FUNDAMENTOS TEÓRICOS

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1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 7 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 1.1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS: FILTROS La primera pregunta que debemos de hacernos es, qué es un filtro?, pues bien, un filtro es un dispositivo (bien realizado en hardware o software) que se aplica a un conjunto de datos ruidosos para poder extraer información sobre una cantidad de interés. En el área de las señales, el filtrado es un proceso mediante el cual se modifica el contenido espectral de una señal. El término filtro se utiliza comúnmente para describir un dispositivo que discrimina aquello que pasa a través de él. Así, por ejemplo, un filtro

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 8 de aire permite que sólo pase aire a través de éste, evitando que las partículas de polvo presentes en el aire lo atraviesen. Hay diferentes tipos de filtros, la primera clasificación que podemos hacer es la de filtros analógicos y filtros digitales según la aplicación. Dentro de los filtros analógicos podemos diferenciar los filtros analógicos pasivos, que son aquellos filtros que están realizados con elementos pasivos, es decir, resistencias, capacidades e inductancias (por ejemplo los filtros en escalera RLC), y los filtros analógicos activos, que son aquellos filtros que además de estar realizados con elementos pasivos, incorporan algún elemento activo, como por ejemplo los amplificadores operacionales (OPAMPS), o transistores. Ejemplos: Figura 1: Filtro pasivo RLC. Filtro paso de banda.

3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 9 Figura 2: Respuesta en frecuencia del filtro paso de banda de la figura 1 Figura 3: Filtro Activo. Filtro paso de baja, con fp= 5 Khz. y fs= 7khz

4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 10 Figura 4: Respuesta en frecuencia del filtro activo de la figura 3 para las distintas aproximaciones. Nosotros estamos más interesados en los filtros digitales, ya que en el proyecto implementaremos diferentes filtros digitales para su posterior estudio. Un filtro digital es un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) que modifica el espectro en frecuencia de la señal de entrada X(w), según la respuesta que tenga en frecuencia H(w) (más conocida como función de transferencia), para dar lugar a una señal de salida con espectro Y(w) = H(w) * X(w). En cierto sentido, H(w) actúa como una función de ponderación o función de conformación espectral para las diferentes componentes frecuenciales de la señal de entrada. Los sistemas LTI se clasifican como: FIR (finite impulse response) que se caracterizan por ser sistemas no recursivos, e IIR (infinite impulse response) que se distinguen por tener retroalimentación en la señal de salida.

5 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 11 Figura 5: Filtrado analógico y digital

6 FUNDAMENTOS TEÓRICOS FILTROS FIR Como ya hemos dicho, un filtro FIR es aquel que tiene una respuesta finita al impulso y que se caracterizan por ser sistemas no recursivos. Un filtro FIR de orden L se describe mediante la ecuación en diferencias: y(n) = a 0 x(n) + a 1 x(n-1) + a 2 x(n-2) a L (x(n-l), donde la secuencia a k son los coeficientes del filtro. A partir de esta ecuación en diferencias puede obtenerse la función de transferencia del filtro en el dominio de Z: En este tipo de filtrado no existe retroalimentación. Además, la respuesta al impulso H(w), es de duración finita ya que si la entrada se mantiene en cero durante L periodos consecutivos la salida también será cero. Algunas de las características de este tipo de filtros son las siguientes: 1.- Un filtro FIR puede ser diseñado para tener fase lineal. 2.- Siempre son estables porque son hechos únicamente con ceros en el plano complejo. 3.- Los errores por desbordamiento no son problemáticos porque la suma de productos en un filtro FIR es desempeñada por un conjunto finito de datos. 4.- Un filtro FIR es fácil de comprender e implementar. 5.- La salida siempre es una combinación lineal de los valores presentes y pasados de la señal de entrada. 6.- Tiene memoria finita. La interpretación gráfica de un filtro LTI FIR de orden L se realiza directamente a partir de su ecuación en diferencias, tal y como se muestra en la Figura 6. Ésta es la denominada Implementación con Estructura

