Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales TRANSFORMADAS BÁSICAS DE LA IMAGEN Transformada de Fourier

2 DEFINICIONES BÁSICAS El concepto de descomposición en frecuencia se basa en las propiedades de periodicidad de las señales trigonométricas del seno y coseno. Las funciones seno y coseno son señales periódicas con periodo T = 2π, de tal manera que la señal se repite como cos(x)=cos(x+2πk), k Ν. La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación definida como: ω = 2π T = 2π f donde T es el periodo (tiempo en dar un ciclo completo) y f es la frecuencia (número de ciclos por unidad de tiempo) medida en Hertz (Hz), de modo que: f = 1 T = ω 2π 2

3 DEFINICIONES BÁSICAS Las funciones seno y coseno oscilan en el rango [ 1,+1], y se puede modificar su amplitud multiplicándolas por una constante A, de tal manera que quedan definidas como: f (x) = A cos(ωx) y f (x) = A sin(ωx) 1 A sin(x) cos(x) π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π ω f % Ejemplo en MATLAB x = :.1:1; % Variable independiente (tiempo) k = 1; % Número de ciclos por segundo (Hz) A = 1; % Amplitud de la función w = 2*k*pi; % Velocidad angular f1 = A*sin(w*x); % Evalúa función seno f2 = A*cos(w*x); % Evalúa función coseno % Gráfica de resultados figure('color',[1 1 1]); plot(w*x,f1,'k',w*x,f2,'k-.'); set(gca,'xtick',:pi:w); xlim([ w]); ylim([-a A]); legend('sin(x)','cos(x)'); 3

4 DEFINICIONES BÁSICAS Si se considera el desplazamiento de la función coseno a lo largo del eje x en una distancia ϕ, denominada ángulo de fase, se tiene la siguiente expresión: f (x) = cos(ωx φ) Considerando la fase, existen equivalencias entre las funciones seno y coseno, tal que: φ sin(x) sin(ωx) = cos(ωx π 2 ) cos(ωx) = sin(ωx π 2 ) π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π A cos(x) ω 4

5 DEFINICIONES BÁSICAS Los procesos de transformación consisten en descomponer un modelo de componentes ortogonales. La ortogonalidad se refiere a que la descomposición realizada tendrá información excluyente entre las componentes, es decir, la información contenida en la descomposición de una componente no se encontrará en ninguna otra componente. Las funciones seno y coseno son ortogonales, por lo que pueden ser utilizadas para construir funciones arbitrarias, por ejemplo: donde: A cos(ωx) + B sin(ωx) = C cos(ωx φ) B C = A 2 + B 2 y φ = tan 1 A 5

6 DEFINICIONES BÁSICAS sin(x) 2 2 cos(x π 4 ) sin(ωx) B = 1 2 A cos(ωx) + B sin(ωx) 1 2 cos(x) φ cos(ωx) 2 2 π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π ω A = 1 2 6

7 DEFINICIONES BÁSICAS La relación entre las funciones coseno y seno y la función exponencial compleja está determinada por la fórmula de Euler: e jφ = cosφ + j sinφ La parte real (Re) e imaginaria (Im) quedan determinados por: Re(e jφ ) = cosφ = e jφ + e jφ y Im(e jφ ) = sinφ = e jφ e jφ La magnitud se define como: e jφ = Re 2 (e jφ ) + Im 2 (e jφ ) El ángulo de fase se define como: Im(e jφ ) φ = tan 1 Re(e jφ ) 2 2j 7 Im 1 sin(φ) φ cos(φ) 1 cos(φ) + j sin(φ) Re

8 TRANSFORMADAS DE IMÁGENES Algunas tareas de AID son más fáciles de hacer al transformar la imagen del dominio espacial a otro dominio, realizar dichas tareas en ese nuevo dominio y aplicar una transformación inversa para regresarla al dominio espacial. Problema en el dominio de la transformada Solución fácil Solución en el dominio de la transformada Integral de transformación Transformación inversa Problema en el dominio espacial Solución difícil Solución en el dominio espacial 8

9 TRANSFORMADAS DE IMÁGENES Ejemplo: filtrado de ruido periodico. f(x,y) T(u,v) g(x,y) R Procesamiento R 1 Dominio espacial Dominio de la transformada Dominio espacial 9

