Capítulo 5: Ejemplos Prácticos

Transcripción

1 Capítulo 5: Ejemplos Prácticos Ya se han detallado los aspectos constitutivos de los resultados logrados en este trabajo. Estamos en disposición, entonces, de presentar algunos ejemplos interesantes derivados del uso del software generado. En este capítulo, con lo cual, mostraremos algunas de las posibles aplicaciones docentes de cara al profesorado y al alumnado de nuestra asignatura o cualquier otra que también comprenda los bloques de contenido implementados. Dichas aplicaciones se verán en forma de ejemplos con cada uno de los applets a los que se ha llegado. Desde el principio se ha incidido en la importancia de no considerar nuestra aplicación web como una herramienta aislada. Se le puede sacar mucho más provecho si se complementa con otro tipo de recursos, bien sea para verificar los resultados proporcionados por la misma o bien para partir de los mismos y generar otros nuevos. Como herramienta complementaria, de cara a estos ejemplos, se podría hacer uso del software denominado Matlab. Se trata de un software matemático creado por The MathWorks en Hace uso de un lenguaje de programación propio, lenguaje M, disponible para Unix, Windows y Apple MAC. Entre sus prestaciones se encuentran el tratamiento de matrices, representación de datos y funciones. Además cuenta con dos herramientas que aumentan sus prestaciones, tales como Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario). Estas prestaciones pueden aumentarse mediante toolboxes para MATLAB y los denominados blocksets para Simulink. En todos los casos que vamos a plantear se puede utilizar el programa Matlab para corroborar la veracidad de los procedimientos implementados en nuestro software. Este proceso no se mostrará explícitamente. Sería importante también transmitir al alumno que esta comprobación se puede y se debe seguir realizando a mano. Sí que merece la pena mostrar los resultados que podemos obtener con Matlab y que complementan a nuestros applets de Java. El caso más evidente será para el estudio de las propiedades de la DFT.

2 5.1 Ejemplo 1: DFT, Muestreo del Espectro e IDFT En este primer ejemplo nos vamos a centrar en el módulo de las transformaciones espectrales. Se pretende realizar una comparación entre las dos primeras para una misma señal origen, mientras que para la transformada inversa se considerará otro ejemplo incorrelado Comparativa de la DFT y el muestreo Sea la señal = , con Es decir, su longitud es de 115 muestras. Vamos a estudiar qué es lo que ocurre con la DFT o el muestreo del espectro resultantes al modificar los parámetros del cálculo. Consideremos que el número de puntos de las operaciones es N = 64. Variaremos en primer lugar el instante de comienzo de la secuencia. En las gráficas siguientes se muestran los casos de =0,± SEÑALES TEMPORALES DE LA DFT CON N=64 Y N 5.1 N=64 Y N0=0 2

3 5.2 SEÑALES TEMPORALES DEL MUESTREO CON N=64 Y N 5.2 N=64 Y N0=0 5.3 RESULTADO DE LA DFT CON C 5.3 ON N=64 Y N0=0N 3

4 5.4 RESULTADO DEL MUESTREO DEL ESPECTRO CON N=64 Y N 5.4 N=64 Y N0=0 5.5 SEÑALES TEMPORALES DE LA DFT CON N=64 Y N 5.5 N=64 Y N0=-15 4

5 5.6 SEÑALES TEMPORALES DEL MUESTREO CON N=64 Y N 5.6 N=64 Y N0= RESULTADO DE LA DFT CON C 5.7 ON N=64 Y N0=-15N 5

6 5.8 RESULTADO DEL MUESTREO DEL ESPECTRO CON N=64 Y N 5.8 N=64 Y N0= SEÑALES TEMPORALES DE LA DFT CON N=64 Y N 5.9 N=64 Y N0=15 6

