Diseño de Filtros Digitales (Parte

Transcripción

1 Diseño de Filtros Digitales (Parte 2) Filtros FIR Secuencias Simétricas Método de las Series de Fourier Método de Muestreo en Frecuencia Métodos Iterativos basados en condiciones óptimas Diseño de Filtros FIR con MATLAB

2 Secuencias Simétricas 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal El diseño de filtros FIR requieren la selección de la secuencia que mejor representa la respuesta a impulso de un filtro ideal. Los filtros FIR son siempre estables y son capaces de tener una respuesta de fase que es lineal, lo que equivale a decir que su respuesta tiene un retraso constante. El mayor problema de los filtros FIR es que para unas especificaciones dadas requieren un filtro de orden mucho mayor que los filtros IIR. Un filtro FIR de longitud M con entrada x[n] y salida y[n] se describe mediante la ecuación diferencia: [ ] = [ ] + [ ] + + [ + ] = [ ] yn bxn bxn b xn M bxn k M donde b k son los coeficientes del filtro. M k= k 2

3 Secuencias Simétricas 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal Por otra parte podemos expresar la salida del filtro y[n] como una convolución de la entrada x[n] con la respuesta a impulso del filtro h[n]: M [ ] [ ] [ ] yn = hk xn k k= Ya que estas dos ecuaciones son idénticas, y por tanto, los coeficientes b k =h[k]. Se puede demostrar que la respuesta de un filtro FIR es de fase lineal si los coeficientes h[n] cumplen : hn [ ] =± h[ M n] n=,,, M Es decir los coeficientes tienen algún tipo de simetría. La función de Transferencia Z del filtro FIR, aplicando esta condición es : M k 2 ( M 2) ( M ) () = hk [] z = h[] + h[] z + h[] 2 z + + h[ M 2] z + h[ M ] z H z k= z = /2 [ z ± z ] ( M 3) /2 ( M )/2 M [] ( M 2k ) /2 ( M 2k ) h z 2 + /2 [ z ± z ] ( M )/2 ( M )/2 [] ( M 2k ) /2 ( M 2k ) k= hk k= hk Mimpar M par = 3

4 Secuencias Simétricas De esta última expresión se deduce que 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal ( M ) ( ) ( ) z H z =± H z lo que significa que la raíces de H(z) son las mismas que las de H(z - ). Es decir las raíces (en este caso, los ceros) ocurren en pares recíprocos. Si z es un cero de H(z), /z es también un cero. Además, si z es un cero complejo, su conjugado z * es también un cero, 2 así como /z *

5 4 Secuencias Simétricas 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal La longitud N de una secuencia simétrica puede ser par o impar. Esto significa que el punto medio cae en un punto de la secuencia si N es impar y entre dos puntos si N es par. Como tengo dos tipos de simetría (par o impar), tendré cuatro posibles tipos de secuencias simétricas, las cuales se muestran en la Tabla junto con la DTFT de cada secuencia. Secuencias Simétricas L=½(N-), M=½N, F es la frecuecia digital=f/f s, donde f s es la frecuencia de muestreo Tipo Simetría N H(F) H() H(½) L L L Par Impar h[] + 2 h[] k cos( 2kπ F) h[] + 2 h[] k k= h[] + 2 ( ) k h[] k k= k = M L 2 Par Par 2 = h[] k cos [ 2π F( k )] k 2 2 hk [] k= L 3 Impar Impar j2 h[] k sin( 2kπF) k = k = 2 M M k 4 Impar Par j2 h[] k sin [ 2πF( k )] 2 ( ) hk [] k = Tabla : Secuencias Simétricas 5

6 Secuencias Simétricas 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal De esta tabla se pueden sacar las siguientes conclusiones acerca de la aplicabilidad de cada una de los tipos de secuencia. Para las secuencias del tipo 2 H(½) =, por lo que sólo pueden ser utilizadas para filtros pasabaja y pasabanda. Las secuencias del tipo 3 ( H() == H(½) ) sólo pueden ser utilizadas para filtros pasabanda. Las secuencias tipo 4 ( H() =) son apropiadas para filtros pasaalta y pasabanda. La secuencia tipo puede implementar cualquier tipo de filtro. Es el único tipo capaz de realizar filtros parabanda. Aplicaciones de las Secuencias Simétricas Tipo H(F) Aplicación Todo tipo de filtros 2 H(½)= Sólo LP y BP 3 H() == H(½) Sólo BP 4 H()= Sólo HP y BP 6

7 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal Hay tres métodos de diseño de filtros FIR: Método de las Series de Fourier. Método del Muestreo en Frecuencia. Métodos Iterativos basados en condiciones óptimas de diseño. Método de las Series de Fourier El método se basa en seleccionar la respuesta a impulso h N [n] como una versión truncada de la respuesta a impulso h[n] de un filtro ideal con repuesta frecuencial H(F). Proceso de Diseño de Filtros FIR por este método: Normalización de frecuencias por la frecuencia de muestreo. Conversión de especificaciones a la de un Prototipo de Filtro Pasobajo. Truncamiento de la respuesta a impulso de un filtro ideal h[n]=2f C sinc(2nf C ) a h N [n] de longitud N. El orden del filtro es N-. Selecionar una ventana w[n] de N puntos para obtener h w [n]=h N [n] w[n]. Convertir del Protipo de Filtro Pasobajo al Filtro deseado h F [n]. Retrasar h F [n] para asegurarse que el filtro es causal. 7

8 Nos planteamos realizar un filtro pasobajo ideal (digital) con una frecuencia de corte F c, tal y como indica la figura..5 -F c H(F) F c.5 F Si expresamos matemáticamente la respuesta frecuencial deseada: j F N H d ( ) F 2π ( )/ 2 e F Fc = F > Fc Haciendo la Transformada inversa de Fourier discreta en el tiempo de esta función H d (F), nos queda: [ ] ( ) hn j F N c n j Fn = 2π Hd F e df = e df = F 2π 2 2 Fc N s j2π n 2 F j F N 2 2π n 2 2j = N j2π n 2 = F F N 2 csinc 2 c n 2 F N sin 2π c n F 2 = 2 c e F N sin 2π c n 2 = F N 2π c n 2 F c = F c 8

9 La función sinc(x) está definida para todo valor de x, y además decae muy lentamente. Utilizar los valores de h[n] definidos por la ecuación anterior como coeficientes del filtro FIR, dará lugar a sobreimpulsos en la respuesta frecuencial del filtro. Debido a la lentitud de la función sinc(x), necesitaré un filtro de elevado orden (gran número de puntos) para diseñar filtros con transiciones rápidas entre bandas

10 Necesidad de utilizar ventanas espectrales : El truncamiento de h[n] equivale a multiplicar h[n] por una ventana rectangular w[n] de longitud N. El espectro de h N [n]=h[n] w[n] es la convolución de H(F) y W(F). La función W(F) va a producir rizados y sobreimpulsos en la señal de salida, de la misma forma que se producía el efecto Gibbs al reconstruir una señal discontinua con un número finito de coeficientes espectrales. Aquí el efecto Gibbs se da en el dominio frecuencial al usar un truncamineto de la respuesta a impulso. Para reducir los efectos de un truncamiento abrupto se utilizan ventanas espectrales que tienden a suavizar esos efectos. Por ejemplo, en el caso de una ventana rectangular, en la que w[n]=, para n=,...,n-, la DTFT es, W N N N j 2πFk j 2πFk j2πf ( F ) = w[] k e = e = ( e ) k = e = e j 2πF N 2 j 2π F 2 j e e 2πF N 2 j2π F 2 k = e e j 2πF N 2 j 2π F 2 k = = e j2πf k e = e j2πfn j2πf ( N ) 2 sin( πfn ) sin( πf) =

11 El módulo de esta función (llamada función de Dirichlet) se muestra en la figura de la página siguiente. Las ventanas más comunmente utilizadas en el diseño de filtros FIR están listadas en la Tabla 2. Sus características espectrales principales se especifican en la Tabla 3. De los espectros de las ventanas se hacen notar dos cosas: El ancho del lóbulo principal y el de transición decrece al aumentar N. La amplitud de los lóbulos de los lados permanece constante con N. Idealmente el espectro de una ventana debe estar confinado en el lóbulo principal, sin casi energía en los lóbulos de los lados.

