Unidad Didáctica 4. Distribuciones de Probabilidad II. Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad

Transcripción

1 Unidad Didáctica 4 Distribuciones de Probabilidad II Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad

2 UD 4 Distribuciones de Probabilidad Esta presentación corresponde a la Parte II de la Unidad Didáctica 4 de la asignatura, disponible en PoliformaT, y al capítulo 4 del libro de la asignatura Métodos estadísticos para Ingenieros. La presentación se utilizará en clase durante las sesiones del día 8 y 14 de marzo. En la primera sesión se trabajarán los aspectos más relevantes de las distribuciones Uniforme y Exponencial y la segunda sesión se dedicará a la realización de problemas. El contenido de esta unidad se completa con la sesión de prácticas (Práctica 4) del día 20 de marzo.

3 UD 4 - Distribuciones de Probabilidad (II-III) Principales distribuciones continuas Parte II, UD4 (8-14 de marzo) Distribución Uniforme Distribución Exponencial (15-28 de marzo) Distribución Normal (Parte III, UD4)

4 Distribuciones de Probabilidad X, P(X) Discreta: P(X=x i ) Continua: Probabilidad de que la variable X tome valores comprendidos en un intervalo A toda variable le corresponde una forma de distribuir sus probabilidades en el conjunto de valores posibles Caracterización de la distribución * Función de Probabilidad P(X) * Función de densidad f(x)

5 Distribuciones de Probabilidad Continuas De manera informal, una variable aleatoria es contínua si el conjunto de valores que puede tomar es un conjunto infinito continuo Las distribuciones de probabilidad continuas (o de variables aleatorias continuas) vienen caracterizadas por la función de densidad f(x) P(a<X b) f(x) El área comprendida bajo la función de densidad de una variable X entre dos valores "a" y "b" coincide con la probabilidad que la variable aleatoria tome valores en ese intervalo: a b X a b f(x)dx = P(a < X b) = P(X b) - P(X a)

6 Distribución Uniforme X ~ U [a,b] Cuándo se utiliza? Es la distribución normalmente utilizada cuando la variable es continua, está acotada entre dos valores y no hay más información disponible de ella, ya no se conoce nada más. Se suele considerar que la variable sigue una distribución uniforme entre los valores a y b Por ejemplo: * La distancia entre el origen y el destino de los mensajes en una red regular, tipo toro * El tiempo de búsqueda de información en disco * Cada procesador en la red genera un mensaje entre un tiempo mínimo y un máximo (por ejemplo entre 5 y 7 segundos) * La generación de números aleatorios (número generado al azar)

7 Distribución Uniforme X ~ U [a,b] si f(x)=0, x f(x)= K, x a,b a,b f(x) K a b x

8 Distribución Uniforme X ~ U [1,0 ; 2,5] población Uniform Distribution density 0,8 k 0,6 0,4 0,2 Lower limit,upper lim 1,2,5 0 0,5 0,8 1,1 1,4 1,7 2 2,3 2,6 2,9 3,2 x muestra N= Histogram percentage ,5 1 1,5 2 2,5 3 X

9 Distribución Uniforme X ~ U [a,b] Obtención del valor de la constante K : + P(X ) 1 f(x)dx f(x)dx b + = = = = = Kdx = K x = K(b a) = 1 a b a 1 K = (b a) b a

10 Distribució Uniforme X ~ U [a,b] Obtención de la función de probabilidad acumulada P(X x) = P(X<x) : X<a P(X x) = 0 f(x)=0 a X b P(X x) = x a b a f(x) = 1 b a X b P(X x) =1 f(x)=0 Recuerda: P(X x) = 1- P(X x)

11 Distribución Uniforme X ~ U [a,b] Representación de la función de probabilidad acumulada P(X x) 1 0 a b X

12 Distribución Uniforme AUTOEVALUACIÓN: el lenguaje de programación BASIC tiene una función RND que genera un número al azar entre 0 y 1. Qué crees que se entiende en este caso como un número al azar entre 0 y 1? Cuál será la función de densidad de la variable aleatoria cuyos valores genera la función RND?

13 Distribució Uniforme Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 0,5? Cuál es la probabilidad de extraer un número entre 0,2 y 0,6? Cuál es la probabilidad de extraer un número entre cero y uno?

14 Parámetros de las distribuciones Parámetros de la distribución Uniforme: U[a,b] X ~ U [a,b] f ( x) = 0 f ( x) 1 b a X [ a, b] = X [ a, b] E(X) = a + b 2 2 (b a) σ (X) = 12 2 Recuerda: Cómo se obtienen estos parámetros?

