Procesamiento digital de señales Semana 5. DFT

Transcripción

1 Procesamiento digital de señales Semana 5. DFT Dra. María del Pilar Gómez Gil Otoño 7 Coordinación de computación INAOE Versión: de Octubre 7 c P.Gómez Gil, INAOE 7

2 Tema La transformada Discreta de Fourier tarea: leer los capítulo 8 y 9 del libro de texto Gran parte del material de esta presentación fue tomado de: Smith, Steven The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing W., Second Edition, 999, California Technical Publishing Smith, Steven W. Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and Scientist. Amsterdam: Newnes, Elsevier Science.. ISBN: X. c P.Gómez Gil, INAOE 7

3 Fasor O Es la representación de un número compleo a través de un vector que gira a cierta velocidad en el plano real-imaginario O Se puede escribir como: a b a b tan b a cis = Coseno + i Sen c P.Gómez Gil, INAOE 7

4 Representación de un número compleo Imag. a b a b tan b a b a Real c P.Gómez Gil, INAOE 7 4

5 Ecuación ó Identidad de Euler e wt Cos wt Sen wt w constante e wt es un fasor c P.Gómez Gil, INAOE 7 5

6 Proyección de un fasor en el ee de los números reales Animación de la proyección de la parte real de un número compleo que gira, lo cual dibua un coseno!!! By Gonfer at English Wikipedia, CC BY-SA., edia.org/w/index.php?c urid=7 c P.Gómez Gil, INAOE 7 6

7 Transformaciones de señales O Una señal se puede descomponer en la combinación de otras señales base O Una transformación es la representación de una señal utilizando algún otro sistema de funciones base O En PDS se utilizan mucho las tranformaciones. Las mas comunes son las transformadas discretas de Fourier DFT, Laplace, Z, Hilbert, wavelets WT y Coseno DCT c P.Gómez Gil, INAOE 7 7

8 El concepto de funciones base base, con un eemplo de kinder Para hacer plastilina verde cuando no tienes Verde =.4 x Azul +.6 x Amarillo 8 e d r e v amarillo roo azul.6.4

9 La familia de Transformadas de Fourier O El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptiste Joseph Fourier O Fourier estaba interesado en la propagación del calor, y en 87 publicó un artículo sobre como usar sinusoides para representar distribuciones de temperatura. O Allí aseguró que cualquier señal periódica podría representarse como la suma de ondas sinusoidales, escogidas correctamente. Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 9

10 Tipos de FT Tipo de Señal Discreta Continua Periódica Aperiódica Transformada de Fourier Discreta DFT Transformada de Fourier en tiempo discreto Discrete Time Fourier transform, DTFT Requiere un número infinito de sinusoides! Serie de Fourier Transformada de Fourier Requiere un número infinito de sinusoides! c P.Gómez Gil, INAOE 7

11 Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7

12 Transformada Discreta de Fourier DFT El único tipo que pueden usar las computadoras, pues solo manean señale discretas y finitas Señal en el tiempo n fn DFT Señal en la frecuencia u Fu c P.Gómez Gil, INAOE 7

13 Transformada Discreta de Fourier cont. F u N n f n e un N u =,,,..., N- Fu Ku, n fn K se conoce como el núcleo de la transformada

14 DFT expandida O La DFT puede expandirse en n dominio del tiempo, o en u dominio de la frecuencia c P.Gómez Gil, INAOE 7 4 N n n N N N n n N N n n N e n f N F e n f F e n f F

15 DFT expandida cont. c P.Gómez Gil, INAOE 7 5 N u N u N u N e N f e f e f u F

16 Kernel o núcleo de transformación c P.Gómez Gil, INAOE 7 6 N f f f e N F F F un N <---- n > u un N e W Núcleo de transformación

17 Eemplo O Calcular la DFT de {,,, } Para este eemplo N=4, entonces W e e un un N un ya que, por la ecuación de Euler: e Cos Sen c P.Gómez Gil, INAOE 7 7

18 Cálculo del kernel para el eemplo Recodar que c P.Gómez Gil, INAOE 7 8

19 Cálculo del kernel para el eemplo cont. c P.Gómez Gil, INAOE

20 Cálculo del kernel para el eemplo cont. c P.Gómez Gil, INAOE W

21 Eemplo cont. c P.Gómez Gil, INAOE Fu

22 Eemplo sobre maneo de números compleos en Matlab y uso de función fft código aquí c P.Gómez Gil, INAOE 7

23 Eemplo sobre maneo de números compleos en Matlab y uso de función fft cont. c P.Gómez Gil, INAOE 7

24 Eecución del eemplo c P.Gómez Gil, INAOE 7 4

25 Otro eemplo de cálculo DFT Código c P.Gómez Gil, INAOE 7 5

26 Otro eemplo cont. c P.Gómez Gil, INAOE 7 6

27 Otro eemplo cont. c P.Gómez Gil, INAOE 7 7

28 Sobre la parte real y parte imaginaria de la DFT O La DFT de una función con N puntos resulta en un número compleo con N puntos. Entonces la DFT puede dividirse en dos componentes: una parte real y una imaginaria. O La parte real corresponde a los componentes coseno y la imaginaria a los componentes seno. c P.Gómez Gil, INAOE 7 8

29 Parte real e imaginaria de DFT Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 9

30 Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7

31 En el eemplo anterior z= realfftx; c P.Gómez Gil, INAOE 7

32 c P.Gómez Gil, INAOE 7

33 Qué representa el ee horizontal de Fu? / O Recordemos que la forma general de una función coseno continua está dada por: x t cos wt donde w es la frecuencia, dada en radianes/segundo O π radianes = 6 º = darle una vuelta a un circulo Entonces: x t cosft Donde f = frecuencia en ciclos/segundo = Hertz

34 "Sine cosine one period" by Geek - Own work. Licensed under Creative Commons Attribution. via Wikimedia Commons - riod.svg#mediaviewer/file:sine_cosine_one_period.svg 4

35 Qué representa el ee horizontal de Fu? / O La función coseno discreta se define como: x ntmuestreo cos fseñalntmuestreo donde T muestreo es el periodo de muestreo. fseñal x ntmuestreo cos n f muestreo f f señal muestreo se conoce como frecuencia normalizada ó natural 5

36 Qué representa el ee horizontal de Fu? / N/ N- Sin dimensión posicional u π π Radianes f f señal muestreo.5 sin dimensiones f f señal muestreo Frecuencia de Nyquist! f muestreo f muestreo Hz f señal Lo sombreado representa al rango útil o disponible de frecuencias de cualquier sistema discreto 6

37 Funciones base de la DFT Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 7

38 Figura 8.5 de Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 8

39 Cont. Figura 8.5 de Smith, 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 9

40 Síntesis de la DFT Ecuaciones 8. y 8., Smith 999 c P.Gómez Gil, INAOE 7 4

41 DFT inversa O Se define como: f n N N n e un N F u para n =,.. N- O Al comparar esta ecuación con la de DFT, se nota que solo el signo del exponencial es diferente! 4

42 O Obtener la transformada inversa de: Eemplo u F,, 6, n f 4

43 O Multiplicación del primer renglón por primera columna: O Multiplicación del cuarto renglón por primera columna: Eemplo cont

44 Transformada Rápida de Fourier O Leer: Ramirez-Cortés JM, Gómez-Gil MdP, Baez- López D. El Algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier y su Controvertido Origen, Revista Ciencia y Desarrollo, Vol. XXIV, No. 9, Marzo-Abril 998. Disponible en: algoritmo de la FFT y su controvertido 998.pdf 44