7 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 13 Directa. Puede observarse que para su realización se utilizan básicamente una línea de elementos de retardo, multiplicadores y sumadores, con un número de etapas igual al orden del filtro. Figura 6: Estructura directa filtro FIR Una variación de este modelo es la llamada Implementación con Estructura Directa Transpuesta. Esta puede derivarse de la Implementación Directa sin más que modificar la posición de los elementos de retardo, lo que obliga también a cambiar el orden de los coeficientes, como se observa en la Figura 7. La estructura transpuesta es generalmente la forma preferida de implementar filtros FIR, puesto que elimina la necesidad de introducir una etapa de segmentación adicional para implementar el árbol de sumadores en cascada, que se convierte en obligatoria cuando se trata de conseguir la mayor tasa de transferencia (throughput) para el filtro.

8 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 14 Figura 7: Filtro FIR con estructura directa transpuesta Aunque los anteriores son dos de los esquemas más clásicos, en realidad existen un número literalmente infinito de estructuras equivalentes que realizan la misma función de transferencia, por lo que en un supuesto ideal todas ellas serían equivalentes. No obstante, al utilizar aritmética con precisión finita, no todas obtienen los mismos resultados, por lo que es de vital importancia elegir una estructura que tenga los mínimos efectos sobre la cuantización de las señales. Así pues, en la práctica se han propuesto diferentes estructuras, cada una representando diferentes compromisos entre precisión, velocidad y tamaño. Además de las mencionadas, algunas utilizadas frecuentemente son: 1. Cascada de secciones de primer o segundo orden (resultan de interés porque son menos sensibles a la cuantización de los coeficientes que las estructuras de mayor orden). 2. Descomposición polifase (en paralelo) de secciones de primer o segundo orden. 3. Estructuras lattice (celosía). 4. Estructuras específicas para filtros de fase lineal.

9 FUNDAMENTOS TEÓRICOS FILTROS IIR Un filtro IIR es aquel que tiene una respuesta infinita al impulso y que se caracterizan por tener una retroalimentación de la señal de salida. En los filtros IIR, la salida es función no sólo de la entrada actual y de las precedentes, sino también de las salidas anteriores. Es decir, se trata de filtros recursivos (poseen realimentación), y por tanto se espera que (en general) posean una respuesta impulsional infinita. Su ecuación en diferencias puede expresarse como: La función de transferencia para los filtros IIR tiene por lo tanto la forma: Al igual que en el caso anterior, la implementación directa de filtros IIR se obtiene de forma inmediata a partir de su ecuación en diferencias, tal y como se muestra en la Figura 8. Nótese que el filtro IIR puede considerarse como una cascada de dos subsistemas, numerador y denominador de la ecuación anterior: N(z) (1/D(z)).

10 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 16 Figura 8: Filtro IIR con estructura directa I Una variante canónica (con número de retardos igual al orden del filtro) de la estructura directa anterior puede obtenerse sin más que invertir el orden de los dos subsistemas: (1/D(z)) N(z). Los elementos de memoria quedan en el centro y almacenan los mismos valores, por lo que pueden combinarse para formar la Estructura Directa II. Otra variante muy común se obtiene a partir del esquema anterior transponiendo la estructura, como se muestra en la Figura 9. Esta arquitectura es una de las más interesantes, puesto que además de ser canónica utiliza un número reducido de sumadores (de tres vías), que pueden implementarse eficientemente en determinadas arquitecturas de chips programables. Esquemas similares adicionales pueden conseguirse mediante distintas manipulaciones de las arquitecturas básicas mostradas.

