1 Teoría de perturbaciones

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1 Teoría de perturbaciones Una propiedad útil del propagador viene dada como: K(r,t,r 0,t 0 )= K(r,t,r i,t i )K(r i,t i,r 0,t 0 )dr i Para un sistema donde la energía potencial viene dada por (x,t), se tiene que la expresión del propagador es: b { i tb [ ] } mẋ 2 K(x b,t b,x 0,t 0 )= exp (x,t) dt D[x(t)] h 2 0 t 0 esta exponencial puede separase en cada término del Lagrangiano, es decir un término dado por la energía cinética: b [ i tb ] mẋ 2 exp 0 h t 0 2 dt D[x(t)] y el otro correspondiente a la energía potencial: b [ exp ī tb ] (x,t)dt D[x(t)]. h t 0 0 Relizamos entonces una expansión en serie de esta exponencial de forma tal que obtenemos: ī tb (x,t)dt+ ( ) i 2 [ tb ] 2 (x,t)dt +... h t 0 2! h t 0 Así, se obtiene el desarrollo en serie para el propagador según: K(x b,t b,x 0,t 0 )=K (0) (x b,t b,x 0,t 0 )+K () (x b,t b,x 0,t 0 )+... En principio se toma esta expansión como consecuencia de valores pequeñosdelaintegral. Sinembargoveremosmásadelantequeestonoesdel todonecesario. Sitomamoscomosauntiempointermedioentret 0 yt b tal queelpotencialenestetiempoes(x s,s),podemosexpresaralpropagador en primer orden como: K () (x b,t b,x 0,t 0 )= ī h tb t 0 F(s)ds,

2 donde la función F(s) satisface: xb,t b [ i tb ] mẋ 2 F(s)= exp x 0,t 0 h t 0 2 dt (x s,s)d[x(t)], es decir, integramos sobre la coordenada manteniendo el tiempo s. Por lo tanto, podemos escribir a esta función como: F(s)= Y para el propagador tenemos: K () = ī h tb t 0 dx s K (0) (x b,t b,x s,s)(x s,s)k (0) (x s,s,x 0,t 0 ). K (0) (x b,t b,x s,s)(x s,s)k (0) (x s,s,x 0,t 0 )dx s ds. Esto se interpreta pensando que inicialmente la partícula se encuentra ent = t 0 en x 0 yevoluciona libremente hasta llegar a la posiciónx s en el tiemposdondeesdispersadasegún(x s,s). Unavezdispersada(enforma instantánea) la partícula se mueve libremente hasta alcanzar la posición final x b altiempot b. Paracontarcontodaslasposibilidadesdecolisión,serealiza una integral sobre todos los tiempos intermedios s. Tomemoslascoordenadasdeespacio-tiempocomodX s =dx s ds. Eneste esquema, el término de segundo orden es: ( K (2) (X b,x 0 ) = ī ) 2 K (0) (X b,x 2 )(X 2 )K (0) (X 2,X ) h (X )K (0) (X,X 0 )dx dx 2 Qué ocurrió con el 2!? Debe recordarse que el propagador es no nulo siempre y cuando su argumento sea positivo, es decir: K(x b,t b,x a,t a )=Θ(t b t a )f(x b,t b,x a,t a ), porlotanto,enlaintegraldetiemposentret=± lospropagadoresa orden 0 están cortando el intervalo de integración. Así: = tb tb tb t a K (0) (s )K (0) (s 2 )ds ds 2 = t a s2 K (0) (s 2 ) K (0) (s )ds + t a t } a {{ } s 2 >s tb K (0) (s )ds s } 2 ds 2 {{ } s 2 <s 2

3 ahora, sobre la segunda integral realizamos un cambio en el orden de integración: tb tb tb s ds ds 2 ds 2 ds, t a s 2 t a t } a {{ } s >s 2 y, por último, realizamos sobre este mismo término el cambio de variable s s 2 deformatalqueobtenemos: tb s2 t a t a ds ds 2. Entonces las dos integrales son iguales y suman el 2! que estaba faltando. Para órdenes superiores la operación es análoga y se obtiene n!. Por lo tanto en la restricción de esta integral se nos está llendo el n! y la serie ya no pertenece a una exponencial sino mas bien corresponde a una serie geométrica que veremos más adelante. Paraeln-esimoordenenlaserietenemos: ( K (n) = ī ) n... K (0) (X b,x n )(X n )...K (0) (X,X 0 )dx...dx n h Por lo tanto tenemos para el propagador una ecuación autoconsistente conocida como ecuación de Dyson: K(X b,x 0 )=K (0) (X b,x 0 ) ī h K (0) (X b,x s )(X s )K(X s,x 0 )dx s En la ecuación de Schrödinger tenemos que el propagador satisface: ] h2 [i h + ddt 2m 2 K (0) (r,t,r 0,t 0 ) = i hδ(t t 0 )δ(r r 0 ) ] h2 [i h + ddt 2m 2 +(r,t) K(r,t,r 0,t 0 ) = i hδ(t t 0 )δ(r r 0 ) La función de Green entonces se relaciona con el propagador mediante: G(r,t,r 0,t 0 )= ī h K(r,t,r 0,t 0 ). Deestaforma,sient=t 0 lafuncióndeondaquedescribealsistemaes φ(r), entonces al tiempo t se obtiene: ψ(r,t)= drk(r,t,r 0,t 0 )φ(r), 3

