Señales y Sistemas. Procesamiento Digital de Imágenes: Operaciones en el dominio espacial y frecuencial

Transcripción

1 Señales y Sistemas Procesamiento Digital de Imágenes: Operaciones en el dominio espacial y frecuencial Departamento Bioingeniería Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Entre Ríos Procesamiento espaciales y frecuencial p. 1

2 Conceptos básicos Las operaciones de mejora de calidad (realce) son las más sencillas y utilizadas en PDI. Objetivo general: destacar los detalles de interés, obteniendo una salida "visualmente mejor" que la entrada. Ejemplo: aumento de contraste de una imagen para que tenga "mejor aspecto". Procesamiento espaciales y frecuencial p. 2

3 Conceptos básicos Es un concepto muy subjetivo ( qué procesamiento aplico?, la imagen mejora?), a diferencia de las operaciones de restauración. Los algoritmos son concretos y de aplicación directa. Existen dos categorías: Dominio del espacio: modificaciones en el plano de la imagen. g(m,n) = T[f(m,n)] Dominio de la frecuencia: modificaciones en la transformada de Fourier de la imagen. G(u,v) = T[F(u,v)], donde F(u,v) = F[f(m,n)] yg(u,v) = F[g(m,n)] Procesamiento espaciales y frecuencial p. 3

4 Transformaciones espaciales: clasificación Operaciones puntuales: el resultado depende únicamente del valor de intensidad en el pixel procesado. f(x,y) y T g(x,y) y Operaciones locales: el resultado es función del nivel de gris del pixel analizado y de los de su entorno (vecindad). x (x,y) T y x (x,y) y Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar los pixeles individualmente. Operaciones geométricas: cambio de posición de cada pixel dependiente de la posición en la imagen original. x Procesamiento espaciales y frecuencial p. 4

5 Operaciones locales: conceptos Variaciones de los niveles de gris entre pixeles de acuerdo a su distancia: Variaciones rápidas: componentes de altas frecuencias. Corresponde a bordes de los componentes de la escena (aparición de transiciones claro/oscuro). Transiciones suaves: componentes de bajas frecuencias. Corresponde al nivel general de iluminación de la escena. Las vecindades de un pixel particular puede aportar información útil acerca de los niveles de iluminación o detalles de la escena y en la y zona. Muchas operaciones de realce se efectúan sobre regiones de interés alrededor de cada pixel de la imagen. El resultado es función del nivel de gris del pixel analizado y de los de su entorno. (x,y) T x (x,y) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 5

6 Filtrado espacial: concepto Modelo de la operación de realce en el dominio espacial: g(x,y) = T(f)(x,y), con f(x, y): entrada al sistema (imagen bajo analisis) T : transformacion aplicada (lineal o no lineal) g(x, y): salida del sistema (imagen realzada) Transformaciones lineales (extensión del concepto 1-D): Operador T : lineal e invariante al desplazamiento (LSI). h(x, y): respuesta al impulso del sistema. Salida del sistema: convolución. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 6

7 Filtrado espacial: concepto Convolución 2D continua: f(x,y) h(x,y) = f(τ x,τ y )h(x τ x,y τ y )dτ x dτ y Caso discreto: f(x,y) h(x,y) = = f(s,t)h(x s,y t) s= t= s= t= h(s,t)f(x s,y t) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 7

8 Filtrado espacial: concepto Para reducir la complejidad computacional: h(s,t) = 0, para (s,t) /, con : conjunto pequeño de mxn (vecindad). g(x,y) = a b s= at= b h(s,t)f(x s,y t) con a = m 1 2, b = n 1 2, x = 0,1,...,M 1; y = 0,1,...,N 1 Kernel de convolución: ventana de coeficientes que definen h. Tamaño arbitrario, comúnmente de 3x3 ó 5x5. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 8

9 Filtrado espacial: concepto Procesamiento espaciales y frecuencial p. 9

10 Filtrado espacial: concepto En vez de operar con el kernel de convolución h, podemos definir los coeficientes de la máscara de filtrado w (versión rotada de h): w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 = w ( 1, 1) w ( 1,0) w ( 1,1) w (0, 1) w (0,0) w (0,1) = w (1, 1) w (1,0) w (1,1) y operar con la sumatoria de correlación: h (1,1) h (1,0) h (1, 1) h (0,1) h (0,0) h (0, 1) h ( 1,1) h ( 1,0) h ( 1, 1) g(x,y) = h(x,y) f(x,y) = w(x,y) f(x,y) = a b w(s, t)f(x+s, y+t) s= at= b g(x,y) = w 1 f (x 1,y 1) +w 2 f (x 1,y) +w 3 f (x 1,y+1) = w 4 f (x,y 1) +w 5 f (x,y) +w 6 f (x,y+1) = w 7 f (x+1,y 1) +w 8 f (x+1,y) +w 9 f (x+1,y+1) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 10

