SEÑALES Y SISTEMAS Clase 11

Transcripción

1 SEÑALES Y SISTEMAS Clase 11 Carlos H. Muravchik 12 de Abril de / 36 Habíamos visto: Sistemas Lineales. Convolución. Y se vienen: Repaso: Convolución - Propiedades. Estabilidad. Representacion de SLIT y SLI: Ecns. diferenciales, en diferencias y de estado (C y ). iagramas en bloque Y más adelante Sistemas lineales con entradas aleatorias. Inicio 3 / 36

2 Repaso - discreto: Operador básico para todos los SL: convolución. SLV: Convolución discreta y[n] = x[k] h[n, k] = y[n] = {x h}[n] k= SLI: h[n, k] = h[n k] y[n] = x[n m]h[m] = h[n m]x[m] m= m= Causalidad: y[n] = x[n m]h[m] = n h[n m]x[m] m= m= x[n] unilateral a derecha: n n y[n] = x[n m]h[m] = h[n m]x[m] m= m= 5 / 36 uración Convolución gráfica: Papeles deslizantes x y h de duración finita; h[ 3 k] x[k] k k y[ 3]= uración de y: duración de x más duración de h menos 1. 6 / 36

3 Repaso - continuo: Operador básico para todo SL: convolución. SLV: Convolución continua y(t) = {x h}(t) = x(σ) h(t, σ)dσ Para SLIT: h(t, σ) h(t σ) luego y(t) = x(σ)h(t σ)dσ = Causalidad: h(t) ; t < luego y(t) = t x(σ)h(t σ)dσ = h(λ)x(t λ)dλ h(λ)x(t λ)dλ Señal de entrada unilateral a derecha ó x(t) ; t < y(t) = t Notar: Papeles deslizantes. x(σ)h(t σ)dσ = t h(λ)x(t λ)dλ 7 / 36 Estabilidad de SLI 1 Teorema: Un SLI es estable en sentido EA/SA sii su respuesta impulsional es absolutamente sumable; es decir existe < K h < tal que h[k] K h k= emostración: 1) ida y 2) vuelta. 1) h abs. sumable es suficiente: Sea una entrada acotada por < K e <, o sea x[n] K e para todo n. El módulo de la salida es y[n] = x[k]h[n k] k= x[k] h[n k] k= K e h[n k] K e K h k= tomando K y = K e K h la salida resulta acotada. 9 / 36

4 Estabilidad de SLI 2 2) h abs. sumable es necesaria: sistema EA/SA h es abs. sumable. h NO es abs. sumable sistema NO es EA/SA. Mostraremos una entrada acotada que, suponiendo que h NO es abs. sumable, dará y[n] no acotada. Sea x[n] h[ n]/ h[ n] luego x[n] K e = 1 para todo n. La salida en n = es y[] = = k= k= x[k]h[ k] = h[ k] k= h[ k] h[ k] h[ k] = que no está acotada por hipótesis. Luego y no está acotada y entonces el sistema no es EA/SA. 1 / 36 Estabilidad de SLIT 1 Paralelo a SLI: Teorema: Un SLIT es estable en sentido EA/SA sii su respuesta impulsional es absolutamente integrable, es decir, existe un < K h < tal que h(τ) dτ K h emostración: similar a la de SLI. Repase las ideas de la demostración para SLI, haciendo ésta para SLIT. esafío: piense si podrían modificarse estos resultados para sistemas VT (no requerido para SyS). 11 / 36

5 Ecuaciones diferenciales 1 SLIT ecns diferenciales ordinarias de coeficientes constantes (EOLCC) Forma general: N i= a i d i y(t) dt i = M j= b j d j x(t) dt j emuestre linealidad e invarianza en el tiempo. Restricciones técnicas N M, vs. diferenciabilidad de x(t). Aún si x(t) es unilateral a derecha de t la EOLCC se integra para t t para causalidad. PERO también se podrían integrar para t t. Condiciones iniciales CI y(t ), dy dt (t ), d 2 y dt 2 (t ),..., d N 1 y dt N 1 (t ) 13 / 36 Ecuaciones diferenciales 2 La solución de las EOLCC es y(t) = y homogénea (t) y particular (t) = y h (t) y p (t) la solución homomgénea y h si las CI son nulas. y p es la solución particular, da el término forzado o sea la convolución de x con la respuesta impulsional h. Note que y p incluye tanto régimen transitorio como régimen permanente. La respuesta impulsional h(t) se obtiene resolviendo N i= a i d i h(t) dt i = M b j δ (j) (t) con condiciones iniciales nulas y t > : SLIT causales. Podrían haber soluciones para t < o aún bilaterales, SLIT no-causales. Usando la transformada L de Laplace: H(s) = L{h}(s). Transferencia H(s) racional, es decir b(s) a(s) con a( ), b( ) polinomios en la variable s. Para causal y no-causal. j= 14 / 36