10 TRANSFORMADAS DE IMÁGENES Las transformadas lineales para imágenes, denotadas T(u,v), pueden expresarse de la forma general como: Imagen transformada T(u,v) = Imagen de entrada M 1 x = y= f (x,y)r(x,y,u,v) 1 Kernel de transformación directo con u=,1,,m 1 y v=,1,,n 1, donde M y N son el ancho y alto de la imagen respectivamente, x e y son las variables espaciales, y u y v son las variables de la transformada. Dado T(u,v) se puede recuperar f(x,y) usando la transformada inversa de T(u,v) como: Imagen recuperada f (x,y) = Imagen transformada M 1 u= v= con x=,1,,m 1 y y=,1,,n 1. T(u,v)s(x,y,u,v) Kernel de transformación inverso

11 TRANSFORMADAS DE IMÁGENES La transformada directa se dice que es separable si: r(x,y,u,v) = r 1 (x,u)r 2 (y,v) Adicionalmente, el kernel es simétrico si r 1 (x,u) es funcionalmente idéntico a r 2 (y,v), tal que r(x,y,u,v) = r 1 (x,u)r 1 (y,v) Ambas propiedades también aplican a la transformada inversa. Perfil horizontal valor Perfil vertical renglón columna 11

12 El físico-matemático francés Joseph Fourier sentó las bases del análisis de funciones periódicas las cuales son descompuestas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier. En 1822 publicó su trabajo Teoría analítica del calor en donde aplicó las series trigonométricas para modelar la propagación del calor. Actualmente el Análisis de Fourier se utiliza extensamente en varias áreas de la ciencia para el análisis de frecuencia de señales periódicas. 12

13 CASO CONTINUO 1D Series de Fourier: una función periódica puede descomponerse en una suma de simples señales oscilatorias (armónicos) con diferentes frecuencias (senos y cosenos o exponenciales complejas). n = 1 n = 3 n = 7 n = 11 n = 39 n = 199 f (x) = Función cuadrada: 1, < x < π 1, π < x < 2π Serie de Fourier: f (x) = 4 π n=impar 1 n sinnω x 13

14 CASO CONTINUO 1D Transformada de Fourier o integral de Fourier: descompone una función periódica en sus armónicos (espectro de frecuencias) y se define como: F(ω) = F[f(x)] = f(x)e j 2πωx dx La transformada inversa de Fourier se expresa como: f(x) = F 1 [F(ω)] = 1 2π F(ω)e j 2πωx dω donde: j = 1 y e ± jθ = cosθ ± j sinθ 14

15 CASO CONTINUO 1D f (x) A Pulso rectangular A, x < X f (x) =, x > X Si sinθ = e jθ e jθ 2 j F(u) = x X f (x)e j 2πux dx = Ae j 2πux dx X = A e j 2πux dx X Si e ax dx = eax a A j2πu e j 2πux = A j2πu e j 2πuX 1 = A j2πu e jπux e jπux X e jπux A πu sin(πux)e jπux F(u) = A 1 πu sin(πux) e jπux F(u) = AX sin(πux) πux Función Sinc 15

16 CASO CONTINUO 1D f (x) F(u) A F[f(x)] X x π X π X u f(x) = A, x < X, x > X F(u) = AX sin(πux) πux 16

17 CASO CONTINUO 1D Variando la velocidad angular, se observa un aumento de la frecuencia en el dominio del tiempo y que es correspondiente a un desplazamiento en el dominio de la frecuencia. f (t) = sin(2πωt) 17

18 CASO CONTINUO 1D Variando la velocidad angular, se observa un aumento de la frecuencia en el dominio del tiempo y que es correspondiente a un desplazamiento en el dominio de la frecuencia. f (t) = sin(2πt) + sin(2πωt) 18

19 CASO CONTINUO 2D El par de transformadas de Fourier bidimensionales se definen como: F(u,v) = F[f(x,y)] = f(x,y) = F 1 [F(u,v)] = 1 2π Considérese el pulso rectangular 2D: f(x,y)e j 2π(xu+yv) dx dy F(u,v)e j 2π(xu+yv) dudv x X A Y y Si f(x,y) = A, < x < X < y <Y, otro caso e p+q = e p e q F(u,v) = A F(u,v) = AXY sin(πux) πux X e j 2πxu dx sin(πvy ) πvy Y e j 2πyv dy 19

