Procesamiento digital de señales Semana 1. Introducción (segunda parte)

Transcripción

1 Procesamiento digital de señales Semana 1. Introducción (segunda parte) Dra. María del Pilar Gómez Gil Otoño 2017 Coordinación de computación Versión: 28 de Agosto 2017 INAOE (c) P.Gómez Gil, INAOE

2 Tema Estadística, probabilidad y ruido (tarea: leer el capítulo 2 del libro de texto) (c) P.Gómez Gil, INAOE

3 Puntos importantes O Definiciones de: O Señal discreta y continua O Dominios de tiempo, frecuencia y espacio O Media, varianza y desviación estándar O Estadística, probabilidad, error estadístico O Histograma O PMF (probability mass function) y Pdf (probability density function) O Distribución Gaussiana O Números al azar y ruido digital O Precisión y Exactitud (c) P.Gómez Gil, INAOE

4 Señal O Cualquier cantidad física que varía con el tiempo, espacio o cualquier otra u otras variables independientes O Una señal continua está definida en cualquier punto. O Una señal discreta solo está definida en valores determinados. O A su vez, los valores de señales continuas o discretas pueden ser continuos o discretos O Para poder manejarse en una computadora digital, las señales tienen que representarse en forma discreta, lo que se hace a través de un proceso llamado cuantificar (quantize) (c) P.Gómez Gil, INAOE

5 Ejemplo de señal continua y discreta (c) P.Gómez Gil, INAOE

6 Ejemplos O s t = 2t (señal continua) O s x, y = 3x 2 2y 3 (señal continua) O x n = 0. 8n si n 0 0 si no (señal discreta) (c) P.Gómez Gil, INAOE

7 Señales uniformes y no uniformes O Si la señal tiene una forma uniforme (ejemplo una función seno) se puede identificar simplemente con su amplitud entre el punto mal alto y el mas bajo (peak-to-peak amplitude O Si la señal no es uniforme se requiere de otras medidas, como la desviación estándar y el error cuadrático medio. O En electrónica, la media se identifica como DC (corriente directa) y sus fluctuaciones se designan como AC (corriente alterna). (c) P.Gómez Gil, INAOE

8 Media, varianza y desviación estándar Media (representa la corriente directa, o DC) μ = 1 N N 1 x i i=0 Nótese que la sumatoria va de 0 a N-1 Varianza (representa la potencia de la fluctuación) σ 2 = 1 N 1 N 1 i=0 (x i μ) 2 Desviación estándar (mide la porción AC de la señal) σ = σ 2 (c) P.Gómez Gil, INAOE

9 Valor cuadrático medio (Root mean square ó RMS) x N 1 2 rms x i N i 1 O La desviación estándar (σ) sólo mide la potencia de una fluctuación. O El valor cuadrático medio (rms) mide tanto la parte AC como DC. O Si una señal no tiene un componente DC, su valor rms es igual a la desviación estándar (c) P.Gómez Gil, INAOE

10 Calculando la desviación estandar dinámicamente (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

11 Razón señal a ruido (SNR) y coeficiente de variación (CV) O SNR= media/deviación estándar O CV = (desviación estándar/media)*100 O Se busca que las señales tengan una SNR alta o CV bajo (c) P.Gómez Gil, INAOE

12 Señales y procesos O La estadística interpreta datos, la probabilidad estudia el comportamiento de los procesos que pudieron generar esos datos (la probabilidad es teórica, la estadística trabajo con datos reales) O La irregularidad aleatoria que se encuentra en datos reales se llama variación estadística, ruido estadístico o fluctuación estadística. (c) P.Gómez Gil, INAOE

13 Error típico O El error generado al calcular la media de un proceso usando un conjunto finito de mediciones es: errortipic o 1/ 2 O En probabilidad, la ley de los grandes números establece que este error es cero si el número de ejemplos es infinito N (c) P.Gómez Gil, INAOE

14 Procesos no estacionarios O Son a aquellos que cambian sus características (estadística) con el tiempo; dicho cambio no se debe a ruido sino al proceso en sí mismo (c) P.Gómez Gil, INAOE

15 Histograma O Número de ejemplos en una señal que tienen un valor determinado, o están en un rango determinado (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

16 Cálculo de la media y desviación estándar usando el histograma (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

17 Función de distribución de probabilidad discreta y función de densidad probabilística O Un histograma es el resultado de una señal adquirida, mientras que su equivalente en un proceso es una función de distribución de probabilidad, la cual se define teóricamente. (c) P.Gómez Gil, INAOE

18 (c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 (Smith, 1999) 18

19 (c) P.Gómez Gil, INAOE

20 (c) P.Gómez Gil, INAOE

21 O La función de distribución de probabilidad de una señal de ruido aleatorio es una función Gaussiana (c) P.Gómez Gil, INAOE

22 Binning O Cuando el número de posibles valores en un histograma es grande, estos se agrupan en rangos o intervalos, llamados bins (c) P.Gómez Gil, INAOE

23 Distribución normal o Gaussiana (c) P.Gómez Gil, INAOE

24 Distribución normal o Gaussiana (cont.) (c) P.Gómez Gil, INAOE

25 Función de distribución acumulada (cdf) O Es la integral de una pdf O Para el caso de distribuciones Gaussianas, se calcula numéricamente y se representa como (x) (c) P.Gómez Gil, INAOE

26 Generación de ruido digital O O O O O El ruido digital es útil para probar equipo y algoritmos, por ejemplo: que tan pequeña puede ser una señal medida, cuanta radiación se necesita para construir un aparato de rayos X o la distancia a la que se puede comunicar un radio Está basado en la generación de números al azar Los lenguajes contienen instrucciones para generarse, normalmente entre 0 y 1, con distribución uniforme Debido a que los lenguajes usan una semilla para generar números, realmente no se habla de números rándom sino pseudo-random La semilla permite generar exactamente los mismos valores cada vez que se ejecuta un programa (c) P.Gómez Gil, INAOE

27 Ejemplo usando RND de BASIC (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

28 Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

29 Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

30 Teorema del límite central O La suma de números generados al azar se acerca a una distribución normal a medida de que se van añadiendo números. O La distribución de los números generados no afecta, ni el hecho de que tengan diferentes distribuciones. (c) P.Gómez Gil, INAOE

31 Otra manera de generar números al azar con distribución normal, =0 y σ=1 (Smith, 1999) O Para generar números con distribución y σ arbitrarios: σ *X + (c) P.Gómez Gil, INAOE

32 Precisión y Exactitud O Estos términos se usan muchas veces como sinónimos, pero no son lo mismo. O Ambos describen la relación entre el valor verdadero y el valor encontrado por algún método. O Exactitud (Accuracy): muestra la diferencia entre el valor verdadero y la media de los datos generados por el proceso en cuestión. O Precisión (Precision): es la dispersión de los valores generados. Se especifica con la desviación estándar, la relación señal a ruido (SNR) o el coeficiente de variación (CV) (c) P.Gómez Gil, INAOE

33 Precisión y Exactitud (cont.) Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE