6. Función de Green II. Dominios no acotados

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Miguel Acuña Pereyra
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1 APUNTES DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS II PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACIONES Elaborados por Arturo de Pablo, Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 6. Función de Green II. Dominios no acotados 6.. Transformada de Fourier en R 6... Convolución Dadas dos funciones f,g : R R, se define si tiene sentido su convolución f g como f gx = π n fx y gy dy. R n La convolución es una operación conmutativa y asociativa, y además es una aplicación lineal como función de cada una de las variables f y g: f g = g f 6... Transformada de Fourier en R f g h = f g h = f g h a f + a f g = a f g + a f g, a,a R. Si f L R, se define su transformada de Fourier como Fω = Ffω = π fxe iωx dx. Si no existe esta integral, Fω puede definirse como el valor principal de dicha integral. La transformada de Fourier tiene propiedades muy interesantes α > 0: F fx = F Fx = F F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 Fωe iωx dω Faf + bgω = affω + bfgω f F ω = Ffω t t f F ω = iωffω x k f F x k ω = iω k Ffω Ff gω = FfωFgω Fxfxω = i ω π F α e x Ffω, Fx k fxω = i k k ω k Ffω /4α ω = e αω, F e αx ω = Fδx x 0 ω = eiωx0 π, Fδxω = π 35 4πα e ω /4α

R n La convolución es una operación conmutativa y asociativa, y además es una aplicación lineal como función de cada una de las variables f y g: f g = g f 6.

2 F0 Ffx x 0 ω = e iωx0 Ffω F Fe ixx0 fxω = Ffω + x 0 F F fαx ω = α F f ω α π F 3 F α e iπ/4 e ix /4α ω = e iαω α F 4 F x + α ω = e α ω, F e α x ω = F5 Ffω = F6 Ffω π sen αω πω, si fx = I [ α,α]x = Ffω dω = π fx dx, ω R, fx dx Resolución de ecuaciones en derivadas parciales homogéneas Ecuación de Laplace en el semiplano R 0, Si x R, y > 0, queremos resolver el problema ux,y + ux,y = 0 en R 0, x y ux,0 = fx en R, α πω + α {, si x α 0, si x > α siendo u una función acotada en R 0,. Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene ω Uω,y + y Uω,y = 0 Uω,0 = Fω P y x = Uω,y = Fωe ω y y x + y ux,y = π FP y ω = e ω y y x t ft dt. + y Ecuación del calor en R 0, ux,t = k ux,t si x R, t > 0 t x ux,0 = fx si x R. Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = kω Uω,t Uω,0 = Fω 36

Resolución de ecuaciones en derivadas parciales homogéneas Ecuación de Laplace en el semiplano R 0, Si x R, y > 0, queremos resolver el problema ux,y + ux,y = 0 en R 0, x y ux,0 = fx en R, α πω + α

3 Uω,t = Fωe kω t π K t x = 4kt FK t ω = e kω t ux,t = kt e x 4πkt e x y 4kt fy dy. Ecuación de ondas en R R ux,t = c t x ux,t si x R, t R ux,0 = fx si x R ux,0 = gx si x R. t Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = c ω Uω,t Uω,0 = Fω Uω,0 = Gω t Uω,t = Fω cos cωt + Gω sencωt. cω Si definimos E t x como E t x = F sencωt x = π cω c I [ ct,ct]x, entonces la solución puede escribirse como ux,t = f E t x + g E t x = t t f E tx + g E t x, y por tanto, fx + ct + fx ct ux,t = + x+ct gs ds. c x ct Ecuación de Schrödinger en R R ux,t = i t x ux,t ux,0 = fx si x R. si x R, t R Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = iω Uω,t Uω,0 = Fω Uω,t = Fωe iω t π S t x = t e iπ/4 e i x 4t FS t ω = e iω t ux,t = e iπ/4 4πt e i x y 4t fy dy. 37

cω Si definimos E t x como E t x = F sencωt x = π cω c I [ ct,ct]x, entonces la solución puede escribirse como ux,t = f E t x + g E t x = t t f E tx + g E t x, y por tanto, fx + ct + fx ct ux,t = +