11 Filtrado espacial: concepto Filtrado : nombre dado al desplazamiento sucesivo de la máscara por la imagen, ya que según la elección de coeficientes de w se limitan o amplifican determinadas frecuencias espaciales. Para los píxeles del borde se tiene la condición de frontera: Borde libre: máscara truncada. Borde fijo: la imagen es extendida mediante repetición de la fila/columna, o poniendo valores de intensidad fijos. Borde periódico: se convoluciona agregando la fila/columna opuesta (toroide). FILTROS Lineales de Suavizado de Acentuado Promediado Pasa-bajos Pasa-altos Enfasis de altas frecuencias No Lineales Mediana Adaptativo Variante Procesamiento espaciales y frecuencial p. 11

12 Filtros de suavizado El suavizado de la imagen es la reducción de variaciones rápidas (saltos bruscos) de intensidad entre píxeles vecinos. Los filtros de suavizado se utilizan para: Desenfoque: preprocesamiento para eliminar detalles no deseados (pequeños) antes de la extracción de objetos grandes. Corrección de fragmentos de líneas perdidos. Reducción de ruido: mediante filtros lineales o no lineales. Máscara: kernel con pesos positivos que suman 1, por ej: g(x,y) = 1 2 w = [f(x,y)+ 1 4 [f(x 1,y)+f(x+1,y)+f(x,y 1)+f(x,y+1)] ] Procesamiento espaciales y frecuencial p. 12

13 Filtros de suavizado Filtros promediadores: efecto de la talla de w en el desenfoque 1 N N=5 N=11 N=15 Procesamiento espaciales y frecuencial p. 13

14 Filtros de suavizado Filtros promediadores: reducción de ruido Ruido gaussiano (media=0, var=0.01) Ruido gaussiano (media=0, var=0.05) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 14

15 Filtros de acentuado El objetivo de estos filtros es resaltar los detalles finos y variaciones rápidas (saltos bruscos) de intensidad entre pixeles vecinos. Máscara: operador LSI con coeficientes positivos en el centro y valores negativos alrededor. Tipos: Pasa-altos: aplicación directa de una máscara. Enfasis de altas frecuencias: operación aritmética entre imágenes. Conocido también como máscara difusa. Alta potencia (high-boost). Procesamiento espaciales y frecuencial p. 15

16 Filtros de acentuado Filtros pasa-altos: la suma de coeficientes de la máscara determina la imagen resultante. Suma=1: realce de altas frecuencias sin alterar las bajas frecuencias Suma=0: extracción de altas frecuencias, eliminando las bajas frecuencias Procesamiento espaciales y frecuencial p. 16

17 Filtros de acentuado Filtros pasa-altos con suma=1: Original Procesamiento espaciales y frecuencial p. 17

18 Filtros de acentuado Filtros pasa-altos con suma=0: elimina zonas homogéneas Procesamiento espaciales y frecuencial p. 18

19 Filtros de acentuado Máscara difusa: filtro pasa-altos obtenido mediante una operación aritmética, calculada como la diferencia entre la imagen original y una versión suavizada. g(x,y) = f(x,y) PB(f(x,y)) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 19

20 Filtros de acentuado Filtrado de alta potencia (high-boost): generalización del máscara difusa. Salida obtenida mediante la diferencia entre una versión amplificada de la imagen original y una versión suavizada. g(x,y) = Af(x,y) PB(f(x,y)), cona 1 Original Dif. de amplificada con PB Procesamiento espaciales y frecuencial p. 20

21 Temas a desarrollar Introducción. Transformada bidimensional de Fourier y su inversa: Definición y propiedades. Representación gráfica. Importancia de la magnitud y la fase. Filtrado frecuencial: Filtros de suavizado Filtros de acentuado Procesamiento espaciales y frecuencial p. 21

22 Introducción Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar los píxeles de forma individual Transformadas más conocidas: Fourier, discreta del coseno, Karhunen-Loève, Hough, cambio entre modelos de color. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 22

