SEÑALES Y SISTEMAS Clase 10

Transcripción

1 SEÑALES Y SISTEMAS Clase 1 Carlos H. Muravchi 9 de Abril de 18 1 / 6 Habíamos visto: Sistemas en general Generalidades. Propiedades. Invariancia. Linealidad. Y se vienen hoy: Sistemas grales: Causalidad. Estabilidad. Combinación. Sistemas Lineales. Convolución discreta. Convolución continua. Invariancia, causalidad, Estabilidad EA/SA. (si entra) / 6

2 Sistemas variantes Vimos invariantes en el tiempo e invariantes al desplazamiento Si no son invariantes, son variantes: SVT y SVD. El operador de un SVT cambia según el instante en que se aplica la señal. Por ejemplo, se debe denotar y[n] = H {x( )}[n] indicando que se aplicó la secuencia x[ ] en el instante y se observa su respuesta y[ ] en el instante n. De manera similar para sistemas IT. Ejemplo 1: Celular - enlaces ascendente (móvil a base) y descendente (base a móvil): camino variable de las ondas EM. Ejemplo : Guiado - vehículo con masa variable por consumo de combustible (recordar F = d(m v) dt ). / 6 Causalidad Intuición: dado un cambio a la entrada, la respuesta al mismo aparece en la salida de un sistema causal solamente después del cambio en la señal de entrada. Sistemas físicos: son causales. Sistemas con señales VIC o VID que no son tiempo pueden dar sistemas anticipativos o no-anticipativos. En la computadora es fácil tener sistemas anticipativos. Por ejemplo: o en imágenes. y[n] = x[n 1] + x[n] + x[n + 1] 6 / 6

3 Estabilidad 1 Intuición: Un sistema es estable si para una perturbación de entrada de pequeña amplitud, no se aparta demasiado del punto donde estaba y/o retorna a él, más o menos lentamente. 7 / 6 Estabilidad Hay varios tipos de estabilidad (se verá más en Control, Control moderno) asintótica, exponencial, uniforme, etc. Usaremos una forma simple: estabilidad en sentido entrada-acotada/salida-acotada, denotada EA/SA. Estabilidad EA/SA intuición: para cualquier entrada acotada la salida también resulta acotada. Entrada acotada: significa que existe < K e < tal que x[n] < K e, n Z. x[n] = e n no es acotada; x[n] = cos(πf n + φ) es acotada pues cualquier K e 1 es una cota. Estabilidad EA/SA: Un sistema es estable EA/SA si aplicar cualquier entrada acotada causa que exista un < K s < tal que y[n] < K s, n Z; o sea, que la salida sea acotada. Igualmente para sistemas continuos. 8 / 6

4 Estabilidad ejemplos Ejemplo 1: ẏ(t) = y (t) + x(t), con condición inicial y() = y > y entrada nula x(t) = ẏ y = 1 y(t) y dy t y = dτ 1 ] y(t) y y = t Luego t = 1 y 1 y(t) y finalmente y(t) = y 1 y t que vale para t < 1/y y explota para t 1/y. Y si y <? Ejemplo : ẏ(t) ay(t) = x(t) con condición inicial y() = y, a > y entrada nula x(t) =. ẏ y = a log y(t) y = at y(t) = y e at Ej. 1 ye t Ej. y y 1/y t t 9 / 6 Estabilidad ejemplo discreto Ejemplo : y[n]: balance de una cuenta bancaria; α: tasa diaria de interés; x[n]: depósitos diarios. Entonces y[n + 1] = (1 + α)y[n] + x[n] Si comienzo el día cero con y[] = y y nunca deposito nada, y[1] = (1 + α)y + y[] = (1 + α)y[1] = (1 + α) y y[n] = (1 + α) n y... como α es positivo, seré rico si vivo lo suficiente! 1 / 6

5 Combinación de sistemas en general Serie o cascada Sistema 1 Sistema Paralelo Sistema 1 Sistema Realimentación + Sistema 1 Sistema 11 / 6 Sistemas Lineales Recordamos al operador que representa a un sistema: { y(t) = H{x( )}(t) VIC Sistema Lineal: es homogéneo y aditivo. y[n] = H{x[ ])}[n] VID O de manera equivalente, satisface el Principio de Superposición: para constantes cualesquiera a, b R y dos entradas arbitrarias x 1 (t), x (t) C e, se forma x(t) = ax 1 (t) + bx (t). Sean y 1 (t) = H{x 1 ( )}(t) e y (t) = H{x ( )}(t), entonces H satisface el principio de superposición si cumple y(t) = H{x( )}(t) = ay 1 (t) + by (t) Similar para sistemas discretos. 1 / 6