12 A continuación se muestran algunas ventanas espectrales y sus espectros Boxcar Indice n Frecuencia Digital f/fs Hamming Indice n Frecuencia Digital f/fs 2

13 vonhann Indice n Frecuencia Digital f/fs Blackman Indice n Frecuencia Digital f/fs 3

14 Bartlett Indice n Frecuencia Digital f/fs Papoulis Indice n Frecuencia Digital f/fs 4

15 Kaiser β= Indice n Frecuencia Digital f/fs Parzen Indice n Frecuencia Digital f/fs 5

16 Las ventanas más utilizadas son vonhann, Hamming y Kaiser. A la hora de escoger la ventana adecuada tendremos un cuenta dos criterios principales de diseño : Asegurarse que el parámetro P S de la ventana esté por encima de la atenuación A s especificada para la parabanda del filtro. Como mucho puede estar unos 8 db por encima. Es decir P s A s Una transición más ancha permite utilizar un filtro de menor orden, pero a costa de una menor atenuación en los lóbulos. Ejemplo: Diseñar un filtro FIR pasobajo con una frecuencia de corte de 5KHz y una frecuencia de muestreo de 2KHz. h N [n]=2f C sinc(2nf C )=2 (5/2) sinc(2n5/2)=.5 sinc(.5n). (a) Con N=9, -4 n 4, y una ventana tipo Bartlett : 2n w[] n = { w[] n } = {,,2,3,4,3,2,, } N 4 { hn [] n } = {,.6,,.383,.5,.383,,.6, } h [] n = h n w n =, { } { [][]} {.265,,.2387,.5,.2387,,.265,} W N 6

17 Para que el filtro sea causal tendremos que retrasar 4 muestreos, por lo que el filtro a aplicar es: Hz ( ) =. 265z z +. 5z z z + = =. 265z z +. 5z z. 265z Como el primer muestreo de h W [n]=, podemos hacer Hz ( ) = z +. 5z z. 265z (b) Con N=6, -2.5 n 2.5 y una ventana vonhann wn [] = cos[ 2nπ ( N ) ] { wn []} = {,. 3455,. 945,. 945,. 3455, } { hn[] n} = {. 9,. 5,. 452,. 452,. 5,. 9} { hw[] n} = hn[][] n w n =,. 58,. 472,. 472,. 58, { } { } Hz () = z z +. 58z 2 3 7

18 magnitude vs digital frequency F 2 phase in degrees vs digital frequency F Bartlett N= unwrapped phase in degrees vs digital frequency F magnitude vs digital frequency F 2 phase in degrees vs digital frequency F vonhann N= unwrapped phase in degrees vs digital frequency F

19 Características de algunas ventanas espectrales Window Atenuación en lóbulo de los lados (db) Ancho de Banda de la Transición Rectangular -3 2π.9/N -2 Hanning -3 2π 3./N -44 Hamming -4 2π 3.3/N -53 Blackman -57 2π 5.5/N -74 Máximo Rizado en Parabanda (db) Características de la ventana Kaiser para distintos parámetros Parámetro β Atenuación en lóbulo de los lados (db) Ancho de Banda de la Transición Máximo Rizado en Parabanda (db π.5/N π 2./N π 2.6/N π 3.2/N π 3.8/N π 4.5/N π 5./N π 5.7/N π 6.4/N -99 9