23 Introducción Operaciones globales: la imagen se transforma sin considerar los píxeles de forma individual Transformadas más conocidas: Fourier, discreta del coseno, Karhunen-Loève, Hough, cambio entre modelos de color. En el dominio espacial: El cálculo de filtros espaciales se realiza de manera rápida cuando el kernel de convolución es pequeño. Al trabajar con un kernel grande, el cálculo se vuelve ineficiente. En el dominio frecuencial: La convolución 2D produce el mismo resultado que la multiplicación de espectros frecuenciales (Fourier). Para evitar ineficiencia en los cálculos, se convierten las señales al dominio frecuencial y se efectúan multiplicaciones en vez de convoluciones. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 22

24 Transformada de Fourier Señales unidimensionales en tiempo discreto: F(u) = 1 M = 1 M M 1 x=0 M 1 x=0 f(x)e j2πux M [ f(x) cos 2πux M, parau = 0,1,...,M 1 jsin 2πux M ] f(x) = M 1 u=0 F(u)e j2πux M, parax = 0,1,...,M 1 Procesamiento espaciales y frecuencial p. 23

25 Transformada de Fourier Señales bidimensionales (imagen digital): F(u,v) = 1 MN M 1 x=0 N 1 y=0 f(x,y)e j2π(ux/m+vy/n), { u = 0,...,M 1 v = 0,...,N 1 f(x,y) = M 1 u=0 N 1 v=0 F(u,v)e j2π(ux/m+vy/n), { x = 0,1,...,M 1 y = 0,1,...,N 1 Procesamiento espaciales y frecuencial p. 24

26 Transformada de Fourier Relaciones entre paso espacial y paso frecuencial: En coordenadas polares: u = 1 M x, v = 1 N y donde F(u,v) = F(u,v) e jφ(u) Magnitud (espectro) Fase : F(u,v) = R 2 (u,v)+i 2 (u,v) : φ(u,v) = tan 1[ I(u,v) ] R(u, v) Procesamiento espaciales y frecuencial p. 25

27 Transformada de Fourier Imágenes base: Imagen de 4x4 Imagen de 16x16 Procesamiento espaciales y frecuencial p. 26

28 Transformada de Fourier Ejemplo con imagen de 4x4: imagen, imágenes base de 4x4 y coeficientes positivos de la DFT2 Procesamiento espaciales y frecuencial p. 27

29 Transformada de Fourier Visualización de la TF: y x Senoidal en eje espacial y u Picos en eje frecuencial v v Procesamiento espaciales y frecuencial p. 28

30 Transformada de Fourier Visualización de la TF: y u v x Senoidal en eje espacial y Picos en eje frecuencial v Procesamiento espaciales y frecuencial p. 29

31 Transformada de Fourier Representación gráfica 1D: Procesamiento espaciales y frecuencial p. 30

32 Transformada de Fourier Representación gráfica 2D: y x (0,0) (0,N/2) (0,-N/2) (0,- N) v (M/2,0) (-M/2,0) (- M,0) u Procesamiento espaciales y frecuencial p. 31

33 Propiedades de la transformada de Fourier Traslación: f(x,y)e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) F(u u 0,v v 0 ) f(x x 0,y y 0 ) F(u,v)e j2π(ux 0/M+vy 0 /N) Cuando u 0 = M/2 y v 0 = N/2: e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) = e jπ(x+y) = ( 1) x+y Por lo tanto: f(x,y)( 1) x+y F(u M/2,v N/2) f(x M/2,y N/2) F(u,v)( 1) u+v Procesamiento espaciales y frecuencial p. 32

34 Transformada de Fourier Centrado de la transformada: y x v u Procesamiento espaciales y frecuencial p. 33

35 Propiedades de la transformada de Fourier Periodicidad: f(x,y) y F(u,v) son funciones periódicas de período M y N F(u,v) = F(u+M,v) = F(u,v +N) = F(u+M,v +N) f(x,y) = f(x+m,y) = f(x,y +N) = f(x+m,y +N) Simetría conjugada: si f(x, y) es real entonces F(u,v) = F ( u, v), y F(u,v) = F( u, v) lo que dice que el espectro es simétrico respecto al origen. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 34

36 Propiedades de la transformada de Fourier Procesamiento espaciales y frecuencial p. 35

37 Propiedades de la transformada de Fourier Separabilidad: F(u,v) = = 1 MN 1 MN = 1 M M 1 x=0 M 1 x=0 M 1 x=0 [ N 1 y=0 N 1 y=0 1 N N 1 y=0 f(x,y)e j2π(ux/m+vy/n) f(x,y)e j2πux/m e j2πvy/n f(x,y) e j2πvy/n ] e j2πux/m El cálculo de la TF 2D puede realizarse a través de dos operaciones, una horizontal y otra vertical, ambas 1D. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 36