7 5.10 SEÑALES TEMPORALES DEL MUESTREO CON N=64 Y N 5.10 N=64 Y N0= RESULTADO DE LA DFT CON C 5.11 ON N=64 Y N0=15N 7

8 5.12 RESULTADO DEL MUESTREO DEL ESPECTRO CON N=64 Y N 5.12 N=64 Y N0=15 Vemos que los resultados para la DFT y para el muestreo de la DTFT no coinciden en ninguno de los casos presentados. Esto es debido al solapamiento que se produce debido a que la longitud de la secuencia es mayor que el número de puntos tomados para las operaciones. Donde mejor se puede observar esta disparidad es en las ventanas de las señales temporales, concretamente en la gráfica de la señal preparada para calcular la transformación (la señal recortada en el supuesto de la DFT y la extensión periódica en el otro caso). Al cambiar el valor de podemos extraer varias conclusiones: Cuando cambiamos el valor del instante inicial en el marco del applet, la expresión analítica no se vuelve a calcular. Lo que se hace es un desplazamiento de la secuencia que teníamos hasta el instante de comienzo deseado. De esta manera, la forma de la secuencia no se ve alterada. Se emula así el comportamiento que se tendría si se hubiese introducido una señal como una serie de valores. Es decir, la señal original pasa a ser en lugar de ser de nuevo pero ahora evaluada en el intervalo + 1. El otro comportamiento citado, igualmente válido, sólo requeriría un pequeño cambio en el código del applet. 8

9 La DFT se ve alterada, tanto en módulo como en fase. No podía ser de otro modo, puesto que la señal recortada no tiene nada que ver en los tres casos planteados. El muestreo del espectro también se ve alterado, pero sólo en su fase. Esto también es lógico que sea así por la propiedad del desplazamiento en el tiempo de la DFT. Sería interesante para los alumnos observar cuáles son los efectos de modificar el valor de N Cálculo de una transformada inversa Vamos a centrarnos ahora en el cálculo de una IDFT con la aplicación, como segunda parte del primer ejemplo. Para ello, partimos de la secuencia en el dominio de la frecuencia ={28+21, ,, , 4 3, , 8 7, }. Analicemos los resultados gráficos RESULTADO DE LA IDFT DE 8 PUNTOS DE X[K] X 5.13 La señal original y la señal recortada coincidirán puesto que L = N. 9

10 Si consideramos otros valores para N, este supuesto ya no se cumplirá. Si se toma N<8, se seleccionarán las primeras muestras de la original. Si se toma N>8, se añaden muestras nulas (operación zero-padding) RESULTADO DE LA IDFT DE 4 PUNTOS DE X[K] X

11 5.15 RESULTADO DE LA IDFT DE 32 PUNTOS DE X[K] X Los resultados de la transformada inversa se vuelven impredecibles. Con Matlab podríamos verificar el resultado determinando la expresión analítica del resultado de la IDFT. Esto es sencillo utilizando la orden ifft. 11

12 Con el valor N = 4, la secuencia que proporciona Matlab es la que sigue: = { }={ ,5+7, ,9+3 } 5.2 Ejemplo 2: DFT de una señal compleja Si con este software no es posible obtener la transformada discreta de Fourier de una secuencia compleja, se puede pensar que su funcionalidad es bastante limitada. Nada más lejos de la realidad, ya que como dijimos en la práctica la inmensa mayoría de las señales temporales con las que se trabaja son reales. Además, nuestro programa sí que permite calcular la DFT de cualquier señal, sea imaginaria o no. Para verlo, nos centraremos en el ejemplo de la IDFT del apartado anterior. Intentaremos realizar el proceso al contrario, a partir de la señal temporal a la que se llegó obtener su DFT asociada. Es necesario hacer uso de algunas de las propiedades de la transformada, puesto que si se introduce una señal compleja directamente en el dominio del tiempo el applet proporciona un mensaje de error. Tendremos que calcularla a partir de transformadas de señales reales, en exclusiva. Específicamente, nos van a servir las propiedades de simetría. Vamos a definir, en primer lugar, dos señales que se denominan parte simétrica conjugada periódica y parte antisimétrica conjugada periódica de una señal compleja. Consideremos una señal definida en el intervalo 0 1. Pues bien, siempre puede descomponerse como = +, siendo la parte simétrica y la parte antisimétrica. Las cuales vienen dadas por = ; = 1 2 ; En consonancia con estas definiciones, si la DFT de N puntos de es la señal, entonces se puede demostrar que se verifica que la DFT de N puntos de la parte real de es la parte simétrica conjugada periódica de, mientras que la DFT de I { } será. 12