4 conlocualtenemoslaserie: ψ(r,t)=φ(r)+ G (0) (r,t,x )(X )G (0) (X,X 0 )φ(r)dx dr+... donde la primer integral corresponde a la primer aproximación de Born y así sucesivamente. La función de Green: G R (r 2,t 2,r,t ) puede interpretarse como la amplitud de probabilidad de hallar en el tiempot 2 alsistemaensuestadofundamentalconunapartículaenelsitio r 2 suponiendoqueeninstantet elsistemaseencontrabaenelestadofundamentalylapartículaenelsitior. ElsuperíndiceR denotaalafunción retardada que tiene en cuenta únicamente argumentos positivos en el tiempo, esdecirqueéstaesdistintadecerosiempreycuandot 2 t. Laprobabilidad es, entonces: P(r 2,t 2,r,t )= h 2GR (r 2,t 2,r,t )G A (r,t,r 2,t 2 ), donde el superíndice A denota función avanzada. Pensemosahoraenunestadodeondaplanadadopor: φ k (r)= eik r, deestaforma,lafuncióndegreenquemerelacionalatransicióndeun estadok aotroestadok 2 vienedadacomolatransformadadefourierdela función de Green espacial, es decir: G R (k 2,t 2,k,t )= ( ī h ) e ik 2 r 2 G R (r 2,t 2,r,t ) eik r dr dr 2 Supongamos que tenemos un Hamiltoniano de espacio libre dado por: H 0 = h2 2m 2 r, talquelasoluciónalaecuacióndeschrödingercorrespondeaunaonda planaφ 0 k(r)conrelacióndedispersión: ε 0 k= h2 k 2 2m. 4

5 Para un potencial U(r) se tiene entonces que el Hamiltoniano viene dado como: H = H 0 +U(r),talque Hφ k (r) = ε k φ k (r). Paraunaondaplanasetienelaevolución: ψ(r,t 2 )=e iε0 k (t 2 t )/ h φ k (r). Unamedidadelacorrelaciónentreestafuncióndeondaylaondaplana enelestadok 2 puedeestimarsesegún: φ k 2 (r)ψ(r,t 2 )dr=e iε0 k (t 2 t )/ h φ k 2 (r)φ k (r)dr } {{ } δ k2,k Conlocual,lafuncióndeGreenrelacionadaaestatransiciones: G R 0 (k 2,k,t 2 t ) = ī h Θ(t 2 t )e iε0 k (t2 t)/ h δ k2,k = δ k2,k G R 0 (k,t 2 t ) realizando la transformada de Fourier en esta expresión obtenemos: G R 0 (k,ε) = ī h = ( ) ei(ε ε0 k )(t 2 t ) ε ε 0 k d(t 2 t )Θ(t 2 t )e iε(t2 t)/ h e iε0 k (t2 t)/ h = ei(ε ε0 k ) ε ε 0 k ε ε 0 k Para evitar una divergencia en esta integral, se toma una regularización δsobrelaenergíaεtalque: δ(t 2 t ) t 2 t Porlotanto,eneldominiodeenergíassetiene: G R (k 2,k,ε)=TF[G R (k 2,k,t 2 t )] Esta función de Green posee polos en los valores de energía que representan las posibles energías del sistema con N + partículas interactuantes menos la energía del estado fundamental de N partículas. 5 0

6 . Quantum pinball Como ejemplo de aplicación tomamos el caso conocido por Quantum Pinball. El potencial asociado a este ejemplo viene dado por el impulso como: (p)= M + L =Mp 2 +Lp 4. Para el término M, podemos imaginar que nos referimos al centro de masaenunátomodehidrógeno. Simeslamasadelprotónym e lamasa del electrón, el Hamiltoniano se escribe: H M = p 2 = p2 m+m e 2m m e m(m+m e ) p2. } {{ } M Para el término L, podemos pensar en el Hamiltoniano relativista y tomarunaaproximaciónaprimerorden. Sim 0 eslamasaenreposoyces lavelociaddelaluzenelvacío,entonces: H L = m 20c 4 +p 2 c 2 m 0 c 2 + p2 2m 0 p4 8m 3 0 c2 } {{ } L Por lo tanto, podemos reproducir el caso relativista de un átomo de hidrógeno según: donde: H=H 0 m e p 2 (m e +m)m p 4 8(m+m e ) 3 c 2, H 0 =(m+m e )c 2 + p2 2m. Por resolución de la ecuación de Schrödinger para el Hamiltoniano total mediante la transformada de Fourier se encuentran las siguientes autoenergías: ε k=ε 0 k+m h 2 k 2 +L h 4 k 4. Sin embargo, nos interesa resolver este ejemplo mediante el modelo de Feynman. En este caso, tenemos que la ecuación de Dyson asociada a la. 6

