5.1 Función de Green para EDO

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1 5 Función de Green I. Dominios acotados 29 a t e a PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS II t i c a s 2 o Ing. Telecomunicación CURSO 29 2 SOLUCIONES 5 Función de Green I. Dominios acotados 5. Función de Green para EDO Problema 5.. i) Sea G(, ) la solución, para cada (, L) fijo, del problema G = δ( ) < < L G(, ) = G (L, ) = Entonces (u()g (, ) G(, )u ())d = u (L)G(L, ) u()g (, ) u( ) f()g(, )d Intercambiando por y utilizando la simetría de G(, ) se tiene la representación u() = f( )G(, )d AG (,) BG(, L) Se puede obtener esta misma representación de la solución por otro procedimiento. Consideremos la función v() = u() A B, que verifica v = f < < L v() = v (L) = Para este problema se tiene la fórmula estándar v( ) = u( ) = f()g(, )d + A + B f( )G(, )d. Así La función de Green de este problema es fácil de obtener, G(, ) = min, }, con lo que G(, L) =, G (,) =. Ambas fórmula coinciden. ii) Sea G(, ) solución de G + G = δ( ) < < L G(, ) = G(L, ) = Igual que antes se tiene u() = f( )G(, )d AG (,) + BG (, L) Podríamos haber considerado también la función v() = u() A (B A)/L.

2 5 Función de Green I. Dominios acotados 3 iii) Sea G(, ) solución de G = δ( ) < < L G(, ) = G (L, ) + hg(l, ) = Igual que antes se tiene u() = f( )G(, )d AG (,) Podríamos haber considerado también la función v() = u() A( Problema 5..2 i) h + hl ). u () = f() u () = u() = s f(t)dt + k u () = f(t)dtds + k 2 u() = f(t)dtds f(t)dt ii) Dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea son v () =, v 2 () =. Ponemos entonces u() = c () + c 2 (), donde c () = a Los datos frontera implican a =, a 2 = u() = sf(s)ds, c 2 () = a 2 + sf(s)ds f(s)ds f(s)ds. Finalmente la solución es f(s)ds Si queremos comprobar que las soluciones de los dos apartados coinciden integramos por partes. iii) De la igualdad anterior se puede identificar la función de Green de este problema s s G(, s) = s L iv) Como la función de Green verifica G = para todo, debe ser a ( G(, ) = ) + b ( ) a 2 ( ) + b 2 ( ) L Las condiciones frontera implican a = b 2 =. La condición de continuidad en = implica a 2 = b. La condición de salto implica b =. Se obtiene la misma función que en el apartado anterior.

3 5 Función de Green I. Dominios acotados 3 Problema 5..3 i) Sean u y v dos funciones regulares a trozos que verifican las condiciones frontera dadas. Se tiene (uv vu ) = u()v () u ()v() u()v () + u ()v() = ii) y( ) = f()g(, )d iii) La función de Green G(, ) verifica, para cada (, ) fijo, Así con las condiciones que implican G(, ) = G = δ( ) < < G(, ) = G (, ) G(, ) = G (, ) G(, ) = a ( ) + b ( ) a 2 ( ) + b 2 ( ) a =, b 2 = a 2 b = b = ( + ) ( + ) Con esta función, y la fórmula de representación anterior, la solución del problema es y() = ( + )f( )d + ( + ) Problema 5..4 Sea el problema u + u = < < π u() = u (π) = f( )d i) El problema homogéneo asociado no tiene solución, por lo que el problema no homogéneo tiene solución única. ii) La función de Green es G(, ) = a ( )sen + b ( )cos a 2 ( )sen + b 2 ( )cos π con las condiciones b =, a 2 = b 2 cos a sen = b 2 sen a cos =

4 5 Función de Green I. Dominios acotados 32 que implican sen cos G(, ) = sen cos π Con esta función, y la fórmula de representación, la solución del problema es u() = cos sen d sen π cos d = + sen iii) Aplicando el método de variación de las constantes, la solución del problema con término independiente general f() es donde c () = k 2 =, k = π u() = (c () + k )sen + (c 2 () + k 2 )cos f(s)cos sds, c () = f(s)cos sds. Así, u() = ( π f(s) sen ds. Los datos frontera implican f(s)cos s ds ) sen ( f(s)sen s ds ) cos de donde se deduce la función de Green, que coincide con la obtenida en el apartado ii). Problema 5..5 i) El problema homogéneo asociado tiene solución sólo si k = /4 n 2 con n IN, por lo que el problema no homogéneo tiene solución única para todo k /4 n 2. ii) Multiplicando por H() = e se tiene la ecuación (e u ) +ke u = g, donde g = e f. iii) La función de Green G(, ) verifica, para cada (, π) fijo, el problema (e G ) + 4 e G = δ( ) < < π Su solución es G(, ) = G(π, ) = e (+ G(, ) = )/2 ( /π ) e (+)/2 (/π ) π Con esta función, y la fórmula de representación, la solución del problema es Problema 5..6 u() = + π g( )G(, )d = (/π ) e ( )/2 ( /π )f( )d e ( )/2 f( )d i) Multiplicando por H() = e 2 se tiene la ecuación (e 2 y ) + 2e 2 y = g, donde g = e 2 f. ii) La función de Green correspondiente es e (+ G(, ) = ) sen cos e (+) sen cos π/2