13 Calculemos de este modo la DFT de 8 puntos de la señal resultado del último ejemplo. Sea ={0,1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+,7} la señal compleja de partida. A través del programa calculamos las transformadas de su parte real y de su parte imaginaria (ambas señales reales) DFT DE DE 8 PUNTOS DE LA PARTE REAL R DE X[N] X DFT DE DE 8 PUNTOS DE LA PARTE IMAGINARIA I DE X[N] X 13

14 como Con lo cual, la DFT de se hallará a partir de las 2 gráficas anteriores = + = R { } + { } = R { } { } ; El resultado analítico se puede calcular de manera aproximada utilizando el programa Matlab. 5.3 Ejemplo 3: Diseño de filtros IIR en función del prototipo En este punto se va a utilizar el módulo apropiado para realizar un ejemplo de diseño de filtros IIR. Se fijarán unas especificaciones concretas y se diseñarán los filtros con cada uno de los prototipos continuos posibles. Prestaremos atención a cómo varía el orden del filtro en cada caso y la forma del diagrama polo-cero o del espectro en frecuencia asociados. prototipos. Especificaciones: Filtro BP. =1.6, =2.8. =1.4, =2.95. ^= ^ =0.002, ^ =0.2. A partir de aquí, se lleva a cabo la implementación utilizando los tres Tipo de Prototipo Orden Resultante Butterworth 70 Chebyshev Tipo I 28 Chebyshev Tipo II 28 TABLA 5.1 ORDEN ASOCIADO A LOS DISTINTOS TIPOS DE PROTOTIPO P 5.1 De igual modo, se muestran en las figuras siguientes los diagramas polocero para cada caso. 14

15 5.18 DIAGRAMA POLO-CERO CON PROTOTIPO BUTTERWORTH B DIAGRAMA POLO-CERO CON PROTOTIPO CHEBYSHEV TIPO I

16 5.20 DIAGRAMA POLO-CERO CON PROTOTIPO CHEBYSHEV C TIPO II 5.20 Los filtros que se basan en los prototipos continuos tipo Butterworth y Chebyshev I, como no podía ser de otro modo, tienen todos sus ceros en =±1. Esto es porque los filtros continuos tienen todos sus ceros en el infinito y tras las transformaciones pertinentes se alojan en esos puntos del eje z. Al contrario, si nos basamos en un prototipo Chebyshev tipo II, sí que aparecerán ceros en otros puntos del plano. Por su parte, el análisis de los órdenes necesarios para cada tipo nos proporciona la conclusión que por la teoría ya se sabía. Un filtro Butterworth, debido a su característica máximamente plana, requiere un orden mayor que un filtro Chebyshev que incorpora un cierto rizado en alguna de las bandas. También podemos mostrar la respuesta en frecuencia en el caso Chebyshev tipo II, por ejemplo, tal y como se muestra en la figura que sigue. 16

17 5.21 RESPUESTA FRECUENCIAL CON PROTOTIPO CHEBYSHEV HEV TIPO II 5.21 La respuesta en magnitud queda normalizada a la unidad, tal y como se puede apreciar. Este valor se puede modificar utilizando el cuadro de texto apropiado. Se observa claramente que la fase no es lineal, cosa que ya sabíamos puesto que no es tenida en cuenta en el diseño. Comprobamos así que la fase carece por completo de sentido. Por otro lado, el rizado que aparece en las bandas de rechazo no se distingue puesto que el valor de la atenuación mínima es muy pequeño (recordemos que al pasar al filtro prototipo se escoge la menor de las dos atenuaciones). Así que podemos cambiar las especificaciones asociadas a amplitudes y analizar los espectros obtenidos al utilizar los tres tipos de prototipos continuos posibles. Tomamos: ^=0.15. ^ =0.25, ^ =