20 Podemos estimar la longitud del filtro (N) a partir del ancho de banda en la transición ( ω). Por ejemplo, si se pide un filtro con una transición entre ω p y ω s, llamamos banda de transición a la diferencia normalizada por la frecuencia de muestreo F m, entre las frecuencias de parabanda y pasabanda (en rad/s), ( ωs ω p ) 2πk 2πk k ω = = N = N ω F F m Para el caso de un filtro de Kaiser hay que calcular la longitud del filtro y el valor del parámetro β. Esto se realiza mediantes las siguientes ecuaciones, As 7.95 N 4.36 F.2 ( As 8.7), As 5 β = ( As 2) ( As 2 ), 2 < As < 5 2

21 Otro criterio es tomar N de acuerdo a la siguiente fórmula, donde W S es la mitad de la anchura del lóbulo principal (Tabla 2), y F p y F s la frecuencias digitales de pasabanda y parabanda. W ( Fs Fp) Transformaciones Espectrales : Se trata de convertir diseños de filtros pasobajo a otras formas y viceversa. Las tablas y 2 del apéndice muestran todas las posibles transformaciones. N S Ejemplo : Diseñar un filtro pasobajo con las siguientes especificaciones f p =KHz, f s =2KHz, S f =KHz, A p =2 db y A s =4dB. Las frecuencias digitales son F p =f p /S f =., F s =f s /S f =.2. Aplicando este último criterio y acudiendo a las tablas vemos que de acuerdo a los valores de P S, los filtros más adecuados son vonhann, Hamming y Blackman. Aplicando la fórmula de N para cada uno de estos filtros obtenemos, 2

22 vonhann : N = Hamming : N =.9. 2 Blackman : N = A partir de aquí procedemos por el científico método de intentar y errar. De la Tabla, obtenemos h N [n] para una frecuencia de corte que no se nos especifica claramente. Sólo se nos da las frecuencias en los bordes de la pasabanda y la parabanda. Por ello escogemos una frecuencia de corte un 2% superior a f p, es decir f C =.2 KHz. h n F nf n [] = 2 sinc ( 2 ) = 24sinc. ( 24. ) N C C Ahora se intenta con cada uno de los filtros partiendo de la longitud calculada y se observa si se cumplen las especificaciones. En caso de no cumplirse, debe aumentarse el orden del filtro o modificar la frecuencia de corte elegida y volver comprobar las especificaciones. Este proceso ha sido utilizado en este problema y hemos llegado a los siguientes resultados: vonhann: N=23 F C =.37 Ap=.9 db As=4dB Hamming: N=23 F C =.32 Ap=.58 db As=4.dB Blackman: N=29 F C =.28 Ap=.98 db As=4.dB El filtro Blackman tiene la mayor longitud y un mayor ancho de transición pero el nivel de los lóbulos de los lados es el menor. 22

23 2 vonhann - hamming - blackman -2 Magnitud (db) Frecuencia Digital 23

24 Ejemplo : Diseñar un filtro pasabanda con las siguientes especificaciones: Pasabanda [4,8]KHz, Parabanda [2,2]KHz A p =3dB A s =45dB S F =25KHz Calculamos primero la frecuencia central f =6KHz. Para hacer que la Parabanda tenga una frecuencia central igual a la Pasabanda por lo que cambiamos la frecuencia de 2KHz por una frecuancia de KHz. Normalizamos las frecuencias y aplicamos las fórmulas de la Tabla 2, para pasarlo al protipo pasobajo : PasaBanda[.6,.32] ParaBanda[.8,.4] F =.24 F p =(F p2 -F p )/2=.8 F s =(F s2 -F s )/2=.6 Utilizamos el filtro de Hamming, para el que N W S /(F s -F p ) 24 y comenzamos el proceso de intentar y errar hasta que llegamos a una solución aceptable. Una vez determinada la secuencia h w [n] que especifica el filtro, lo convertimos a un filtro pasabanda a través de la relación de la Tabla : h BP [n]=2cos(2πnf ) h w [n]=2cos(.48πn) h w [n]. El resultado final obtenido es un filtro con N=27, F C =.956, A p =3.dB a 4 KHz y 8 KHz, A s =45.dB a 2KHz y db a 2 KHz. 24

