = 4 t Si tenemos en cuenta que y N los únicos valores que puede tomar t serán, ó. Sustituyendo estos valores podemos obtener todas las soluciones posible: t =, x = 4, y =, z = t =, x =, y =, z =, t =, x =, y =, z =. Hallar la factorización LU de la siguiente matriz: 6 4 B = Por tanto: 6 4 F,( ) 6 4 F,( ) 6 4 Grado en I. Informática

3 U = 6 4 L = ax + by + z =.7 Dado el sistema de ecuaciones x + aby + z = b x + by + az =. Discutirlo según los valores de a y b.. Se pide:. Para a = y b =, hallar A por el método de Gauss-Jordan donde A es la matriz de los coeficientes.. Factorizar la matriz A en L U.. Para resolver el sistema intercambiamos las ecuaciones primera y tercera y resolvemos: b a ab b a b F, () F, ( ) F, ( a), a b a ab b a b b ab a a b a ab b a b a a b a Vamos a estudiar el sistema equivalente en función de los valores de los parámetros. Si a a = b a el sistema sería INCOMPATIBLE. Si ab b = a = b el sistema sería INCOMPATIBLE Vamos a concretar los valores de a y b para los cuales se darían los casos de incompatibilidad. a a = a =, a =. Por tanto Si a = y b y si a = y b el sistema sería incompatible. ab b =, b(a ) =, b =, a =. El caso a = ya está analizado. Si b = la matriz del sistema quedaría: b a a a a a y para que fuera compatible tendría que ser a a = a y a = pero entonces a = y sería incompatible según hemos visto. Luego si a = y b o si a = y Problemas resueltos de Matemáticas II

4 4 b el sistema es incompatible, en otro caso el sistema es compatible. Todo este estudio es válido si a. Si a = b = el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Si a = b = el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. En otro caso, con a el sistema es compatible determinado. Nos queda por estudiar el sistema si a =. Para estudiar este caso partimos de la matriz del sistema con a = : b b b F,( ) b b a b b F,() b b a b b Si b el sistema seriá compatible determinado. Si b = el sistema sería incompatible como ya sabiamos. En resumen quedaría Si a = b S. incompatible Si a = b S. incompatible Si b = S. incompatible Si a = b = S. compatible indeterminado con grado de libertad Si a = b = S. compatible indeterminado con grados de libertad En otro caso el sistema es compatible determinado. Calculemos la matriz inversa utilizando el método de Gauss-Jordan de la matriz A para a = y b =. Elegimos como matriz A la matriz del sistema original: F, ( ) F, ( ) F ( ) F ( ) F ( 4 ) F,( ) F, ( ) F, ( ) F,( ). Para la descomposición L, U de la matriz A, ya tenemos hecho el trabajo pues la matriz U es la obtenida en la mitad del proceso que hemos seguido para el cálculo de la inversa y por tanto también conocemos los elementos de la matriz L. U = L = 4 Grado en I. Informática

5 Ejercicios resueltos del capítulo Ejercicios pares resueltos. Sea V el subespacio de R 4 dado por las ecuaciones paramétricas: x = α β +γ y = α +β z = α 7γ t = β +γ Determinar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de V. Para obtener una base a partir de las ecuaciones paramétricas procedemos de la siguiente forma: (x, y, z, t) = α(,,, ) + β(,,, ) + γ(,, 7, ) por tanto un sistema generador sería < (,,, ), (,,, ), (,, 7, ) >. Para obtener una base tendremos que ver cuantos de ellos son linealmente independientes. Lo haremos estudiando el rango de la matriz formada por los tres vectores, por filas o columnas. 7 F, ( ) F, ( ) 4 F, ( ) F 4, ( ) 4 7 Como al ser una matriz rectangular el máximo rango que puede tener es el del menor número de filas o columnas resultará que el rango es tres y por tanto los tres son linealmenta independientes y constituyen una base del subespacio. B V = {(,,, ), (,,, ), (,, 7, ) La dimensión de V será por tanto. Para calcular las ecuaciones implícitas hacemos lo siguiente. El rango de la matriz formada por una base del subespacio y cualquier vector debe ser igual a la dimensión del subespacio, en