4 6.. Transformada de Fourier en R n Si f L R n, se define su transformada de Fourier como Fω = Ffω = π n fxe iω x dx, R n donde ω x = ω x + + ω n x n y dx = dx dx n. Como en el caso de R, la transformada de Fourier en R n tiene propiedades muy interesantes α > 0: F fx = F Fx = Fωe iω x dω R n F Faf + bgω = affω + bfgω f F3 F ω = Ffω t t f F4 F ω = iω j Ffω x j F5 F6 F7 F fω = ω Ffω Ff gω = FfωFgω Fx j fxω = i Ffω ω j F8 Ffω = Ff ω Ff n ω n, si fx = f x f n x n π n/e x F9 F /4α ω = e α ω, F e α x ω = /4α e ω α 4πα n/ F0 F Fδx x 0 ω = eiω x0 Ffx x 0 ω = e iω x0 Ffω π n, Fδxω = π n F Fe ix x0 fxω = Ffω + x 0 F3 F fαx ω = α n F f ω α π F 4 F α e iπ/4 n e i x /4α ω = e iα ω F5 Ffω π n fx dx, ω R n, R n Ffω dω = R π n fx dx. n R n 6... Resolución de ecuaciones en derivadas parciales homogéneas Ecuación del calor en R n 0, t ux,t = k xux,t si x R n, t > 0 ux,0 = fx si x R n. 38

F6 F7 F fω = ω Ffω Ff gω = FfωFgω Fx j fxω = i Ffω ω j F8 Ffω = Ff ω Ff n ω n, si fx = f x f n x n π n/e x F9 F /4α ω = e α ω, F e α x ω = /4α e ω α 4πα n/ F0 F Fδx x 0 ω = eiω x0 Ffx x 0 ω = e iω x0

5 Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = k ω Uω,t Uω,0 = Fω K t x = Uω,t = Fωe k ω t π kt n/ e x 4kt ux,t = FK t ω = e k ω t e x y 4πkt n/ 4kt fy dy. R n Ecuación de ondas en R 3 R t ux,t = c x ux,t si x R n, t R ux,0 = fx si x R n t ux,0 = gx si x Rn. Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = c ω Uω,t Uω,0 = Fω Uω,0 = Gω t Si definimos E t x como Uω,t = Fω cos c ω t + Gω senc ω t c ω E t x = F senc ω t x, c ω entonces la solución puede escribirse como ux,t = f E t x + g E t x = t t f E tx + g E t x. Para n = 3, se tiene E t x = π c t σ ctx, donde σ ct x es la medida sobre la esfera de centro 0 y radio ct, σ := σ, y por tanto, ux,t = t t 4π y = f x + cty dσ y + t 4π y = Ecuación de Schrödinger en R n R i t ux,t = xux,t si x R n, t R ux,0 = fx si x R n.. g x + cty dσ y. 39

Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = c ω Uω,t Uω,0 = Fω Uω,0 = Gω t Si definimos E t x como Uω,t = Fω cos c ω t + Gω senc ω t c ω E t x = F senc ω t x, c ω

6 Si aplicamos la transformada de Fourier en la variable x, se obtiene t Uω,t = i ω Uω,t Uω,0 = Fω S t x = Uω,t = Fωe i ω t π t e iπ/4 n x e i 4t ux,t = FS t ω = e i ω t e iπ/4 n e 4πt R i x y 4t fy dy. n 6.3. Funciones de Green en dominios no acotados Ecuación de ondas en R n t ux,t = c x ux,t + Qx,t si x R n, t > 0 ux,0 = fx si x R n t ux,0 = gx si x Rn. La función de Green Gx,t;x 0,t 0 para este problema es una solución debida a una fuente unidad concentrada en x = x 0 actuando sólo en el tiempo t = t 0 : t G = c x G + δx x 0 δt t 0 si x R n, t > 0 Gx,t;x 0,t 0 = 0 para t < t 0. Se puede aplicar la transformada de Fourier en la variable x, y se obtiene Por lo tanto, Si n = x R, FGω,t;x 0,t 0 = eiω x0 Ht t 0 sen c ω t t 0 π n c ω Gx,t;x 0,t 0 = Ht t 0 π n e iω x x0 sen c ω t t 0 R c ω n Gx,t;x 0,t 0 = Ht t 0 I [x0 ct t c 0,x 0+ct t 0]x, donde la función de Heaviside Ht t 0 es igual a 0 si t < t 0 y es igual a si t t 0, y la función indicadora I [a,b] x es igual a 0 si x / [a,b] y es igual a si x / [a,b]. Por tanto, se obtiene ux,t = fx + ct + fx ct + c Si Q = 0, se obtiene la fórmula de D Alembert x+ct x ct gx 0 dx 0 + c. dω. t x+ct t0 0 x ct t 0 Qx 0,t 0 dx 0 dt 0. ux,t = fx + ct + fx ct + c x+ct x ct gx 0 dx 0. 40