25 Filtro Pasabanda usando una ventana de Hamming Frecuencia Digital 25

26 Filtros FIR de Media Banda : Veamos qué sucede si diseñamos un filtro pasabaja en el que la frecuencia de corte es F C =.25. La respuesta a impulso es h[n]=2f C sinc(2nf C )=.5sinc(.5n), de forma que si el orden N es impar, h[n]= para n par (ver ejemplo T). En este caso la frecuencia de muestreo debe ser S F =4f (o 4f c ). La función de Transferencia H(F) tiene antisimetría respecto a F=.25 : H(F)=-H(.25-F) Filtros de Media Banda usando la ventana Kaiser : Para esta ventana con N=9 y β=.5, w[n]={.588,.7497,.8838,.972,,.972,.8838,.7497,.588}, y h N [n] w[n]={,-.795,,.388,.5,.388,,-.795,}=h w [n]. H(z)= z z z z -6. Este tipo de filtros con la ventana Kaiser muestra un rizado tanto en la pasabanda (δ p ) como en la parabanda (δ s ). Estos dependerán de las atenuaciones especificadas en las dos bandas. Con estos datos se diseña la ventana Kaiser con el parámetro β más adecuado. 26

27 .2 +δ p -δ p δ s δ s Frecuencia Digital Dos importantes características de los filtros de media banda son : Su implementación requiere sólo de aprox. N/2 multiplicadores debido a los ceros de los coeficientes del filtro. Se puede obtener un filtro pasoalto a partir del espectro complementario : H HP (z)=z -(N-)/2 H co (z). 27

28 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal Ejemplo : Diseñar un filtro parabanda de media banda con las siguientes especificaciones : Parabanda [2 KHz-3 KHz], Pasabanda [ KHz-4 KHz], A p =db y A s =5dB. Calculamos la frecuencia de muestreo necesaria para realizar el filtro. S F =4f =4(3+2)/2= KHz. Ahora se determinar las frecuencias digitales Fp y Fs de acuerdo con la Tabla 2, diseñandose un prototipo de filtro pasabaja. Una vez obtenido se transforma a un filtro parabanda con las expresiones de la Tabla. El resultado final para un filtro de este tipo con una ventana Kaiser es : N=3, A p =.46 db a 2 KHz y 3 KHz y A s =53.2 db a y 4 KHz. Los pasos a realizar no se muestran explicitamente puesto que este tipo de diseño se realiza de forma automática por métodos de CAD. En concreto, haremos estos diseños utilizando MATLAB. Especificaremos el tipo de filtro a realizar (pasobajo, pasoalto, etc), la frecuencia de muestreo, las frecuancias de pasabanda y parabanda y sus respectivas atenuaciones, así como el tipo de ventana que deseamos utilizar. Con estos datos el programa realiza el diseño del filtro proporcionando el orden, los coeficientes y las especificaciones reales del filtro. 28

29 kaiser window: n = 3 Fc =. ap = as = Digital Freq F 29

30 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal Método del Muestreo Frecuencial Se trata de reconstruir el espectro continuo X(F) de una señal discreta a partir de los muestreos de la función X(F). El espectro reconstruido X N (F) será igual a X(F) sólo en las frecuencias de muestreo. Se puede considerar el DFT de la señal h N [n] de longitud N como N muestreos de su DTFT (H(F)) en F=k/N, k=,,...,n-. N H ( F) = h [] n exp( j2πnf) df H [] k = h [] n exp( j2πnk N) N N N N k= La respuesta a impulso h N [n] se calcula con el IDFT, h N N N [] n = H [] k exp( j2πnk N) k= N Proceso de diseño Los muestreos deben hacerse en un periodo (,) de la extensión periódica de H(F). La fase de H(F) es lineal y por tanto cada uno de los muestreos tiene una fase dada por φ(k)=-πk(n-)/n, k=,...,n. 3