6 Ecuaciones en diferencias 1 SLI ecns en diferencias lineales de coeficientes constantes (EILCC) Forma general: N a i y[n i] = i= M b j x[n j] j= emuestre linealidad e invarianza al deslizamiento. La EILCC se integra para n n, n Z para causalidad. PERO también se pueden integrar para n n de modo no-causal. Condiciones iniciales CI y[n 1], y[n 2],..., y[n N]. La solución de las EILCC es y[n] = y homogénea [n] y particular [n] = y h [n] y p [n] 15 / 36 Ecuaciones en diferencias 2 y h es la solución homogénea si las CI son nulas. y p es la solución particular, da el término forzado o sea la convolución de x con la respuesta impulsional h. Note que y p incluye tanto régimen transitorio como régimen permanente. La Respuesta Impulsional h[n] se obtiene resolviendo N a i h[n i] = i= M b j δ[n j] j= Resolverla es muy sencillo!! Caso causal h[n] =, n < : h[n] = 1 N a M a i h[n i] b j δ[n j] i=1 j= note las CI nulas h[ 1] =, h[ 2] =,..., h[ N] =. 16 / 36

7 Ecuaciones en diferencias 3 Hagamos a = 1 por simplicidad Fácil, pero laborioso h[n] = N i=1 a ih[n i] M j= b jδ[n j] h[] = b = b h[1] = a 1 b b 1 h[2] = a 1 ( a 1 b b 1 ) b 2 = a 2 1 b a 1 b 1 b 2 y así siguiendo para h[n], n... Veremos la transformada Z y calcularemos H(z) = Z{h}(z). H(z) resultará la transferencia discreta del SLI y resulta racional, es decir b(z) a(z) donde a( ), b( ) son polinomios en la variable z. 17 / 36 Ecuaciones en diferencias 4 La Respuesta Impulsional h[n] caso anticausal h[n] =, n > ; se obtiene, reacomodando la EILCC y calculando h[n] = 1 a N N 1 i= a i h[n N i] M b j δ[n N j] j= note las CI nulas h[1] =, h[2] =,..., h[n] =. H(z) en este caso también resultará la transferencia discreta del SLI y será racional en Z. Igualmente para SLIT no-causales en general. 18 / 36

8 Ecuaciones de estado 1. Para SLIT { ṡ(t) = As(t) Bx(t) y(t) = Cs(t) x(t) con CI s(t) = s. s R N y A es de N N, B de N 1 y C de 1 N. 2. Para SLI { s[n 1] = Fs[n] Gx[n] y[n] = Hs[n] x[n] con CI s[] = s. con p = máx{n, M}, s R p y F es de p p, G de p 1 y H de 1 p. Se usará muchísimo en Control Moderno y en Comunicaciones -posgrado-. 19 / 36 iagramas en bloque - SLI Elementos x[n] x 1 [n] a bloque ganancia x 2 [n] bloque sumador ax[n] x 1 [n] x 2 [n] x[n] y[n] = x[n 1] : delay o retardo 2 / 36

9 iagramas en bloque - SLI Ejemplo 1 Respuesta impulsional finita (en inglés FIR, por finite impulse response): y[n] = b x[n] b 1 x[n 1] Respuesta impulsional: h[] = b ; h[1] = b 1 ; h[2] = y h[n] = ; n 2. iagrama en bloque: x[n] b y[n] x[n 1] b 1 Generalización: SLI con N = y M >, se denota MA o de promedios móviles (en inglés) 21 / 36 iagramas en bloque - SLI Ejemplo 2 Respuesta impulsional infinita (en inglés IIR, por infinite impulse response): y[n] ay[n 1] = b x[n] Respuesta impulsional: h[] = b ; h[1] = ab ; h[2] = a 2 b y h[n] = a n b ; n. iagrama en bloque: x[n] b y[n] a y[n 1] Generalización: SLI con N > y M =, se denota AR o auto-regresivo 22 / 36

10 iagramas en bloque - SLI Ejemplo 3 Respuesta impulsional infinita (IIR): a y[n] a 1 y[n 1] = b x[n] b 1 x[n 1] y[n] = 1 { a 1 y[n 1] b x[n] b 1 x[n 1]} a Resp. impulsional: h[] = b a ; h[1] = a 1b a 2 iagrama en bloque: b 1 a ; h[2] =... x[n] b 1/a y[n] x[n 1] b 1 a 1 y[n 1] Generalización: SLI con N > y M >, se denota ARMA o autorregresivo promedios móviles (en inglés). 23 / 36 iagramas en bloque - SLI General 1 Respuesta impulsional infinita: ( y[n] = 1 M ) a i y[n i] w[n] a i=1 M w[n] = b i x[n i] i= iagrama en bloque: Realización tipo I x[n] b w[n] 1/a y[n] b 1 a 1 b 2 a 2 b N 1 a N 1 b N a N 24 / 36