6 Incrementalmente lineales Recordar el Ejemplo de Sistemas con Memoria. y(t) = v C ()e t/rc + 1 RC t e (t σ)/rc x(σ) dσ El sistema no es homogéneo ni aditivo; no es lineal!! 1 / 6 Incrementalmente lineales A qué se debe? Al término con las condiciones iniciales. Eso motiva Definición: sistemas en los que la diferencia de las salidas para cualesquiera dos funciones de entrada es una función lineal. Forma general de sistemas incrementalmente lineales y x(t) sistema lineal ȳ(t) y(t) + 1 / 6

7 Invariancia en el tiempo Sistema VIC. 1. Se aplica x 1 (t) y se obtiene y 1 (t) = H{x 1 ( )}(t).. Si se aplica la misma señal en el instante t, se aplica una x (t) = x 1 (t t ). La salida es y (t) = H{x ( )}(t).. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que y (t) = y 1 (t t ).. Interpretación: la respuesta que da el sistema a una entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no importa en qué instante se la aplica.. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, se denota abreviadamente SLIT. 6. Nota: Esta propiedad es la que le permite considerar en los circuitos RLC que la llave siempre se cierra en t = 16 / 6 Invariancia al desplazamiento Sistema VID. 1. Se aplica x 1 [n] y se obtiene y 1 [n] = H{x 1 ( )}[n]. Si se aplica la misma señal desplazada en n, se aplica una x [n] = x 1 [n n ]. La salida de denomina y [n] = H{x ( )}[n].. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumple que y [n] = y 1 [n n ]. Interpretación: la respuesta que da el sistema a una entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no importa en qué momento se la aplica. Un sistema lineal discreto, que es invariante al desplazamiento, se denota abreviadamente SLID 17 / 6

8 Convolución discreta 1 Ingredientes: Sistemas lineales discretos (manejan SVID) con operador H que satisface el principio de superposición. Tanto para SLID como SLVD. Representación de SVID en términos de impulsos x[n] = x[n ]δ[] = x[]δ[n ] Aplicando H, en la igualdad de la derecha se puede interpretar a x[]δ[n ] como una secuencia con un impulso en de amplitud x[]. y[n] = H x[]δ[n ] [n] = x[]h {δ[ ]}[n] 18 / 6 Convolución discreta y[n] = = x[]h {δ[ ]}[n] = x[] h[n, ] donde h[n, ] es la respuesta impulsional: la respuesta observada en el instante n a un impulso (de Kronecer) aplicado en el instante. 19 / 6

9 Convolución discreta SLVT Ejemplo: x[n] = 1 = 1 x[]δ[n ] con x[ 1] =, x[] =, x[1] = y[n] = 1 = 1 x[] h[n, ] x[n] h[n,-1] h[n,] n n h[n,1] 1 n n / 6 Convolución discreta SLVT 1 1 x[-1] h[n,-1] 1 x[] h[n,] n y[n] = 1 x[] h[n, ] = x[1] h[n,1] 8 y[n] 9 1 n n n 1 / 6

10 Especialización a SLID: Operador básico para todo SL: convolución. SLVD: Convolución discreta - recordar: SLID: y[n] = = x[]h {δ[ ]}[n] = x[] h[n, ] h[n, ] = h[n 1, 1] = h[n, ] h[n ] y[n] = x[]h[n ] = m= x[n m]h[m] Notación: SLID y[n] = {x h}[n] / 6 Convolución gráfica Papeles deslizantes y[n] = x[]h[n ] 1. Dibujar x[] y dejar fija.. Obtener h[ ].. Reflejar h[ ].. Desplazar el origen de h al punto de observación n.. Multiplicar muestra a muestra y sumar, da y[n]. 6. Repetir ) y ) hasta tener todos los puntos deseados. Notar: roles intercambiables de x y h y[n] = x[n m]h[m] m= / 6

11 Convolución gráfica Ejemplo: x y h x[] h[] h[n ] 1 n n 1 n n+1 Por ejemplo, queremos y[ ] x[] 1 1 y[ ]= h[ ] / 6 Convolución gráfica cont. Si queremos y[] x[] 1 1 y[]= h[ ] Si queremos y[] x[] 1 1 y[]= h[ ] / 6

