MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y ASIMETRÍA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Transcripción

1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y ASIMETRÍA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN En clases anteriores se definieron algunas medidas de centralización, entre ellas, la más utilizada: la media aritmética; sin embargo, el análisis estadístico requiere de una medida que exprese la variabilidad de los datos con respecto a alguna medida de centralización; usualmente la media; en otras palabras: es necesario determinar un valor estadístico que represente la variación de los datos, tomando como punto de referencia de la variación la media aritmética. Entre las medidas de dispersión más usuales se tiene: RANGO A pesar de que no involucra a la media aritmética, la primera medida de la dispersión de un grupo de datos, agrupados o no, es el rango, definiéndose al rango como la diferencia entre el valor máximo y valor mínimo de los datos, es decir: Rango = Valor máximo Valor mínimo Como se recordará, el Rango permite, junto con el número de intervalos, determinar el ancho de clase. DESVIACIÓN ESTÁNDAR Sea: x 1, x 2, x 3,, x n Un grupo de datos de tamaño n, se define a la desviación estándar, también conocida como desviación típica, a la raíz cuadrada del cociente entre la sumatoria de los cuadrados de las diferencias, de cada uno de los valores y la media aritmética, dividida para el número de términos de la serie de datos, es decir: σ = (x i x ) 2 n Si los datos constituyen una muestra, es decir es un subconjunto de la población, la desviación estándar está dado por: s = (x i x ) 2 n 1 Las medidas de dispersión son proporcionales con su magnitud; un valor pequeño indica una pequeña desviación, mientras que un valor grande indica que existe una gran variabilidad o dispersión. VARIANZA Se define a la varianza como el cuadrado de la desviación típica; es decir: Varianza = S 2 La varianza mide la variabilidad de los datos, esta medida estadística es de gran utilidad para el análisis comparativo entre dos o más poblaciones. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 1

3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN Una medida de la dispersión o variación de un grupo de datos es el coeficiente de variación de Pearson, el mismo que relaciona por cociente a la desviación estándar con la media aritmética, es decir: RANGO INTERCUARTIL CV = desviación estándar media aritmética Se define al rango intercuartil como la diferencia numérica entre el tercer cuartil y el primer cuartil, es decir: = σ x DIAGRAMA DE CAJA RIQ = Q 3 Q 1 El diagrama de caja es una herramienta de representación gráfica que resume la variabilidad de un grupo de datos; en este gráfico se puede apreciar el rango y el rango intercuartilítico. Para elaborar el diagrama de caja es necesario: el valor máximo, el valor mínimo, la mediana el primer cuartil y el tercer cuartil; estos valores se colocan en una recta horizontal, tal como se indica en la siguiente figura: MEDIDAS DE ASIMETRÍA Una vez que se dispone de las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión que describen a un grupo de datos, sobre todo, la media aritmética y la desviación estándar, es conveniente determinar además, una medida que exprese la simetría o asimetría de los datos. SIMETRÍA DE UNA MUESTRA En Estadística se conoce como distribución simétrica a aquella distribución de frecuencia en los cuales los datos se reparten en tal forma que el vértice del polígono de frecuencia se encuentra en la mitad del mismo; tal como se indica en el siguiente histograma: w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 2

4 En toda distribución de frecuencias simétrica se cumple que: x = x = x Es decir: la media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se ubican en la parte central del histograma de frecuencias. A las muestras simétricas se las conoce también como muestras asesgadas; es decir, que no tienen sesgo. Si la distribución de frecuencias no es simétrica, entonces se trata de una distribución asimétrica o sesgada. SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRRECUENCIAS El sesgo es una forma cuantitativa de expresar la asimetría de una curva, este estadístico se determina con las siguientes expresiones: CAP 1 = x x σ 3(x x ) CAP 2 = σ Que se conocen como Primer y segundo coeficiente de Pearson; se puede observar que el primer coeficiente toma en cuenta la moda y el segundo coeficiente toma en cuenta a la mediana de la distribución de frecuencias. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 3

5 Si la curva es asimétrica; dispondrá de un sesgo hacia la derecha o sesgo hacia la izquierda según se indica en los gráficos: Sesgo a la derecha.- Los datos se concentran en la parte derecha de la distribución, se cumple además que: x < x < x Cuando la distribución de frecuencias presenta sesgo a la derecha los coeficientes de asimetría de Pearson son positivos. Sesgo a la izquierda.- Los datos se concentran en la parte izquierda de la distribución, se cumple además que: x < x < x Cuando la distribución de frecuencias presenta sesgo a la izquierda los coeficientes de asimetría de Pearson son negativos. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 4