31 Para minimizar el efecto Gibbs en las discontinuidades, permitimos que los valores de muestreo varíen lentamente en las discontinuidades. Ejemplo : Diseñar un filtro pasobajo dado por la respuesta frecuencial de la figura. Tomamos muestras. La fase de cada una de las muestras es -πk(n-)/n H[]= H[]=exp(-j.9π) H[2]=exp(-j.8π) H[3]= H[4]= H[5]=. H[]=-.95-j.39 H[2]=.89+j Los valores H[5]... H[9] se calculan teniendo en cuenta que la respuesta frecuencial debe ser simétrica en módulo y asimétrica en fase: H[6]= H[7]= H[8]=.89-j.5878 H[9]=-.95+j.39. Haciendo la IDFT de estos H[k] obtenemos la secuencia h[n], h[n]={.76,-.794,-.,.558,.452,.452,.558,-.,-.794,.76} En la respuesta frecuencial de este filtro se observa que efectivamente pasa por los puntos de muestreo pero a costa de un sobreimpulso. Para suavizarlo, se puede sustituir los muestreos H[3] por.5exp(-j2.7π). Haciendo el IDFT de la nueva secuencia de muestreos H[k] obtenemos el filtro, h[n]={.28,.57,-.,.66,.58,.58,.66, -.,.57,.28} 3

32 .2 Filtro Pasobajo usando Muestreo Frecuencial Frecuencia Digital 32

33 Podemos combinar las ventajas del diseño con ventanas estudiado anteriormente y el método de muestreo frecuencial para tener un método de diseño de filtros de respuesta frecuencial arbitraria. Se muestrea la respuesta frecuencial deseada con un número alto de puntos (M=52). Hacemos el IDFT y obtenemos la respuesta h[n]. h[n] es demasiado largo, así que debemos truncarlo a una secuencia más pequeña con una ventana. Si el diseño no cumple las especificaciones podemos cambiar N, el ancho de pasabanda o ajustar los muestreos en la zona de transición. Métodos Basados en criterios de optimización Se trata de utilizar criterios para minimizar el máximo error en la aproximación. Hay tres importantes conceptos en diseño óptimo, El error entre la aprox. H(F) y la respuesta deseada D(F) debe tener igual rizado. 33

34 La respuesta frecuencial H(F) de un filtro cuya respuesta a impulso h[n] es una secuencia simétrica puede ponerse como M HF ( ) = α n( F) cos( 2πnF) k= donde M está relacionado con la longitud del filtro N. Esta forma es un polinomio de Chebyshev. Debemos escogerα n para que el diseño se óptimo. El teorema de la alternancia ofrece una pista para seleccionarα n. El Teorema de la Alternancia : Aproximamos D(F) por una forma polinomial de Chebyshev obteniendo H(F). Se define el error ponderado en la aproximación ε(f) como ε(f)=w(f)[d(f)-h(f)] El teorema dice que se pueden encontrar al menos M+2 frecuencias F k, k=,2,...,m+2 llamadas frecuencias extremas donde El error varía entre dos máximos y mínimos iguales ε(f k ) = -ε(f k+ ) k=,2,...,m+ El error en la frecuencia F k es igual al máximo error absoluto. ε(f k ) = ε(f) max k=,2,...,m+2 34

35 Existe un algoritmo llamado Parks-McClellan (PM) para determinar esas frecuencias. Este algoritmo necesita los siguientes datos: las frecuencias F p y F s, la relación δ /δ 2 de los errores en la pasabanda y en la parabanda y la longitud N del filtro. Devuelve los coeficientes α n y los valores reales de δ y δ 2. El filtro parabanda diseñado anteriormente ha sido rediseñado utilizando este algoritmo. El resultado es un filtro de N=2, δ =.2225dB y δ 2 =56.79 db. La respuesta frecuencial se muestra en la figura. 35