7 función de Green es: G R (k,t 2 t ) = G R 0(k,t 2 t )+ + G R 0(k,t 2 s) M k,k GR (k,s t )ds G R 0(k,t 2 s) L k,kg R (k,s t )ds. En este sentido, podemos calcular los distintos órdenes que participan en la serie: Orden0: G R 0(k,t 2 t ) Orden: G R 0(k,t 2 s) M k,kg R 0(k,s t )ds G R 0(k,t 2 s) L k,kg R 0(k,s t )ds Orden2: G R 0(k,t 2 s 2 ) (M,L) k,k G R 0(k,s 2 s ) (M,L) k,k G R 0(k,s t )ds ds 2 Es decir, tenemos 4 términos del mismo orden que corresponden a las distintasposibilidadesdedispersiónsegúnelpotencialsea M ó L. SetienepuesquelafuncióndeGreenvienedadasegún: G R (k,ε)= ε (ε 0 k+mk 2 +Lk 4, )+iδ } {{ } ε k dondeδtienequeverconlainversadeltiempodevidamedia. Enrelación al diagrama anterior, para la transformación t ε se tiene ahora un diagrama semejante donde los caminos se expresan en términos del vector de ondakylaenergíaε. Paraellotenemos: G R (k,ε)=g R 0(k,ε)+ [ G R 0(k,ε) ] 2 ( M k,k+ L k,k)+ [ G R 0(k,ε) ] 3 ( M k,k+ L k,k) Además,podemosagrupartérminoseneldiagramadelafiguradeforma taldeobtenerlaformaquesemuestraenlafigura2. Podemospensarenuncasodondeelpotencial L esmuypequeñofrente altérmino M ydeestaformadespreciamoslostérminos: 7

8 k 2,t 2 k 2,t L k 2,t 2 k,t k 2,t 2 k 2,t 2 L k 2,t M k 2,t L k,t k M,t L 2 = + M + L + k M,t M + k,t k,t M k,t L M k,t M k,t k,t k,t Figure : Diagrama de Feynman asociado a los distintos órdenes en la serie perturbativa. 2 2 = x + x M + L + x M + L + = - - M + L Figure 2: La reagrupación de los términos resulta en una serie geométrica. L de esta forma, la función de Green es, aproximadamente: G R (k,ε) = [G R 0 (k,ε)] k,k M ε ε 0 k +iδ M k,k La energía resulta entonces: ε k=ε 0 k+ M k,k Ycuandoε=ε klafuncióndegreentomaelvalor/δ. Porlotantopara δ=0setieneuntiempodevidamediainfinito,esdecirnohaydecaimiento 8

9 en el estado k. Para obtener la convergencia debe cumplirse entonces: Mk 2 ε ε 0 k +iδ <, equivalentemente: { ε>ε 0 k +Mk2 ε<ε 0 k Mk2 Así, tenemos: ī h GR (k,t 2 t )=e iε0 k (t 2 t )/ h + ( ī ) 2 t 2! h M k,k dt t 2 [ ( + ī h M k,k t t 2 dt = ī h eiε0 k (t 2 t )/ h e im k,k (t 2 t )/ h ) t ] t 2 dt + Por lo tanto, en la función de Green temporal no aparecen las divergencias queseteníaneneldominiodeenergías..2 Aproximación a un problema de desorden Pensemos en un sistema compuesto por N impurezas situadas en los puntos R i deformatalqueelpotencialu(r)sedefinecomo: U(r)= N u( r R i ), n= aquí la suma se realiza sobre las impurezas y los potenciales asociados a estos centros dispersivos pueden tomarse centrales. Enprimerlugartenemosqueestepotencialesestáticoyporlotantohay conservación en la energía. En términos de función de Green o propagador esto se traduce como: G(r,t,r 0,t 0 )=G(r,r 0,t t 0 ). Realizando una transformación de Fourier se obtiene: G( r r 0,ε)= G(r,r 0,t t 0 )e iε(t t 0)/ h d(t t 0 ) 9