La función de Green Gx,t;x 0,t 0 para este problema es una solución debida a una fuente unidad concentrada en x = x 0 actuando sólo en el tiempo t = t 0 : t G = c x G + δx x 0 δt t 0 si x R n, t > 0

7 Si n = 3 x R 3, Gx,t;x 0,t 0 = Ht t 0 4πc x x 0 δ x x 0 ct t 0, y por tanto, si ux,0 = tux,0 = 0, y con condiciones de contorno nulas en el infinito, ux,t = t Qx 0,t 0 dsx 0 dt 0. 4πc 0 ct t 0 { x 0 x =ct t 0} Si n = x,y R, el método de descenso de Hadamard nos proporciona Gx,y,t;x 0,y 0,t 0 = I [0,ct t 0]r 0 πc, c t t 0 r0 donde r 0 = x x 0 + y y 0 y por tanto, si ux,0 = tux,0 = 0, y con condiciones de contorno nulas en el infinito, ux,t = πc t Ecuación del calor en R n 0 {r 0<ct t 0} Qx 0,t 0 c t t 0 r 0 dx 0 dy 0 dt 0. t ux,t = k xux,t + Qx,t si x R n, t > 0 ux,0 = fx si x R n, y con condiciones de contorno nulas en el infinito lím x ux,t = 0. Definimos la función de Green Gx,t;x 0,t 0 para este problema como una solución debida a una fuente unidad concentrada en x = x 0 actuando sólo en el tiempo t = t 0 : t G = k xg + δx x 0 δt t 0 si x R n, t > 0 Gx,t;x 0,t 0 = 0 para t < t 0 y con condiciones de contorno nulas en el infinito. Se puede aplicar la transformada de Fourier en la variable x, y se obtiene Gx,t;x 0,t 0 = Ht t 0 4πkt t 0 x x 0 4kt t e 0. n/ Por lo tanto, si ux,t es la solución del problema original con condiciones de contorno nulas en el infinito, entonces t x x 0 4kt t ux,t = e 0 Qx 0 R 4πkt t n 0 n/ 0,t 0 dx 0 dt 0 x x 0 + e 4kt fx R 4πkt n n/ 0 dx 0. 4

tux,0 = 0, y con condiciones de contorno nulas en el infinito, ux,t = πc t 6.3.. Ecuación del calor en R n 0 {r 0<ct t 0} Qx 0,t 0 c t t 0 r 0 dx 0 dy 0 dt 0.

8 Ecuaciones de Laplace y Poisson en R n La función de Green en R n para las ecuaciones de Laplace y Poisson es la solución de Gx;x 0 = δx x 0 si x R n. En R n, por simetría, la función de Green debe ser radial con respecto a x 0. Por tanto, vamos a buscar las funciones armónicas en R n que sólo dependen del radio. Si n =, Si n = 3, Gx,x 0 = Gr, si r = x x 0, r 0, d r dg = 0, Gr = c log r + c, r 0. r dr dr Gx,x 0 = Gρ, si ρ = x x 0, ρ 0, d ρ ρ dg = 0, dρ dρ Gρ = c 3 ρ + c 4, ρ 0. Eligiendo apropiadamente las constantes para que se satisfaga Gx,x 0 = δx x 0, se obtiene respectivamente, para n = y n = 3, Gx,x 0 = π log x x 0, Gx,x 0 = Por tanto, una solución de la ecuación de Poisson ux = fx puede escribirse respectivamente, para n = y n = 3, como ux = fx log x x 0 dx 0, ux = π R 4π Ecuaciones de Laplace y Poisson en el semiplano 4π x x 0. R 3 fx x x 0 dx 0. La función de Green para el semiplano superior, con valor cero en la frontera, es la solución de { Gx,y;x 0,y 0 = δx x 0 δy y 0 si x R, y > 0, Gx,0;x 0,y 0 = 0 si x R, y = 0. Se tiene que Gx,y;x 0,y 0 = 4π log x x 0 + y y 0 x x 0 + y + y 0. Por lo tanto, la solución del problema { ux,y = fx,y si x R, y > 0, ux,0 = hx si x R, y = 0, puede escribirse como ux,y = 4π + π 0 0 hx 0 fx 0,y 0 log x x 0 + y y 0 x x 0 + y + y 0 dy 0 dx 0 y x x 0 + y dx 0. 4

Si n =, Si n = 3, Gx,x 0 = Gr, si r = x x 0, r 0, d r dg = 0, Gr = c log r + c, r 0. r dr dr Gx,x 0 = Gρ, si ρ = x x 0, ρ 0, d ρ ρ dg = 0, dρ dρ Gρ = c 3 ρ + c 4, ρ 0.

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