36 Length N = 2 PB/SB Attn from db = [ ] db Digital Frequency F 36

37 Filtros FIR de horizontalidad máxima Se trata de diseñar un filtro cuyas 2L- derivadas en F= y sus 2K- derivadas en F=.5 sean cero. La longitud del filtro viene dada por N=2(K+L)- y es por tanto impar. Los enteros K y L se determinan a partir de las frecuencias de pasabanda y parabanda que corresponden a atenuaciones de.5 db y 26 db. Por ejemplo, se pide un filtro pasobajo cuyas frecuencias digitales F p =.2 y F s =.4. Obtenemos un filtro de N=27..2 Filtro Pasobajo de Horizontalidad Máxima Frecuencia Digital 37

38 Diseño de Filtros FIR con MATLAB Funciones de MATLAB para realizar filtros FIR: Función FIR >> B = fir(n,wn,type,window); Diseña un filtro FIR pasobajo de orden N (longitud N+) y frecuencia de corte Wn (normalizada con respecto a la frecuencia de Nyquists, Wn ). Se pueden especificar otro tipo de filtros de la misma forma que con los filtros IIR mediante el parámetro type. Por ejemplo, para un filtro parabanda: >> B = fir(n,[w W2],'stop'); Por defecto la función FIR usa la ventana de Hamming. Otro tipo de ventanas pueden también especificarse: >> B = fir(n,wn,bartlett(n+)); >> B = fir(n,wn,'high',chebwin(n+,r)); Función FIR2 >> B = fir2(n,f,m,window); Diseña un filtro FIR utilizando el método del muestreo frecuencial. Los parámetros de entrada es el orden del filtro N (longitud N+) y dos vectores F y M que especifican la frecuencia y la magnitud, de forma que plot(f,m) es una gráfica de la respuesta deseada del filtro. 38

39 Diseño de Filtros FIR con MATLAB Se pueden indicar saltos bruscos en la respuesta frecuencial duplicando el valor de la frecuencia de corte. F debe estar entre y, en orden creciente, siendo el primer elemento igual a y el último. El parámetro window indica el tipo de ventana a utilizar. Por defecto, usa la ventana de Hamming. >> B = fir2(n,f,m, bartlett(n+) ); Se pueden especificar más parámetros en esta función, >> B = fir2(n,f,m,npt,lap,window); La función fir2 interpola la respuesta frecuencial deseada (F,M) con npt puntos (por defecto, npt=52). Si dos valores sucesivos de F son iguales, se crea una región de lap puntos alrededor de este punto (por defecto, lap=25). Función FIRLS >> B = firls(n,f,m); Diseño de filtros FIR usando la minimización del error por mínimos cuadrados. Los argumentos de entrada son el orden del filtro N, y dos vectores F y M, cuyo formato difiere de los análogos en la función fir2. El filtro obtenido es la mejor aproximación a (F,M) por mínimos cuadrados. 39

40 Diseño de Filtros FIR con MATLAB F es un vector que indica los límites de las bandas de frecuencia en parejas (por tanto el tamaño de F debe ser par), y en orden ascendente entre y. M es un vector del mismo tamaño que F que indica la magnitud deseada para cada banda de frecuencias. La respuesta deseada es la línea que conecta los puntos (F(k),M(k)) y (F(k+),M(k+)) para k impar. Las bandas de frecuencia entre F(k+) y F(k+2) para k impar son tratadas por firls como bandas de transición. También existe un argumento opcional que consiste en un vector W cuyo tamaño es la mitad de F. W es un factor de ponderación del error para cada banda de frecuencias. >> B = firls(n,f,m,w); H(F) Bandas de Transición M() M(2) M(5) M(3) M(4) M(6) F()= F(2) F(3) F(4) F(5) F(6)= F 4