6 6 nuestro caso, por tanto todos los términos de la matriz por debajo del tercer pivote han de ser nulos. x y 7 z t F 4, ( 7 ) F, ( ) F, ( ) x 4 y x z x t x 4 y x x y + z x y + t + 7 F, ( ) F 4, ( ) x 4 y x x y + z 7 ( x y + z ) por tanto la ecuación implícita será: x y + t + 7 ( x ) y + z = ; x y + 7z + t = x y + t. Sea U = {(x, y, z) R x + y z =, x y = subespacio vectorial de R, referido a la base canónica. Calcular las ecuaciones de U con respecto a la base B = {(,, ), (,, ), (,, ). Lo podemos hacer de dos formas. Una sería obtener una base del subespacio referida a la base canónica y mediante el cambio de base obtener la nueva base del subespacio referida a la base dada y a partir de ellos obtener las ecuaciones implícitas que ya estarán referidas a la nueva base, veámoslo x +y z = x y = B U = {(,, ) C este vector base de U está referido a la base canónica, veamos su expresión en la nueva base B, (,, ) = x(,, ) + y(,, ) + z(,, ) = x +y x = = y +z y =. = x +z z = Ahora obtenemos las ecuaciones implícitas, x y F,( ) x y z z x y = z x = Grado en I. Informática

7 que son las ecuaciones implícitas. Otra forma sería obtener directamente las ecuaciones a partir de las ecuaciones referidas a la base canónica, para ello obtenemos los coeficientes de las nuevas ecuaciones a partir de los dados multiplicando éstos por la matriz cuyas filas son los vectores de la nueva base: por tanto la nueva ecuación será y =. x + y z = (,, ) = x y = (,, ) = por tanto la nueva ecuación será x y z =. Las ecuaciones implícitas referidas a la nueva base son, por tanto y = x y z = que aunque tengan una expresión distinta representan las mismas rectricciones para las coordenadas de los vectores de dicho subespacio que las obtenidas anteriormente. 7 Problemas resueltos de Matemáticas II

8 8 Grado en I. Informática

9 Ejercicios resueltos del capítulo Ejercicios impares resueltos..a Calcular los autovalores y subespacios invariantes asociados a la matriz: A = Calculamos el polinomio característico y resolvemos: λ A λi = λ λ = ( λ)(λ ) = λ =, λ = (doble) Los subespacios invariantes, uno asociado a cad autovalor, están generados por los autovectores y el vector cero. Por tanto calculamos los autovectores asociados a cada autovalor: A = {x / Ax = x { x x = (A I)x = ; x = x +x +x = x x = A = {x / Ax = x { (A I)x = ; x =, x = x = A = {(,, ) { x x x = x = x, x = x = A = {(,, ) { x +x = x +x +x = x x =.. Determinar la matriz A = a d b e c f los vectores v = (,, ), v = (,, ) y v = (,, ). de manera que admita por autovectores a 9

10 Aplicando la definición de autovalor y autovector y resolviendo nos queda: λ a d (A λ I)v = ; b λ e = c f λ (A λ I)v = ; (A λ I)v = ; λ a d b λ e c f λ λ a d b λ e c f λ = = Resolviendo el sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas obtenemos: a =, b =, c =, d =, e =, f =, λ = 4, λ =, λ = λ d = e = λ +f = λ +a = λ +b = +c = a d = b λ e = c +λ f =. Sea A =. Expresar A en función de I y de A. Basándonos en el teorema de Cayley-Hamilton sabemos que se verifica: a A n + a A n + a A n + + a n A + a n I = Θ Multiplicando por A ámbos miembros y despejando A : A = a A n a A n a n A a n I a n a n a n a n En nuestro caso para n = la expresión anterior se reduce a: A = a A a A a I a a a Por tanto calculemos el polinomio característico de la matriz para calcular los coeficientes y después calculamos A. λ A λi = λ λ = λ + λ λ Grado en I. Informática

11 A = A = A = A A I 6 = = 4.7 Estudiar para qué valores de los parámetros a y b, la matriz A = b es diagonalizable. Calculando: La forma canónica de Jordan y la matriz a de paso para a = y b =. Calculamos los autovalores: λ A λi = ; λ b = ( λ)( λ)(a λ) = λ =, λ =, λ = a a λ Si a, a los tres autovalores son distintos y por tanto la matriz es DIAGONA- LIZABLE. Si a =, λ = tiene multuplicidad algebraica dos. Por tanto para que la matriz sea diagonalizable la multiplicidad geométrica tendrá que ser dos. m g () = rango(a I) = 6 b = =, b R Por tanto será NO DIAGONALIZABLE para cualquier valor de b. Si a =, λ = tiene multiplicidad algebraica dos. Estudiemos la multiplicidad geométrica. 6 m g ( ) = rango(a + I) = b { Si b = mg ( ) = = DIAGONALIZABLE Si b m g ( ) = = NO DIAGONALIZABLE Problemas resueltos de Matemáticas II

