Tema 2. Análisis de Sistemas en Tiempo Continuo

Transcripción

1 Por definición la convolución es el producto integral de dos funciones desde hasta +. Para hallar la convolución de dos funciones gráficamente, se debe dejar una de ellas fija, transponer la otra y desplazarla a lo largo del eje horizontal desde hasta +. Procedimiento para hallar la Convolución Gráfica de f(t) y g(t) cuyas gráficas están dadas : a. Aplicar la definición de la convolución. b. Realizar el cambio de variable t por x obteniéndose f(x) y g(x) y se grafican las funciones. c. Se halla la transpuesta de la función g(x), lo cual se obtiene cambiando x por x. d. Desplazar t unidades (a la izquierda) la función g( x), obteniéndose la función g(t x). Graficar g(t x) y en la gráfica colocar en el extremo derecho la letra t + desplazamiento y en el izquierdo t + desplazamiento2. e. Determinan los intervalos siguiendo el siguiente criterio: Que g(t x) esté totalmente a la izquierda de f(x) (producto integral = 0), cuando el lado derecho de g(t x) penetra por el lado izquierdo de f(x) o que se solapen (producto integral 0), cuando el lado t + desplazamiento haya salido por el lado derecho de la gráfica de f(x) (producto integral = 0). Resolver las integrales de convolución en cada intervalo f. Sumar los resultados de cada intervalo y graficar. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales

2 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de f(t) con g(t) f(t) g(t) a. Por definición b. Cambio de variable t por x obteniéndose f(x) g(x) Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 2

3 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de f(t) con g(t) c. Transpuesta de g(x) d. Desplazar g( x) t unidades g( x) e. Determinar los Intervalos Intervalo : t+0.5 < 0.5 t < para t < Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 3

4 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de f(t) con g(t) e. Determinar los Intervalos Intervalo 2: t t < t+0.5 < 0.5 < t < = t + para < t < 0 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 4

5 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de f(t) con g(t) e. Determinar los Intervalos Intervalo 3: 0.5 < t+0.5 <.5 0 < t < t 0.5 t+0.5 para 0 < t < Intervalo 4: t 0.5 > 0.5 t > para t > Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 5

6 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de f(t) con g(t) f. Sumar y Graficar resultado Gráfica Resultante 0 t < t+ < t < 0 t 0 < t < 0 t > Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 6

7 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de x(t) con h(t) 3 Cambio de Variable 3 Transponer y desplazar t 3 t Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 7

8 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de x(t) con h(t) Intervalo : 3 t < p (t) = Intervalo 2: 3 < t < p 2 (t) = Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 8

9 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de x(t) con h(t) Intervalo 3: 3 < t < 2 p 3 (t) = Intervalo 4: 2 < t < 4 p 4 (t) = Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 9

10 Ejemplo: Hallar la convolución gráfica de x(t) con h(t) Intervalo 5: t > 4 p 5 (t) = Solución 0 t < t 2 /2 + t + ½ < t < 2t < t < t t 2 /2 2 < t < 4 0 t > 4 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 0

11 4. Convolución Discreta La respuesta y[n] de un sistema LTI discreto a una entrada arbitraria x[n] se obtiene como la Suma de Convolución dada por: donde h[n], es la respuesta del sistema a un impulso unitario en la entrada. Para obtener la salida y[n] (matemáticamente) en un instante de tiempo n determinado, primero se resuelven los productos h[k].x[n k] como una función de la variable discreta k. Luego se realiza la sumatoria infinita de los mismos respecto a k obteniéndose y[n]. Interpretación gráfica. Obtenemos x[k] y h[ k] Para cada valor de n desplazamos la señal h[n k], n < 0 será un adelanto de n muestras de la señal h[ k] y para n > 0 será un retardo de n muestras de la señal h[ k]. Para cada valor de n obtenemos la señal producto x[k].h[n k]. Sumamos todas las muestras y obtenemos el valor de salida para el instante n. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales

12 4. Convolución Discreta Ejemplo: Dada x(n) y h(n) hallar la convolución a. Cambio de variable y transpuesta Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 2

13 4. Convolución Discreta Ejemplo: Dada x(n) y h(n) hallar la convolución b. Función desplazada Para n < Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 3

14 4. Convolución Discreta Ejemplo: Dada x(n) y h(n) hallar la convolución Para n = Para n = 0 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 4

15 4. Convolución Discreta Ejemplo: Dada x(n) y h(n) hallar la convolución Para n = Para n = 2 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 5

16 4. Convolución Discreta Ejemplo: Dada x(n) y h(n) hallar la convolución Para n = 3 Para n > 4 Gráfica Resultante Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 6