12 Duración x y h de duración finita; x[] 1 1 y[ ]= h[ ] Duración de y: duración de x más duración de h menos 1. 6 / 6 Causalidad Aplicando δ[n] (impulso en cero); la respuesta es h[n] = ; n <. El SLID es causal respuesta impulsional unilateral a derecha. y[n] = = x[n m]h[m] = m= m= h[n m]x[m] = x[n m]h[m] m= n m= h[n m]x[m] Si además, x[n] fuera unilateral a derecha (x[n] ; n < ) y[n] = n h[n m]x[m] m= 7 / 6

13 Convolución continua Ingredientes: Sistemas lineales continuos (manejan SVIC) con operador H que satisface el principio de superposición. Tanto para SLIT como SLVT. Representación de SVIC en términos de impulsos x(t) = x(σ)δ(t σ)dσ Aplicando H se puede interpretar a x(σ)δ(t σ) como una señal con un impulso (Dirac) en σ de área x(σ) { } y(t) = H {x( )} (t) = H x(σ)δ(t σ) dσ (t) Más hipótesis adicionales, definiendo h(t, σ) = H σ {δ( )}(t). 8 / 6 Convolución continua Resulta la convolución para SLVT: y(t) = {x h}(t) = Para SLIT: h(t, σ) h(t σ) luego y(t) = x(σ)h(t σ)dσ = x(σ) h(t, σ)dσ Agregando Causalidad: h(t) ; t < luego h(λ)x(t λ)dλ y(t) = t x(σ)h(t σ)dσ = h(λ)x(t λ)dλ Si además la señal de entrada se aplica en cero, o sea es unilateral a derecha desde t =, x(t) ; t < y(t) = t x(σ)h(t σ)dσ = t h(λ)x(t λ)dλ 9 / 6

14 SLIT - Convolución gráfica Papeles deslizantes y(t) = x(σ)h(t σ)dσ 1. Dibujar x(t) y dejar fija.. Obtener h( ).. Reflejar h( ).. Desplazar el origen de h al punto de observación t.. Multiplicar punto a punto e integrar, da y(t). 6. Repetir ) y ) hasta tener todos los puntos deseados. Notar: roles intercambiables de x y h y(t) = h(σ)x(t σ)dσ / 6 Propiedades de la Convolución y Combinaciones Válidas tanto para SLIT como SLID (con los cambios obvios): Conmutativa: y = {x h} = {h x}. Intercambiabilidad entre respuesta impulsional y entrada. Asociativa: y = {x h 1 h } = {{x h 1 } }{{} {h } {{ }}. } y 1 h h = h 1 h = h h 1 es el sistema equivalente a uno serie. Distributiva: y = {x {h 1 + h }} = {x h }{{} 1 } +{x h }{{} }. }{{} h y 1 y h = h 1 + h es el sistema equivalente a un paralelo. 1 / 6

15 Estabilidad de SLID 1 Teorema: Un SLID es estable en sentido EA/SA sii su respuesta impulsional es absolutamente sumable; es decir existe < K h < tal que h[] K h Demostración: 1) ida y ) vuelta. 1) h abs. sumable es suficiente: Sea una entrada acotada por < K e <, o sea x[n] K e para todo n. El módulo de la salida es y[n] = x[]h[n ] x[] h[n ] K e h[n ] K e K h tomando K y = K e K h la salida resulta acotada. / 6 Estabilidad de SLID ) h abs. sumable es necesaria: sistema EA/SA h es abs. sumable. h NO es abs. sumable sistema NO es EA/SA. Mostraremos una entrada acotada que, suponiendo que h NO es abs. sumable, dará y[n] no acotada. Sea x[n] h[ n]/ h[ n] luego x[n] K e = 1 para todo n. La salida en n = es y[] = = x[]h[ ] = h[ ] h[ ] h[ ] h[ ] = que no está acotada por hipótesis. Luego y no está acotada y entonces el sistema no es EA/SA. / 6

16 Estabilidad de SLIT 1 Paralelo a SLID: Teorema: Un SLIT es estable en sentido EA/SA sii su respuesta impulsional es absolutamente integrable, es decir, existe un < K h < tal que h(τ) dτ K h Demostración: similar a la de SLID. Repase las ideas de la demostración para SLID, haciendo ésta para SLIT. Y si el sistema fuera VT (tanto C como D)? / 6 Próximas Clases Otras representaciones de SLIT y SLID: diagramas de bloques, estados Sistemas Lineales con entradas aleatorias Análisis frecuencial: Transformada de Fourier. Inicio 6 / 6