15 Distribución Uniforme (Ejercicio 11 UD4 ampliado): el tiempo de acceso a un fichero en una antigua unidad de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 segundos. a) Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? Qué distribución sigue? Cuál es la población objeto de estudio? b) Cuál es la probabilidad que el tiempo de acceso a un fichero sea exactamente 0,125 segundos? c) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea inferior a 0,125 segundos? d) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea superior a 0,125 segundos?

16 Distribución Uniforme Uniform Distribution P(T t) 1 T ~ U[0,1;0,5] Lower Limit,Upper 0,1,0,5 cumulative probability 0,0625 0,8 0,6 0,4 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 x 0,125 T

17 Distribución Uniforme e) Cuál es el tiempo medio de acceso a un fichero? Y la desviación típica del tiempo de acceso? f) Cuál será el tiempo medio de acceso consecutivo a 100 ficheros situados al azar en el disco? Y la desviación típica del tiempo de acceso? g) Qué porcentaje de las búsquedas de estos ficheros superan los 0,4 segundos? h) Cuál es valor del tiempo de búsqueda t que es superado por el 60% de los accesos a ficheros?

18 Distribución Uniforme i) Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es superado por el 50% de dichas búsquedas? Comenta el resultado obtenido en relación a las características de esta distribución. j) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero esté entre 0,125 y 0,4 segundos? k) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero esté entre 0,1 y 0,5 segundos?

19 Distribución Exponencial X ~ EXP(α) X 0 Sea una variable aleatoria X Tiempo transcurrido antes de que se presente un determinado suceso Vida o duraciones de equipos, componentes, sistemas... Fiabilidad Evaluación de prestaciones Tiempo de espera de un trabajo en la cola de la impresora hasta que se imprime Tiempo transcurrido hasta que un proceso consigue el recurso que ha solicitado.

20 Distribución Exponencial Ejemplo: La duración X de un equipo hasta que se avería es tal que la Prob (X>t) decrece exponencialmente a medida que aumentamos t (tiempo) P(X>t) = e -αt t Probabilidad de que una variable aleatoria Exp(α) tome valores mayores que t X

21 Distribución Exponencial Las variables aleatorias que siguen una distribución exponencial se caracterizan por la siguiente función de densidad: f(x) 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 x f(x) = αe α x 0 = f(x) = 0 x < x α=0,5 α=1 α=1,5 Mean

22 Distribución Exponencial La probabilidad P(X x), x 0 puede obtenerse sin más que integrar la función de densidad f(x) entre 0 y x. El resultado nos proporciona la función siguiente: α x P( X x) = 1 e Χ 0 P( X x) = 0 Χ < 0 NOTA: Si X (tiempo transcurrido hasta que se avería un componente electrònico) sigue una distribución exponencial de parámetro α, P(X>t) nos proporciona lo que se conoce por la Fiabilidad del componente a las t horas (Reliability)

23 Parámetros de las distribuciones Parámetros de la distribución Exponencial: Exp(α) X ~ EXP(α) X 0 P(X>t) = e -αt E(X) = 1 α σ 2 (X) = 1 α 2 Recuerda: Cómo se obtienen estos parámetros?

24 Distribución Exponencial La propiedad fundamental de la distribución exponencial es que la distribución condicional de X/X>x 0 no depende del valor x 0 sino que es igual a la distribución marginal inicial de X. Por esta propiedad se dice que la distribución exponencial no tiene memoria (el comportamiento futuro es independiente de su comportamiento actual o pasado) P P X > x + x P(X > x + x) e e α (x + x ) = = α x0 = X > x + X > x 0 P(X > x 0 ) x 0 X > x = P(X > x = 0 ) e α x e α x

25 Distribución Exponencial Ejercicio: El tiempo de ejecución de las aplicaciones de cierto tipo sigue una distribución exponencial de parámetro β=0,035. Sabiendo que uno de estos programas lleva ejecutándose 20 segundos, calcular la probabilidad de que termine antes de 10 segundos adicionales. Y si el programa lleva ejecutándose ya un minuto, cuál es la probabilidad de que finalice antes de 10 segundos adicionales?

