Tema 1: Interpolación. Cá álculo umérico

Transcripción

1 Tema : Interpolación Problema Dada una nube de puntos del plano Interpolación polinomial. Polinomios de Lagrange: cota del error. Método de Newton: diferencias divididas y finitas. se pretende encontrar un polinomio de grado mínimo que pase por todos ellos.

2 Interpolación Polinomial Teorema: Dada una familia de n+ puntos del plano F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )}, con x 0 <x < <x n. Existe un único polinomio P n (x), de grado menor o igual a n, satisfaciendo: P ( x ) = y, i = 0,..., n n i i A P n (x) se le llama polinomio interpolador de la familia de puntos F. Al conjunto de abscisas, S={x 0,x,,x n }, se le llama soporte. En el caso de que y i =f(x i ) para una determinada función f, se dice que P n (x) es el polinomio interpolador de f en el soporte S.

3 Interpolación Polinomial Analisis del error del polinomio interpolador. Damos una función f(x).

4 Interpolación Polinomial Analisis del error del polinomio interpolador. Elegimos un soporte S, y marcamos sus imágenes en la Gráfica de f(x).

5 Interpolación Polinomial Analisis del error del polinomio interpolador. Calculamos el polinomio interpolador que pasa por esos puntos. Gráficamente observamos la diferencia f ( x) P ( x) que nos marca el error que se comete cuando sustituimos f(x) por P n (x). n

6 Interpolación Polinomial Analisis del error del polinomio interpolador. Sea S={x 0,x,,x n }, con x 0 <x < <x n, y sea f(x) una función n+ veces derivable tal que su derivada f n+) (x) es continua, al menos en [x 0,x n ]. Entonces se tiene: donde P n (x) es el polinomio interpolador de f(x) en S y c se encuentra en el intervalo determinado por los puntos x,x 0,x n. OJO: no tiene por qué mejorar los resultados al tomar un número elevado de puntos para el soporte en un mismo intervalo. Puede darse el llamado Fenómeno de Runge, en el que el error es aceptable en la zona central del intervalo pero desproporcionado en los extremos

7 Interpolación Polinomial Tema : Interpolación Cálculo umérico

8 Interpolación Polinomial Tema : Interpolación Cálculo umérico

9 Interpolación Polinomial Métodos para obtener el polinomio interpolador.. Método directo. 2. Método de Lagrange. 3. Método de la diferencias divididas de Newton.

10 Cálculo del polinomio interpolador Dado el conjunto de n+ puntos del plano {(x 0,y 0 ),(x,y ),,(x n,y n )} Buscamos un polinomio, P n (x)=a n x n +a n- x n- + +a 0, tal que P ( x ) = y, i = 0,..., n n i i Operando tenemos: 2 n x0 x0 L x0 a0 y0 2 n a x x x y L = L L L L L M M 2 n x a n xn L xn n yn El método directo consiste en resolver este sistema lineal.

11 Método directo para el cálculo del polinomio interpolador Ejemplo: Dada la nube de puntos ={(0,2), (,), (2,0),(3,5)}. Hallar el polinomio interpolador usando el método directo. Puesto que hay 4 puntos en el soporte, el polinomio solución es de la forma: 2 3 P ( x) = a + a x + a x + a x El sistema de ecuaciones que proporciona la solución es: a0 2 a = Su solución es a a3 5 a0 2 a = a 2 3 a 3 P ( x) = 2 + x 3x + x 3 Por tanto, 2 3

12 Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} Se definen los polinomio auxiliares de Lagrange para las abscisas de F como: L 0 ( x) = L ( x) = ( x x )( x x ) L( x x ) 2 ( x x )( x x ) L( x x ) ( x x )( x x ) L( x x ) 0 2 ( x x )( x x ) L( x x ) 0 2 M n n n n L n ( x) = ( x x )( x x ) L( x x ) 0 n ( x x )( x x ) L( x x ) n 0 n n n

13 Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} Ejemplo: Hallar los polinomios auxiliares de Lagrange para el Soporte S={,2,4,5} como: ( x x )( x x2 )( x x3 ) ( x 2)( x 4)( x 5) L0 ( x) = = ( x x )( x x )( x x ) 2 L L L 2 3 ( x) ( x) ( x) ( x x )( x x )( x x ) ( x )( x 4)( x 5) ( x x )( x x )( x x ) = = ( x x )( x x )( x x ) ( x )( x 2)( x 5) ( x x )( x x )( x x ) = = ( x x )( x x )( x x ) ( x )( x 2)( x 4) ( x x )( x x ) L ( x x ) = = Observa que si añadimos un punto al soporte, S ={,2,4,5,7}, los L i (x) para S son todos distintos a los calculados para S.

14 Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} El polinomio Satisface: P ( x) = y L ( x) + y L ( x) + L+ y L ( x) n 0 0 n n grado(p n (x)) n P ( x ) = y, i n i i P n (x) interpola a F. A P n (x) se le llama polinomio interpolador de Lagrange

15 Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método de Lagrange para los puntos {(,0), (2,6), (4,2), (5,24)}. Este viene dado por: P ( x) = y L ( x) + y L ( x) + y L ( x) + y L ( x) Los L i (x) han sido ya calculados en el ejemplo anterior. Por tanto: P ( x) = 0 L ( x) + 6 L ( x) + 2 L ( x) + 24 L ( x) = x x x

16 Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} Inconveniente del método de Lagrange Supongamos que tenemos calculado el polinomio interpolador P n (x) para F, usando Lagrange. Si ahora, consideramos { } F ' = FU ( x, y) Para calcular el polinomio interpolador para F, P n+ (x), usando el método de Lagrange; no podemos construirlo a partir de P n (x).

17 Método de las diferencias divididas de ewton para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x 0,y 0 ), (x,y ),,(x n,y n )} El polinomio P ( ) n x = f x0 + f x0 x x x0 + L+ f x0 x K xn x x0 L x xn [ ] [, ]( ) [,,, ]( ) ( ) donde f [ x, K, xk ] f [ x0, K, xk ] f [ x0, x,, xk ] = x x Satisface: grado(p n (x)) n i i K y f [ x ] = n P ( x ) = y, i k 0 P n (x) interpola a F. P ( x) = P ( x) + f [ x, x, K, x ]( x x ) L( x x ) Además, n n 0 n 0 n i y i A P n (x) se le llama polinomio interpolador de F según el método de las diferencias divididas de ewton.

18 Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método de las diferencias divididas de Newton para los puntos {(,0), (2,6), (4,2), (5,24)}. x i x 0 = x = 2 x 2 = 4 x 3 = 5 y i f [ x, x ] i f [ x ] f [ x0] x x j 0 f [ x2] f [ x ] x x 2 f [ x ] f [ x ] 3 2 x x 3 2 = 6 = 3 = 2 f [ x, x, x ] i j k f [ x, x2 ] f [ x0, x ] x x 2 0 f [ x2, x3] f [ x, x2] x x 3 = = 3 P ( x ) = 0 + 6( x ) ( x )( x 2) + ( x )( x 2)( x 4) f [ xi, x j, xk, xh ]