20 CASO CONTINUO 2D F(u,v) f (x,y) A F[f(x,y)] X Y y u v x f(x,y) = A, < x < X < y <Y, otro caso F(u,v) = AXY sin(πux) πux sin(πvy ) πvy 2

21 CASO DISCRETO 1D Supóngase una función continua f (x) que se ha discretizado en la sucesión: f (x) = f (x + xδx) donde x =,1,2,,N 1 muestras separadas uniformemente cada Δx. 21

22 CASO DISCRETO 1D El par de transformadas discretas de Fourier (DFT) para funciones muestreadas son: F[f(x)] = F(u) = f(x)e j 2πux N para u =,1,2,,N 1 x = F 1 [F(u)] = f(x) = 1 N F(u)e j 2πux N para x =,1,2,,N 1 u= Implementación numérica en MATLAB: function F = dft(f) N = numel(f); x = :N-1; u = :N-1; k = 1j*2*pi; F = zeros(1,n); for i = 1:N F(i) = sum(f.*exp(-k*x*u(i)/n)); end function f = idft(f) N = numel(f); u = :N-1; x = :N-1; k = 1j*2*pi; c = 1/N; f = zeros(1,n); for i = 1:N f(i) = c*sum(f.*exp(k*u*x(i)/n)); end 22

23 TRANSFORMADA DE FOURIER CASO DISCRETO 2D En el caso de dos variables el par de transformadas discretas de Fourier son: F[f (x,y)] = F(u,v) = M 1 f (x,y)e j 2π ( ux + vy M N ) x = y = 1 F 1[F(u,v)] = f (x,y) = MN M 1 F(u,v)e u = v = Significado de la DFT 2D: la combinación de funciones armónicas base bidimensionales pueden sintetizar cualquier función arbitraria espacial. 23 j 2π ( ux + vy M N ) para u =,1, 2,,M 1 v =,1, 2,,N 1 para x =,1, 2,,M 1 y =,1, 2,,N 1

24 CASO DISCRETO 2D Diferencias entre el dominio espacial y el dominio de la frecuencia: y v F[f(x,y)] u F 1 [F(u,v)] f(x,y) proporciona la intensidad de la imagen en ese punto x F(u,v) proporciona la contribución que la componente de frecuencia hace a la imagen 24

25 PROPIEDADES El rango dinámico del espectro de Fourier es generalmente mucho mayor de lo que los sistemas de visualización son capaces de reproducir. Para visualizar F (u,v) se realiza una compresión logarítmica como: D(u,v) = c log( 1 + F(u,v) ) f(x,y) F(u,v) D(u,v) 25

26 PROPIEDADES La DFT y su inversa son distributivas respecto a la suma: Pero no para la multiplicación: La DFT se puede expresar de forma polar como: F(u,v) = F(u,v) e jφ(u,v) donde la magnitud (espectro de Fourier o de frecuencias) es: y el ángulo de fase es: F{f 1 (x,y) + f 2 (x,y)} = F{f 1 (x,y)} + F{f 2 (x,y)} F{f 1 (x,y) f 2 (x,y)} F{f 1 (x,y)} F{f 2 (x,y)} F(u,v) = Re 2 (u,v) + Im 2 (u,v) φ(u,v) = tan 1 26 Im(u,v) Re(u,v) 1 2

27 TRANSFORMADA DE FOURIER PROPIEDADES La magnitud de la DFT 2D contiene información sobre las intensidades de la imagen, mientras que la fase contiene información sobre la localización de los objetos en la imagen. F(u,v) F 1 f (x,y) F φ (u,v ) F 1 27

28 TRANSFORMADA DE FOURIER PROPIEDADES F(u, v) F 1 φ (u, v) F(u, v) F 1 φ (u, v) 28

29 PROPIEDADES La DFT de una función real es simétrica conjugada, de modo que el espectro posee una simetría par con respecto al origen: F(u,v) = F( u, v) y el ángulo de fase exhibe una simetría impar con respecto al origen: φ(u,v) = φ( u, v) También, la DFT es periódica con periodo N: F(u,v) = F(u + N,v) = F(u,v + N ) = F(u + N,v + N ) por tanto, para fines prácticos se suele tomar únicamente un periodo: F(u) N N 2 29 N 2 N u