10 Para el propagador en el espacio homogeneo se tiene G 0 (k,ε)= G( r r 0,ε)e ik (r r0) d(r r 0 ) Realizando la tranformada de Fourier en la ecuación de Schrödinger se obtiene para este propagador: G 0 (k,ε)= ε ε 0 k ComotenemosaG 0 (k,ε)enlabasekdeautoestados,entoncesdefinimos los elementos de matriz para el potencial asociado según: u (i) l,k = l u( r R i ) k = e il r u( r R i )e ik r dr = e i(l k) R i u l,k donde hemos supuesto que los potenciales asociados a cada impureza son deltiformes con peso u l,k relativo a la transición de los estados k a l. De estaformadondetodaslasimpurezassonigualesseobtieneuncambioenla fase proporcional a la posición de cada impureza. Para la función de Green retardada se obtiene: [ ] G R (k 2,k ) = G R 0(k,k )δ k2,k +G R 0(k 2,k 2 ) u k2,k (R i ) G R 0(k,k )+ [ ] +G R 0 (k 2,k 2 ) u k2,l(r i )G R 0 (l,l)u l,k (R i ) G R 0 (k,k )+ l,i [ ] +G R 0 (k 2,k 2 ) u k2,l(r j )G R 0 (l,l)u l,k (R i ) G R 0 (k,k ) +... l,i j i En esta expresión distinguimos los distintos órdenes para la función. En el orden cero se tiene que la partícula ingresa con número de onda k y emerge enel mismoestado delazona dedispersiónsincolisionar. Para el primerordensetieneunaúnicacolisiónconunimpurezaenelsitior i. En 0 i

11 el segundo orden distinguimos dos casos: la partícula colisiona dos veces con la misma impureza ó la partícula colisiona con dos impurezas distintas. Para órdenes superiores el análisis es el mismo. amos a tomar entonces un promedio sobre ensambles en el límite termodinámico, es decir suponemos que el número de impurezas y el volumen del sistema tienden a infinito manteniendo su cociente constante, es decir: N =c imp, constante. TomamosalpromediosobreensambleenlafuncióndeGreentalque: G R (k 2,k ) = G R 0(k 2,k ) + G R (k 2,k ) +... con G R (k 2,k ) =G R 0(k 2,k 2 )G R 0(k,k ) u k 2,k e i(k 2 k ) R i i El término a promediar es el mismo para cada impureza, entonces tenemos: N e i(k 2 k ) R = N e i(k 2 k ) R dr y,porlotanto: G R (k 2,k ) =c imp G R 0 (k 2,k 2 )G R 0 (k,k )u k2,k δ(k 2 k ) } {{ } δ k2,k Para los términos del segundo orden se tiene: Colisión con la misma impureza G R 0(l,l) u k2,l(r i )u l,k (R i ) l = l G R 0(l,l) u k 2,lu l,k 2 i e i(k2 k ) R i i } {{ } Nδ k,k 2

12 Ahora, podemos representar a la suma sobre los estados l como una integral según: dl (2π) d l donde d corresponde a la dimensión del sistema. Con esto tenemos: dl c imp (2π) dgr 0 (l,l)u k 2,lu l,k δ k2,k Colisión con impurezas distintas: G R 0(l,l) u k 2,lu l,k N(N ) dr 2 i dr j e i[(k 2 l) R j +(l k ) R i ] l c 2 imp G R 0 (l,l)u k 2,lu l,k δ k2,lδ l,k =c 2 imp GR 0 (k,k ) u k2,k 2 δ k2,k l k Σ = k u(0) x + k l x u kl k k k u lk Figure 3: Representación diagramática del término de corrección Σ. ParalafuncióndecorrecciónΣsetienenlostérminos Σ(k,ε)= (k,ε) iγ(k,ε) con dl u k,l 2 (k,ε)=c imp u(0)+c imp (2π) d ε ε 0 l donde u(0) corresponde a la integral del potencial en el espacio. Para la parte imaginaria se tiene: Γ(k,ε)= limc imp δ 0 dl (2π) d u k,l 2 δ (ε ε 0 l )2 +δ 2

13 Aquíyen (k,ε)hemossupuestoqueelpotencialdeltiformeestalque lapartículaingresaconunánguloysaleencualquierotroconigualprobabilidad. La integral sobre número de onda puede expresarse como: ycomo: dl (2π) d = dω d l d dl ε 0 l = h2 l 2 2m, podemos reemplazar a la integral anterior como una integral sobre densidad de estados, es decir: dεn d (ε) así tenemos: Γ(k,ε)= limc imp δ 0 dεn d (ε) u 2 δ(ε 0 k ε) demodotalqueencontramosparaeltiempodevidamediodadoporla RegladeOrodeFermi: τ k = 2π h u 2 N d (ε 0 k) 3