11 iagramas en bloque - SLI General 2 Usando conmutatividad x[n] - 1/a a 1 v[n] v[n 1] b b 1 y[n] a 2 b 2 a N 1 b N 1 a N b N Los bloques correspondientes de cada columna llevan la misma señal: juntémoslos!. 25 / 36 iagramas en bloque - SLI General 3 Realización tipo II x[n] 1/a b y[n] a 1 b 1 a 2 b 2 a N 1 b N 1 a N b N Menor número de retardos (estados). Es el mínimo? (a Control Moderno o postgrado). 26 / 36

12 iagramas en bloque - SLIT e manera totalmente similar con sumas y multiplicadores por constantes. En lugar de retardos irían diferenciadores pero son ruidosos. Se usan integradores x(t) y(t) = t x(λ) dλ o sea ẏ(t) = dy dt (t) = x(t) 27 / 36 iagramas en bloque - SLIT General x(t) b N 1/a N y(t) b N 1 a N 1 b N 2 a N 2 b 1 a 1 b a (a) Realización directa tipo I. x(t) 1/a N b N y(t) a N 1 b N 1 a N 2 b N 2 a 1 b 1 a b (b) Realización directa tipo II. 28 / 36

13 SL y entradas aleatorias Clave: SL convolución continuo o discreto variante o invariante Entra un proceso estocástico... qué es la salida? X(t) h( ) Y (t) Y (t) = {X h}(t) Y (t, ζ) }{{} proceso de salida = X(τ, ζ) }{{} proceso de entrada h(t, τ) dτ Nota: Cada realización del proceso de entrada da una realización del proceso de salida 3 / 36 Media estadística Queremos calcular E {Y (t)} = Y (t, ζ) = X(τ, ζ) h(t, τ) dτ β f Y (β; t) }{{} Cuál es? dónde se consigue? dβ = µ Y (t) Y ahora? No hace falta f Y (β; t) si usamos linealidad de la E { } { } E X(τ, ζ) h(t, τ) dτ = E {X(τ)} h(t, τ) dτ = }{{} bajo ciertas hipótesis: E = E = E {Y (t)} = µ Y (t) = {µ X h}(t) µ X (τ) h(t, τ) dτ = µ Y (t) 31 / 36

14 Media estadística continuación El mismo razonamiento vale para sistemas discretos E {Y [n]} = µ Y [n] = {µ X h}[n] 32 / 36 Media estadística continuación SLI: µ Y [n] = m= h[n m]µ X [m] SLI y entrada con media constante µ X [n] = µ X : µ Y [n] = µ X m= h[n m] = µ X h[k] = µ Y cte k= }{{} sumabilidad de h si el SLI es estable EA/SA, h es sumable SLIT: µ Y (t) = h(t τ)µ X (τ)dτ SLIT y entrada con media constante µ X (t) = µ X : µ Y (t) = µ X h(t τ)dτ = µx h(λ)dλ = µ Y cte }{{} integrabilidad de h si el SLIT es estable EA/SA, h es integrable 33 / 36

15 Media estadística transitorio Los resultados anteriores presuponen aplicación de la entrada desde t = Pero si se aplica a un SLIT el proceso de entrada en t = es como si X(t) =, t <, µ Y (t) = E {X(τ)} h(t τ)dτ = y aún siendo µ X (t) = µ X t, µ Y (t) = µ X h(t τ)dτ constante µ X (τ)h(t τ)dτ porque con el cambio de variables ρ = t τ dρ = dτ µ Y (t) = µ X t h(ρ)dρ = función de t! Es el efecto de la respuesta transitoria del sistema Cuando se aplica X en t =, para cualquier t finito, el transitorio ya finalizó 34 / 36 Próximas Clases Sistemas lineales: correlaciones. Transformada de Fourier. Introducción y Propiedades. TF de funciones generalizadas, simetrías: par-impar, real-imaginaria, funciones hermíticas, dualidad, algunos pares transformados (cajón, exponencial, signo-escalón, delta-constante, pulso gaussiano), linealidad, translación, similaridad. Translación y similaridad. Más pares: seno, coseno, peine. erivación. Convolución. Area bajo la señal y bajo la convolución. Integración. Correlación determinística: Propiedades auto e inter. Energía. Interpretación como densidad de energía. 36 / 36