12 Calculemos las matrices P y J puesto que como acabamos de ver para a = y b = no es diagonalizable. La matriz queda A =. La matriz J tendrá un bloque de orden dos correspondiente al autovalor doble λ = y será: J = Calculemos los autovectores. (A I)v = ; 6 6 x x x = ; 6x +x = x 6x = ; x = 6x x = x (A + I)v = ; 6 x x x v = (,, 6) = ; 6x = x = ; x = x = (A + I)v = v ; 6 x x x v = (,, ) = ; v = (,, ) Por tanto la matriz de paso será P = 6 6x = x = x = ; x = x =.9 La distribución de la población de tres grupos de animales, en el año n viene dada por el vector v n = (x n, y n, z n ) siendo x n+ = 7y n +4z n y n+ = 9 x n z n+ = y n Si la población inicial es de animales, de cada grupo, calcular la población que habrá de cada grupo al cabo del tiempo. Grado en I. Informática

13 x n+ y n+ z n+ = x n y n z n = Para calcular la matriz resultante de la potencia n-ésima calculamos sus autovalores. n x y z A λi = ; λ 7 4 λ 9 λ = λ λ + 9 = ; λ =, λ =, λ = Como los autovalores son distintos sabemos, según el corolario.7.4, que u n = c λ n v + c λ n v + + c p λ n pv p n =,, (..) siendo λ, λ,..., λ p los autovalores de A, v, v,..., v p autovectores linealmente independientes asociados a λ, λ,..., λ p respectivamente y c = (c, c,..., c p ) t la solución del sistema P c = u. Calculamos los autovectores y posteriormente los coeficientes. (A I)v = ; x x x = v = (8,, ) ; x x = x x = ; x = 9x x = x (A+ I)v = ; x x x = ; x 9 + x = x + x = ; x = 6x x = 4x v = (4, 4, ) (A+ I)v = ; x x x = ; x 9 + x = x + x = ; x = x x = x v = ( 6,, ) u n+ = c n u n+ = c λ n v + c λ n v + c λ n v 8 ( + c ) n 4 ( 4 + c ) n 6 Problemas resueltos de Matemáticas II

14 4 Teniendo en cuenta que nos piden la población al cabo del tiempo, eso quiere decir cuando n sea suficientemente grande, las potencias de los autovalores menores que uno en valor absoluto serán cero y por tanto sólo tendremos en cuenta el sumando correspondiente al autovalor λ =. Calculemos los coeficientes (c, c, c ) a partir del sistema P c = u, aunque sólo necesitamos c. F, ( ) F, ( 8) resolvemos por sustitución regresiva: c = 4 4 F, c c c = F,( ) = 7 ; c = 8c + ; c = ; c = + 7 = x n+ 8 6 x n+ = 6 y n+ = n = 7 y n+ = 7 z n+ z n+ =. Resolver la ecuación en diferencias de Fibonacci: z n = z n + z n para los valores iniciales z =, z =. Calculamos los autovalores. z n = z n + z n ; z n z n z n = ; λ λ = ; λ = ± + 4 λ = + ; λ =. Como los autovalores son distintos la solución de la ecuación en diferencias, según el teorema.7.6, vendrá dada por: ( z n = c λ n + c λ n + ) n ( ) n ; z n = c + c Grado en I. Informática

15 calculamos los coeficientes c y c dando a n los valores y y utilizando los valores iniciales dados: + n = : z = = c + c ) ( + c resolviendo el sistema obtenemos: n = : z = = c ( + c = y c = por tanto la solución de la ecuación en diferencias es: ( z n = + ) n ( ) n ). Los hábitos de trabajo de un estudiante son como sigue. Si estudia una noche, está seguro en un 7 % de que no estudiará la noche siguiente. Por otra parte, la probabilidad de que no estudie dos noches seguidas es de 6. A la larga, con qué frecuencia estudia? Sea x la variable que asignamos a la opción estudia e y la que asignamos a la opción no estudia. El sistema de ecuaciones será: x n = x n + 4y n y n = 7x n + 6y n ) ( ) ( ) 4 xn ( xn y n = 7 6 Se trata de una matriz estocástica de una cadena de Markov regular pues todos los términos de la matriz son estrictamente positivos; el vector de estado estacionario será el autovector correspondiente al autovalor, calculémoslo: ( ) ( ) ( ) 7 4 x (A I)v = ; = ; 7x 7 + 4x = ; 4 x x = 4 7 x v = ( ) 4 7 = ( ) 4 7 y n El resultado es que de cada noches estudia 4 y no estudia 7. Problemas resueltos de Matemáticas II