18 5.22 RESPUESTA FRECUENCIAL CON PROTOTIPO BUTTERWORTH RESPUESTA FRECUENCIAL CON PROTOTIPO CHEBYSHEV TIPO I RESPUESTA FRECUENCIAL CON PROTOTIPO CHEBYSHEV TIPO II

19 5.4 Ejemplo 4: Diseño de filtros FIR en función de la ventana Nos planteamos aquí algo parecido a lo que se hacía en el ejemplo precedente. Se trata de completar el diseño de un filtro, en este caso FIR, con unas determinadas especificaciones. El análisis y la comparación de los resultados que se obtienen al elegir una ventana u otra son inmediatos con el applet diseñado a tal efecto. Especificaciones: Filtro BS. =0.2, =2.5. =0.4, =2.35. Si realizamos el proceso para las distintas ventanas, Tipo de Ventana As[dB] Orden Resultante Rectangular Hanning Hamming Blackman Kaiser TABLA 5.2 ORDEN ASOCIADO A LAS DISTINTAS VENTANAS 5.2 Para la ventana Kaiser se ha escogido el valor más restrictivo de A s. Sin embargo, el orden requerido es bastante menor que en la correspondiente ventana fija. Esto es razonable, ya que el diseño realizado para el logro de esta familia de ventanas era cuasi-óptimo. Es decir, el mejor posible. Por otro lado, si nos centramos en las ventanas fijas, el orden va creciendo conforme se disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios permitida. Esto es así porque el orden viene dado por el ancho del primer lóbulo del espectro de la ventana, que estará relacionado con el ancho de la banda de transición. A mayor ancho del lóbulo, para un valor fijo de la banda, mayor será el orden requerido. 19

20 Y la ventana rectangular es la que tiene menor ancho del lóbulo principal, mientras que la Blackman es la que tiene el mayor. Si nos fijamos ahora en los espectros resultantes para cada caso, podremos extraer nuevas conclusiones RESPUESTA EN FRECUENCIA CON VENTANA RECTANGULAR RESPUESTA EN FRECUENCIA CON VENTANA HANNING NG

21 5.27 RESPUESTA EN FRECUENCIA CON VENTANA HAMMING RESPUESTA EN FRECUENCIA CON VENTANA BLACKMAN RESPUESTA EN FRECUENCIA CON VENTANA KAISER

22 Vemos que todos los filtros poseen fase lineal generalizada. Esta es la característica fundamental que buscábamos con estos diseños. Conforme mayor es el orden del filtro, más abruptas son las transiciones en el espectro en magnitud. Y la amplitud de los lóbulos secundarios se hace tan pequeña que incluso ni se reconocen. Dependiendo de la paridad del orden del filtro podíamos tener fase lineal generalizada tipo I o tipo II. Por el contrario, en nuestro ejemplo no podemos encontrarnos con ninguno que sea del segundo tipo. Esto es debido a que un filtro BS no puede tener un cero en = 1, cosa que sucede de forma obligatoria en todos los sistemas con fase lineal generalizada tipo II. Esto ya se comentó, pero lo vemos muy claramente si tomamos una captura de la ventana en la que se muestran los coeficientes para el caso de la ventana Kaiser VENTANA DE COEFICIENTES ES MOSTRADA CON VENTANA KAISERK 5.30 Junto con los parámetros más importantes del filtro, aparece un aviso para indicar al usuario que el orden ha debido ser aumentado en una unidad. Por último hay un aspecto a tener en cuenta que se puede observar si nos fijamos en la ventana de los coeficientes asociada a la ventana Blackman. Tiene que ver con la aritmética de precisión finita presente en los cálculos, que hace que algunos resultados no sean correctos. En concreto, el primer coeficiente debería ser nulo puesto que w[0 ] = 0 si se calcula analíticamente. 22

23 5.31 VENTANA DE COEFICIENTES ES MOSTRADA CON VENTANA BLACKMAN 5.31 Si prestamos atención, vemos que h[0 ] no se anula (aunque tiene un valor muy pequeño). 0 = =0; Pero al realizar la operación en el programa Java, el cálculo no sale exactamente nulo, sino que tiene un valor distinto de cero (aunque bastante pequeño). 23