26 Trabajos Prácticos A continuación tienes una serie de ejercicios propuestos que deberías saber resolver tras estudiar esta unidad. Para ello, no olvides seguir los siguientes pasos: 1 Qué nos piden calcular en el enunciado? 2 Cuál es la variable aleatoria? 3 Cuál es la población asociada? 4 La variable aleatoria, es continua o discreta? 5 Qué distribución (modelo) sigue? 6 Cuáles son sus parámetros? 7 Calcula las probabilidades solicitadas

27 Trabajos Prácticos Ejercicio 1: El tiempo de acceso a una unidad de disco fluctúa uniformemente entre 0 y 5 milisegundos. Sea t el tiempo que se tarda en leer 75 datos consecutivamente pero situados en posiciones aleatorias en el disco, 1.- Cuánto valdrá el tiempo t, en promedio? 2.- Cuánto valdrá la desviación típica del tiempo t?

28 Trabajos Prácticos Ejercicio 2: La duración X en horas de funcionamiento hasta que fallan los componentes electrónicos producidos mediante cierto proceso fluctúa aleatoriamente ( en qué población?) verificándose que Prob(X>x) = e -αx. Se sabe que los componentes duran en promedio 400 horas. Qué porcentaje de los componentes dura más de 400 horas?

29 Trabajos Prácticos Ejercicio 3: Se trata de un ejemplo sencillo de lo que podría ser la aplicación elemental de la Estadística en el área de la fiabilidad industrial. Los componentes anteriores se utilizan para el montaje de un dispositivo electrónico que ha de conectar dos bornes A y B. Se desea que el dispositivo tenga una fiabilidad del 99% a las 400 horas ( qué quiere decir esto?). Con el fin de garantizar esta fiabilidad, se montan en paralelo N componentes del tipo estudiado (hacer un gráfico y justificar por qué la redundancia en paralelo mejora la fiabilidad). Cuánto debe valer como mínimo N?

30 Trabajos Prácticos Ejercicio 4: La comunicación entre los nodos de cierta red se efectúa mediante el envío de paquetes. El tiempo de espera de cada paquete en un nodo hasta que es reenviado al siguiente nodo se asume que sigue una distribución exponencial. Se tiene constatado que en el 99% de las ocasiones, el paquete tiene que esperar menos de 46 ms. a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera de un paquete oscile entre los 20 y 30 ms b) Calcula cuál es la probabilidad de que un paquete espere en un nodo más de 25 ms sabiendo que dicho paquete ya lleva esperando en el nodo 10 ms. Justifica tu respuesta

31 Trabajos Prácticos Ejercicio 5: El centro de documentación de cierta comunidad autónoma ha constatado que el tiempo de consulta que dedica cada usuario en su terminal sigue una ley exponencial de media 30 minutos. El centro está abierto al público ininterrumpidamente desde las 9.00h hasta las 21.00h. A).- Calcular la mediana de la variable tiempo de consulta de un usuario en el terminal. B).- Sabiendo que un usuario lleva ya 20 minutos realizando una consulta en el terminal, cuál es la probabilidad que acabe antes de 15 minutos adicionales?

32 Trabajos prácticos Ejercicio 6: En el departamento de Consultas de una empresa informática se sabe que el tiempo de procesado de estas se distribuye como una exponencial de parámetro α, y que se requieren mas de 10 segundos para procesar el 95% de las consultas. a).- Cuánto vale en promedio el tiempo de procesado? b).- Qué probabilidad tienen los clientes de esperar más de 20 segundos en una consulta? c).- Cuál es la probabilidad de que el tiempo de procesado de una consulta oscile entre 8 y 12 segundos? d).- Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que el 50% de las consultas se hayan procesado? A qué parámetro de los estudiados corresponde este valor? e).- Una consulta lleva ya siendo atendida 5 segundos, cuál es la probabilidad de que el tiempo total de proceso supere los 10 segundos?

33 Distribución Exponencial Ejercicio 7 (Ejercicio 13 UD4): Se sabe que el tiempo transcurrido hasta la avería de componentes de cierto tipo sigue una distribución exponencial de media 69,3 horas. a) Qué porcentaje de los componentes tendrá una duración superior a 90 horas? b) Cuál será el tiempo medio de vida de los componentes? c) Sabiendo que ya han transcurrido 300 horas sin que se produzca ningún fallo, cuál es la probabilidad de que en las próximas 50 horas el componente funcione correctamente?

34 Distribución Exponencial Ejercicio 8 : Resuelve el ejercicio anterior considerando que la distribución exponencial referida tiene de mediana un valor de 69,3 horas.

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