16 6 Grado en I. Informática

17 Ejercicios resueltos del capítulo 4 Ejercicios pares resueltos 4. Sea V el espacio vectorial de los polinomios en x de grado menor o igual que y una base B{ e = x, e = x, e =. Se considera el producto escalar definido por: e i e j =. Se pide: i + j + (a) El ángulo de los vectores y x. (b) Estudiar para qué valores de a son ortogonales x + a y x a. Nota.- En lo que sigue utilizaremos para el producto escalar la notación, más simple, x.y en lugar de x, y. (a) El ángulo que forman los polinomios y x podemos considerar que es el ángulo que forman los vectores p y p con p = e y p = e, por lo tanto: (p, p ) = p.p p p = e. e e e = = 6 (b) Para que dos vectores sean ortogonales su producto escalar ha de ser cero. Por lo tanto serán x + a = e + a e y x a = e a e y su producto escalar será: ( e + a e ).( e a e ) = e. e a e. e + a e. e a e. e = e. e a e. e = = a + + = a = 7; a = ± 4.4 (a) Hallar las ecuaciones implícitas de F siendo F =< (,, ), (,, ) >. 7

18 8 (b) Hallar una base de G siendo las ecuaciones implícitas de G : { x x + x = x = (c) Hallar una base de H siendo las ecuaciones implícitas de H: x 6x = (a) F = {x R / x.y =, y F, si x = (x, x, x ) F entonces (x, x, x )(,, ) t = y (x, x, x )(,, ) t = efectuando ambos productos escalares obtendremos las ecuaciones implícitas del subespacio F, { x +x = x x = (b) Con las ecuaciones implícitas dadas de G obtenemos una base de G, B G = {(,, ). Para obtener una base de G calculamos primero una ecuaciones implícitas y a partir de ellas una base: (x, x, x )(,, ) t = ; x + x = B G = {(,, ), (,, ) (c) Con las ecuaciones dadas, una base de H sería B H = {(,, ), (6,, ). Calculamos ahora unas ecuaciones implícitas de H, igual que hicimos en el aparatdo a), y posteriormente una base: { x = 6x +x = B H = {(, 6, ) 4.6 Sea F =< (,,, ), (,,, ) > R 4 (a) Comprobar que F + F = R 4 y F F = {. (b) Descomponer el vector u = (,,, ) como suma de un vector de F y otro de F. (c) Demostrar que dicha descomposición es única. Grado en I. Informática

19 (a) Calculamos F, F = {x R 4 / x.y =, y F, si x = (x, x, x, x 4 ) F entonces (x, x, x, x 4 )(,,, ) t = y (x, x, x, x 4 )(,,, ) t =, por tanto las ecuaciones implícitas de F serán: { x +x +x = x x = entonces una base de F será, B F = {(,,, ), (,,, ). Comprobamos ahora si F + F = R 4, para ello calculamos el rango de conjunto de vectores formados por las bases de ambos subespacios, F, ( ) F, ( ) F, () 6 como los cuatro pivotes son distintos de cero, los cuatro vectores son linealmente independientes y por tanto F + F = R 4. Para comprobar que la suma es directa tenemos que ver ahora que la intersección de ambos subespacios es vacia, es decir, F F = {. Si tenemos en cuenta la fórmula de Grassmann tiene que cumplirse dim(f ) + dim(f ) = dim(f + F ) + dim(f F ). Como dim(f ) =, dim(f ) = y dim(f + F ) = 4, será la dim(f F ) =, luego la intersección de ambos subespacios es el subespacio nulo. (b) Para descomponer el vector u = (,,, ) en suma de dos vectores, uno perteneciente a F y otro perteneciente a F, lo heremos proponiendo la descomposición del vector como combinación lineal de las bases de ambos subespacios, F F { { { { u = (,,, ) = a(,,, ) + b(,,, ) + c(,,, ) + d(,,, ) Resolvemos el sistema para obtener a, b, c, d: = a c = a +b +c = a b +c = +d a =, b =, c =, d = P roy F (u) = (,,, ) (,,, ) = (,,, ) P roy F (u) = (,,, ) + (,,, ) = (,,, ) 9 Problemas resueltos de Matemáticas II

20 (c) La demostración es similar a la del teorema de unicidad de las componentes de un vector en una base. 4.8 Hallar la solución óptima del siguiente sistema x x = x +4x = x +x = x +6x = La solución óptima la obtenemos de entre las infinitas soluciones que nos proporciona el sistema de ecuaciones normales o de Gauss que obtenemos multiplicando a la izquierda el sistema original por la matriz traspuesta de la matriz de los coeficientes, A t A ˆX = A t B x x = x +4x = x +x = x +6x = A t A = ( 4 6 ( = 4 x y 6 ) 4 6 El sistema de ecuaciones normales es: ) = ; A = AX = B; A t A ˆX = A t B; ( = 6 ˆx +ˆx = ˆx +6ˆx = 4 6 ) ( ; A t B = 4 6, B = ) = ( que es un sistema compatible indeterminado, por tanto con infinitas soluciones. El conjunto de dichas soluciones es: ˆx = α, ŷ = α, α R La solución óptima es, de entre las infinitas soluciones, la que tiene norma mínima. Sabemos que dicha solución es la que pertenece al subespacio fila de la matriz de los coeficientes, por tanto buscaremos de entre las infinitas soluciones la que pertenece al subespacio fila de la matriz; para ello haremos que el rango de la matriz cuyas columnas son una base del subespacio fila y el vector solución sea igual a la dimensión de dicho subespacio fila. Base F(A) = {(, ), Solucion = ( ) α, α ) Grado en I. Informática

21 rango ( α α ) = = ( α α ) F, ( ) ( α α + ) = α + = ; α = 7 = Solucion óptima : ˆx = 7, ŷ = 7 4. Hallar por el método de los mínimos cuadrados la solución óptima del sistema: x +x +x +x 4 = x +x +x +x 4 = x +x +x +x 4 = 4 El sistema es claramente incompatible y para obtener la solución óptima por el método de los mínimos cuadrados procedemos como en el ejercicio anterior. Obtenemos las matrices A y B: A =, B = 4 Obtenemos el sistema de ecuaciones normales o de Gauss A t A ˆX = A t B. A t A = = El sistema de ecuaciones normales queda reducido a: ˆx + ˆx + ˆx + ˆx 4 = 9 ; At B = Para calcular la solución óptima de entre las infinitas soluciones del sistema de ecuaciones normales, calculamos de entre dichas soluciones la que pertenece al subespacio fila, Base F(A) = {(,,, ), Solucion = (9 α β γ, α, β, γ) El rango de la matriz formada por la base del subespacio fila y el vector solución tiene que ser, 9 α β γ 9 α β γ F, ( ) rango α β =, α F, ( ) β F 4, ( ) γ γ 4 = Problemas resueltos de Matemáticas II

22 9 α β γ α + β + γ 9 β + α + γ 9 γ + α + β 9 α +β +γ 9 = α +β +γ 9 = α +β +γ 9 = α = β = γ = 9 4 Solucion óptima : ˆx = 9 4, ˆx = 9 4, ˆx = 9 4, ˆx 4 = Una pieza se estira hasta las longitudes de L=,6 y 7 metros bajo la aplicación, respectiva, de tres fuerzas de F =, y 4 toneladas. Suponiendo que se verifica la ley de Hooke L = a + bf, encontrar la longitud aproximada de la pieza. Si aplicamos la ecuación dada se debe verificar: = a +b 6 = a +b 7 = a +4b el sistema resultante es incompatible; lo resolveremos de forma aproximada en el sentido de los mínimos cuadrados. ( ) a = 6 A = B = 6 b Calculamos las ecuaciones normales o de Gauss y resolvemos, ( ) A t A ˆX ( ) ( = A t B, 7 =, El sistema de ecuaciones normales será: â +7ˆb = 8 7â +ˆb = 4 ) 6 7 = ( 8 4 ). que resolvemos obteniendo: con lo que la ecuación queda: â = 9, ˆb = 9 4 L = F Grado en I. Informática