11 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 17 Además, y al igual que en el caso de los FIR, otras posibilidades muy utilizadas para filtros IIR consisten en la implementación a partir de estructuras en cascada y en paralelo de secciones de orden reducido, mediante estructuras Lattice, estructuras de Wave, y otras. Figura 9: Filtro IIR con estructura directa II transpuesta. Un aspecto a considerar en la elección de una u otra alternativa de implementación de los filtros digitales es la facilidad de los métodos de diseño y re-diseño del filtro y la posibilidad de convertir un diseño dado entre varias estructuras. Los filtros FIR se diseñan en la actualidad utilizando diferentes técnicas: métodos de ventana (rectangular, triangular, Hamming, Kaiser, etc.), método minimax (equiripple), o método de mínimos cuadrados. Por su parte, los filtros IIR digitales se diseñan a partir de los métodos tradicionales de diseño de filtros analógicos (Butterworth, Chebyshev I y II, y elípticos) utilizando la transformada Z bilineal para discretizar el sistema. El paso de un método de diseño a otro, o de una estructura de implementación a otra puede realizarse hoy en día de forma simple utilizando herramientas software como los entornos Matlab /Simulink de la compañía The Mathworks Inc. Los efectos de la

12 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 18 cuantización de la E/S, coeficientes y operadores en la respuesta del filtro pueden analizarse de igual forma hasta encontrar el compromiso adecuado. En cuanto a las técnicas de diseño, características adecuadas de la respuesta, estabilidad, etc., tanto los filtros FIR como los IIR poseen ventajas e inconvenientes que los hacen más o menos adecuados en función de la aplicación. Sin embargo, pueden extraerse unas conclusiones que tienden a prevalecer: en general, los filtros IIR son usualmente mucho más eficientes que los FIR, en términos de conseguir ciertas características de calidad para un mismo orden de filtro dado. Ello es debido a que un filtro IIR incorpora realimentación, por lo que es capaz de realizar los ceros y los polos de la función de transferencia de un sistema, mientras que un filtro FIR únicamente posee ceros. En determinadas aplicaciones este hecho se traduce en que, para conseguir similares características que un filtro IIR de 4º orden, por ejemplo, sea necesario un filtro FIR de varios cientos de etapas. Por lo tanto, en cuanto a su implementación, para los filtros FIR usualmente se descartan arquitecturas como las analizadas hasta el momento, puesto que cientos de etapas resultarían demasiado costosas en hardware para la mayoría de las aplicaciones reales. En su lugar se recurre a estructuras que utilizan recursivamente una única etapa de procesamiento (o unas pocas) para efectuar el cálculo total, multiplexando su utilización en el tiempo. Este es el caso de las estructuras FIR basadas en unidades MAC (Multiply And Accumulate). En otras ocasiones se utilizan arquitecturas radicalmente diferentes, como las basadas en Aritmética

13 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 19 Distribuida. Estas y otras estrategias similares consiguen disminuir el número de recursos necesarios para la implementación de un filtro FIR, a costa de una reducción de la tasa de transferencia máxima, y por tanto de la velocidad de procesamiento del filtro. Por todo ello, los filtros IIR, a pesar de consumir generalmente más recursos que las estructuras FIR recursivas, son con frecuencia la mejor opción cuando se necesitan las mayores velocidades de procesamiento. Dentro de las ventajas que ofrecen los filtros IIR sobre los tipo FIR encontramos: 1.- Los filtros IIR requieren menos memoria y menos instrucciones para implementar su función de transferencia. 2.- Un filtro IIR se diseña mediante el cálculo de polos y ceros en el plano complejo. El uso de polos confieren a un filtro IIR la capacidad de implementar funciones de transferencia que es imposible de realizar mediante filtros FIR. 3.- Es posible trasladar un filtro IIR a un modelo analítico. Sin embargo, algunas consideraciones que se deben tener en cuenta en la implementación de filtros IIR son las siguientes: 1.- Los filtros IIR no son necesariamente estables, es tarea del diseñador buscar la estabilidad del sistema.

14 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Los filtros IIR producen en general distorsión de fase. 3.- La posibilidad de desbordamiento de los resultados en las operaciones realizadas deben ser consideradas ya que un filtro IIR se implementa mediante sumas de productos que están basadas en una suma infinita.