30 PROPIEDADES y f(x,y) F(u,v) v v φ(u,v) u u u u x v v 3

31 TRANSFORMADA DE FOURIER PROPIEDADES Periodicidad y simetría en la frecuencia: N M M M f (x,y) F 1 periodo N v N 1 periodo 31 2M u M

32 PROPIEDADES Periodicidad y simetría en el espacio: M N M M 2M x M F(u,v) F 1 1 periodo N y N 32 1 periodo

33 PROPIEDADES La propiedades de traslación del par de transformadas de Fourier son: f(x,y)e j 2π(u x/m +v y/n ) F F(u u,v v ) Desplazamiento en frecuencia F f(x + x,y + y ) F(u,v)e j 2π(u x/m +v y/n ) Desplazamiento en el espacio donde: < u < M 1 y < v < N 1 Generalmente, el origen del espectro se coloca al centro del planocon coordenadas (M/2, N/2) mediante: f(x,y) e j 2π(x/2+y/2) = f(x,y) ( 1) x +y 33

34 PROPIEDADES f (x,y) M 1 x F(u,v) M 1 u F y v ˆF(u,v) M 1 u ˆf (x,y) = f (x,y) ( 1) x+y F Traslación en la frecuencia v 34

35 PROPIEDADES F(u,v) M 1 u f (x,y) M 1 x F 1 v y ˆf (x,y) M 1 x ˆF(u,v) = F(u,v) e j 2π (xu /M +yv /N ) con u = M y v = 2 F 1 Traslación en el espacio y 35

36 PROPIEDADES Si se introducen las coordenadas polares: x = r cosθ y = r sinθ u = ω cosϕ v = ω sinϕ entonces f(x,y) y F(u,v) se convierten en f(r,θ) y en F(ω,φ), respectivamente, de modo que se genera una rotación del ángulo: F f(r,θ + θ ) F(ω,ϕ + ϕ ) Si se rota la función f(r,θ+θ ) un ángulo determinado, la transformada de Fourier también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa. Sin rotación Con rotación F F 36

37 PROPIEDADES El par de DFT s pueden expresarse en forma separable como: F(u,v) = e j 2πux/N f(x,y) e j 2πvy/N, para u,v =,1,2,,N 1 x = f(x,y) = 1 N y= e j 2πux/N F(u,v) e j 2πvy/N, para x,y =,1,2,,N 1 u= v= Por tanto, F(u,v) ó f(x,y) pueden obtenerse en dos pasos aplicando sucesivamente la DFT 1D o su inversa: F(u,v) = F(u,y)e j 2πvy/N donde F(u,y) = f(x,y)e j 2πux/N y= f(x,y) = 1 N f(u,y)e j 2πux/N u= 37 x = donde f(u,y) = 1 N F(u,v)e j 2πvy/N La función 2D F(u,y) se obtiene aplicando DFT 1D a lo largo de cada columna de f(x,y), y después F(u,v) se obtiene aplicando DFT 1D a lo largo de cada fila de F(u,y). De forma inversa, para obtener f(x,y) se transforman primero las filas y después las columnas. v=

38 PROPIEDADES La obtención de DFT 2D a partir de una serie de transformadas 1D mejora notablemente el tiempo de cálculo de la DFT. (,) x (,) u (,) u f (x,y) Transformada de columnas F(u,y) Transformada de filas F(u,v) y y v (,) u (,) x (,) x F(u,v) Transformada de filas f (u,y) Transformada de columnas f (x,y) v v y 38

39 PROPIEDADES Implementación numérica en MATLAB de la DFT 2D, donde las funciones dtf y idtf se muestran en la diapositiva 22: function F = dft2(f) f = double(f); [N,M] = size(f); F = zeros(n,m); % Transformada de las columnas for i = 1:M F(:,i) = dft(f(:,i)); end % Transformada de las filas for j = 1:N F(j,:) = dft(f(j,:)); end function f = idft2(f) F = double(f); [N,M] = size(f); f = zeros(n,m); % Transformada de las filas for i = 1:N f(i,:) = idft(f(i,:)); end % Transformada de las columnas for j = 1:M f(:,j) = idft(f(:,j)); end 39