5 5 Función de Green I. Dominios acotados 33 iii) Aplicando la fórmula de representación se tiene Problema 5..7 y() = e cos = e ( sen cos ) sen d e sen π/2 i) Dividiendo por 3 se tiene la ecuación ( y ) + A 3 y =. cos d ii) Para A = no hay solución del problema homogéneo, por lo que el problema no homogéneo tiene solución única. Para A = hay una solución del problema homogéneo, y H () =. No hay solución del problema no homogéneo pues iii) Para A = la función de Green correspondiente es ( G(, ) = 2 + )( 2 + 4)/6 ( 2 + )(2 + 4)/6 2 iv) y() = 2 Problema 5..8 G(, )d = ( )/9. 2 d. i) Hay solución del problema homogéneo si y sólo si α = /2, que es u H () =. Por tanto, si α /2 hay solución única del problema no homogéneo, mientras que si α = /2 no hay solución, pues ( )e ( )2 d. ii) Para α /2 la función de Green correspondiente es G(, ) = 2α (α + α )( ) 2α (α + α )( ) Problema 5..9 i) u() = ii) u() = e 2 f( )G(, )d donde (log )log G(, ) = (log )log e f( )G(, )d donde G(, ) = 2 4) 2 2 4) 2 2

6 5 Función de Green I. Dominios acotados 34 iii) u() = Problema 5.. i) e f( )G(, )d donde G(, ) = G(, ) = e ( e 3 )/3 e ( e 3 )/3 a ( ) 3 + b ( ) 2 + c ( ) + d ( ) a 2 ( ) 3 + b 2 ( ) 2 + c 2 ( ) + d 2 ( ) L con cuatro condiciones de contorno, tres condiciones de continuidad (para G, G y G ), y una condición de salto para G. d = a 2 L 3 + b 2 L 2 + c 2 L + d 2 = c = 6a 2 L + 2b 2 = (a 2 a ) 3 + (b 2 b ) 2 + (c 2 c ) + d 2 d = 3(a 2 a ) 2 + 2(b 2 b ) + (c 2 c ) = 6(a 2 a ) + 2(b 2 b ) = 6(a 2 a ) = Si elegimos para el intervalo L la función a 2 ( )(L ) 3 + b 2 ( )(L ) 2 + c 2 ( )(L ) + d 2 ( ), el sistema se simplifica notablemente. ii) Como el operador es autoadjunto con las condiciones de contorno dadas, repitiendo la demostración estándar para operadores de Sturm-Liouville, se obtiene u() = f( )G(, )d. 5.2 Función de Green para EDP Problema 5.2. Desarrollando en autofunciones u(, y) = n= m= A n,m sen(nπ/a)sen(mπy/b) y sustituyendo en la ecuación, se tiene A n,m = f n,m, donde λ n,m = n2 π 2 λ n,m a 2 + m2 π 2 b 2, y f n,m son los coeficientes del desarrollo de f en la base de autofunciones, es decir f n,m = 4 ab a b f(, y )sen(nπ /a)sen(mπy /b)dy d Finalmente la función de Green será todo el factor que multiplica a f en la integral que define a u: G(, y,, y ) = n= m= 4ab π 2 (n 2 b 2 + m 2 a 2 ) sen(nπ/a)sen(mπy/b)sen(nπ /a)sen(mπy /b)

7 5 Función de Green I. Dominios acotados 35 Problema i) Desarrollando en autofunciones u(, t) = a n (t) = e λnkt( g n + a n (t)sen(nπ/l), los coeficientes son n= t f n (t )e λnkt dt ) donde λ n = n 2 π 2 /L 2, y los coeficientes de los desarrollos de f y g en la base de autofunciones son g n = 2 L ii) La solución es entonces u(, t) = g( )sen(nπ /L)d, donde la función de Green es Problema g( )G(, t,, )d + G(, t,, t ) = u(, t) = donde la función de Green es Problema G(, t,, t ) = t n= n= f n (t) = 2 L t f(, t)sen(nπ /L)d f(, t )G(, t,, t )d dt 2 L e λnk(t t ) sen(nπ/l)sen(nπ /L) Q(, t )G(, t,, t )d dt [ f( )G t (, t,, ) g( )G(, t,, ) ] d 2 nπc sen(nπ/l)sen(nπ /L)sen(nπc(t t )/L) i) La función v(, t) = e αt u( + kt, t) verifica la ecuación del calor v t = v. ii) Derivando la energía, sustituyendo en la ecuación e integrando por partes, E (t) = e 2αt( ) α u 2 + uu t = e 2αt( ) α u 2 + u(u ku αu) = e 2αt (u ) 2 iii) Utilizamos separación de variables u(, t) = a n e k/2 nπ( + L) sen( )e λnt 2L para deducir la función de Green G(, t,, ) = donde λ n = n2 π 2 n= 4L 2 + α + k2 4. n= L e λnt e k( )/2 sen( nπ( + L) 2L )sen( nπ( + L) ) 2L