41 5º Curso-Tratamiento Digital de Señal Diseño de Filtros FIR con MATLAB Algoritmo de Parks-McClellan Hay dos funciones en MATLAB para realizar este algoritmo: remezord y remez. >> [N,Fo,Mo,W] = remezord(f,m,dev,fs) Calcula el orden N, las bandas de frecuencia normalizadas Fo, las magnitudes en esas bandas Mo y los factores de ponderación W que luego serán utilizados como argumentos de entrada de la función remez. Estos valores cumplen las especificaciones dadas por F, M, DEV. F es un vector de frecuencias de corte en Hz, en orden ascendente entre y Fs/2. Si no se especifica Fs, Fs=2 por defecto. El primer elemento de F es siempre y el último es siempre Fs/2, pero no deben ser especificados en el vector F. El vector M indica la respuesta deseada en cada banda. Por tanto, el vector M tiene un tamaño igual a (length(f)+2)/2. DEV es un vector que indica el máximo rizado permitido en cada banda. Ver la gráfica de la página siguiente. >> b = remez(n,fo,mo,w); Con los valores obtenidos en la función remezord, podemos implemantar el algoritmo de Parks-McClellan. Fo y Mo son dos vectores de igual magnitud. Fo(k) y Fo(k+) k impar especifica bandas de frecuencia y Mo(k) y Mo(k+) la correspondiente magnitud para cada frecuencia. El filtro obtenido es la mejor aproximación por minimax. 4

42 Diseño de Filtros FIR con MATLAB H(F) Bandas de Transición M() M(3) M(2) F= F() F(2) F(3) F(4) F=F s /2 F Ejemplo : Diseñar un filtro FIR pasabanda a frecuencias de 3 Hz y 35 Hz por cada uno de los diferentes métodos. Utilizar un mismo orden de filtro (por ejemplo N=44) y comparar las respuestas frecuenciales. >> N=44;Fs=2;Fny=Fs/2; >> Bfir = fir(n,[3 35]/Fny); >> Bfir2 = fir2(n,[ Fny]/Fny,[ ]); >> Bfirls = firls(n,[ Fny]/Fny,[ ]); >> Bremez = remez(n,[ Fny]/Fny,[ ]); 42

43 Diseño de Filtros FIR con MATLAB >> F=::5; >> Hfir=abs(freqz(Bfir,,F,Fs); >> Hfir2=abs(freqz(Bfir2,,F,Fs); >> Hfirls=abs(freqz(Bfirls,,F,Fs); >> Hremez=abs(freqz(Bremez,,F,Fs); >> semilogy(f,hfir,'r',f,hfir2,'g',f,hfirls,'y',f,hremez,'m'); Respuesta frecuencial: -- fir, -- fir2, -- firls, -- remez

44 Apéndice Tablas de Transformaciones Espectrales 44

45 Tabla Transformaciones de Filtros pasobajo Tipo H(F) ideal Respuesta a Impulso h[n] H F F F h n = 2F sinc 2nF Pasobajo ( ) = rect LP ( 2 C ) [] ( ) LP C C Pasoalto H ( F) H ( F) Pasoalto ( ) = ( ) = rect ( - ) HP = - LP hhp[] n = δ[] n hlp[] n [ 2 2 ] H F H F F F HP LP 2 C rect Pasabanda HBP( F) = rect [( F F ) 2FC ] ( F F ) 2FC + + [ ] 2 cos π ( ) n h [] n LP ( 2 nf ) h [] n Parabanda H ( F) = H ( F) δn [] h [] n BS BP BP LP 45

46 Tabla 2 Transformaciones a Prototipos de Pasobajo F p, F p2, F s y F s2 = límites de pasabanda y parabanda, F = Frecuencia Central Para BS y BP se asume que tienen simetría respecto a F Transformación Límite de Pasabanda Límite de Parabanda Frecuencia Central HP2LP Fp = FsHP Fs = FpHP Si h HP [n]=δ[n]-h LP [n] HP2LP Fp = F F php s = F shp Si h HP [n]=( ) n h[n] 2 2 F ( F F ) BP2LP p = 2 F p 2 p s = ( Fs F 2 2 s ) F = 2( Fp2 + Fp ) F ( F F ) BS2LP p = 2 s 2 s Fs = 2( Fp2 Fp ) F = 2( Fp2 + Fp ) 46