38 Propiedades de la transformada de Fourier Rotación: En coordenadas polares: Substituyendo: x = rcosθ, y = rsinθ, u = ωcosϕ, v = ωsinϕ f(r,θ) F(ω,ϕ) f(r,θ +θ 0 ) F(ω,ϕ+θ 0 ) Si f(x,y) se gira un ángulo θ 0, su transformada de Fourier F(u,v) se gira la misma cantidad. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 37

39 Propiedades de la transformada de Fourier Procesamiento espaciales y frecuencial p. 38

40 Propiedades de la transformada de Fourier Convolución: g(x,y) = f(x,y) h(x,y) g(x,y) G(u,v) G(u,v) = F(u,v)H(u,v) f(x,y) h(x,y) F(u,v)H(u,v) La TF de la salida de un sistema es igual a la multiplicación de la TF de la entrada al sistema por la TF de la respuesta del sistema al impulso unitario. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 39

41 Representación gráfica de la TF Procesamiento espaciales y frecuencial p. 40

42 Representación gráfica de la TF Procesamiento espaciales y frecuencial p. 41

43 Filtrado frecuencial En el dominio espacial: la convolución puede se computacionalmente ineficiente cuando aumenta la talla del filtro. Filtrado en frecuencia: utilización de la propiedad de correspondencia entre convolución espacial y producto de TF Proceso: 1. Generar una función H(u, v) (función de transferencia del filtro) 2. Calcular la TF F(u,v) de la imagen 3. Multiplicar elemento a elemento las funciones 4. Calcular la TF inversa 5. Obtener la parte real Procesamiento espaciales y frecuencial p. 42

44 Filtros de suavizado Filtro pasa-bajos ideal: H(u,v) = { 1 sid(u,v) D0 0 sid(u,v) > D 0 donde: D 0 es la frecuencia de corte, y D(u,v) es la distancia euclídea desde el punto (u,v) hasta el origen del plano de frecuencia. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 43

45 Filtros de suavizado Ejemplos de PB ideal: Original D 0 = 57 D 0 = 26 Efecto de sobredisparo característico de los filtros ideales por la discontinuidad de la función de transferencia: fenómeno de Gibbs. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 44

46 Filtros de suavizado Fenómeno de Gibbs: oscilaciones presentes en la imagen filtrada originadas en el cálculo de la TF inversa. La aparición de oscilaciones se explica claramente en el dominio espacial: Imagen de H(u,v) h(x,y) Imagen de h(x,y) Solución: multiplicación del filtro ideal por una ventana suavizante (Hamming, Kaiser, etc.), o generar una función H(u, v) con caída suave. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 45

47 Filtros de suavizado Filtro pasa-bajos Butterworth de orden n: H(u,v) = 1+ [ 1 D(u,v) D 0 ] 2n Transición de corte suave, no introduce sobredisparo. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 46

48 Filtros de suavizado Ejemplo de filtrado sin sobredisparo: Ejemplo de reducción de ruido: Procesamiento espaciales y frecuencial p. 47

49 Filtros de suavizado Filtro pasa-bajos gaussiano: H(u,v) = e D2 (u,v)/2σ 2 σ: medida de la dispersión de la curva gaussiana. Propiedad: la TF inversa de un filtro gaussiano también es gaussiana. Ventaja: no tiene sobredisparo. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 48

50 Filtros de acentuado Filtro pasa-altos ideal: H(u,v) = { 0 sid(u,v) D0 1 sid(u,v) > D 0 donde: D 0 es la frecuencia de corte, y D(u,v) es la distancia euclídea desde el punto (u,v) hasta el origen del plano de frecuencia. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 49

51 Filtros de acentuado Ejemplos de PA ideal: Original D 0 = 18 D 0 = 26 Al igual que en el filtro pasa-bajos, se observa la aparición del fenómeno de Gibbs. Procesamiento espaciales y frecuencial p. 50

52 Filtros de suavizado Filtro pasa-altos Butterworth de orden n: H(u,v) = 1+ [ 1 D 0 D(u,v) ] 2n Al igual que el filtro PB, para orden bajo no introduce sobredisparo (n < 20). Procesamiento espaciales y frecuencial p. 51

53 Filtros de acentuado Comparación con filtro PA ideal: Original Ideal Butterworth Procesamiento espaciales y frecuencial p. 52

54 Filtros de acentuado Filtro pasa-altos gaussiano: H(u,v) = 1 e D2 (u,v)/2σ 2 con σ 2 : varianza de la curva gaussiana (σ = D 0 ). Procesamiento espaciales y frecuencial p. 53

55 Fin de la teoría Procesamiento espaciales y frecuencial p. 54