Tema 5. Interpolación

Transcripción

1 E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Vigo

2 Plan Introducción Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

3 Motivación Formulación Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

4 Aproximación de funciones Motivación Formulación Aparecen en problemas muy diversos representación/manipulación de señales ajustes de tablas de puntos representación de datos espaciales manipulación de geometrías (curvas y superficies) Enfoques posibles (en señales temporales) dominio temporal dominio de frecuencias (Fourier) dominio mixto (wavelets)

5 Motivación Formulación Aproximación mediante polinomios Por qué polinomios? Una razón: Teorema de aproximación de Weierstrass Sea f C([a, b]). Para cualquier ǫ > existe un polinomio P tal que f(x) P(x) ǫ x [a, b] Otra más: facilidad de manipulación combinación lineal derivación e integración reescalado,...

6 Motivación Formulación Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

7 Motivación Formulación Problema de interpolación global Formulación Dada una función f(x) se busca un polinomio p(x) de grado n: p(x) = a n x n + a n x n + + a x + a que aproxime f(x) fijando n + condiciones sobre f (incl. sus derivadas). Algunas alternativas de interpolación Lagrange: valores de f en n + puntos Taylor: f y sus n primeras derivadas en un punto Hermite: f y f en (n + )/2 puntos

8 Motivación Formulación Ejemplo: f(x) = e cos(x) en [, π 2 ] Cálculo de P 3 (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a tal que: P 3 () = f() P 3 ( π 6 ) = f(π 6 ) P 3( π 3 ) = f(π 3 ) P 3( π 2 ) = f(π 2 ) 3 interpolacion de Lagrange

9 Motivación Formulación Ejemplo: interpolación de Taylor Ejemplo: f(x) = e cos(x) en [, π 2 ] Se toma P 3 (x) como polinomio de Taylor de grado 3 en : P 3 () = f() P 3 () = f () P 3 () = f () P 3 () = f () interpolacion de Taylor

10 Motivación Formulación Ejemplo: interpolación de Hermite Ejemplo: f(x) = e cos(x) en [, π 2 ] Cálculo de P 3 (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a tal que: P 3 () = f() P 3 () = f () P 3 ( π 2 ) = f(π 2 ) P 3 (π 2 ) = f ( π 2 ) 3 interpolacion de Hermite

11 Motivación Formulación Otras alternativas de aproximación Aproximación por mínimos cuadrados se sobredetermina el polinomio filtra errores de medida (ruido blanco) Aproximación polinomial a trozos se divide en subintervalos se impone regularidad global

12 Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

13 Existencia del polinomio de interpolación de Lagrange Propiedad Sea una tabla {(x k, y k )} n k= con x < x < x 2 < < x n. Existe un y sólo un polinomio de grado n, P n (x), tal que P n (x k ) = y k para k =,, 2,...,n Demostración: existencia: constructiva a través de la base L i (x) = n k=, k i unicidad: por reducción al absurdo x x k x i x k

14 Alternativas constructivas Cálculo directo de coeficientes (matriz de Vandermonde) x n x n... x a n y x n x n... x a n..... = y. xn n... x n a y n x n n Esquema de Newton Supongamos que P n (x) interpola la tabla {(x k, y k )} n k=. Entonces puede construirse P n (x) para la tabla ampliada con (x n, y n ) de la forma: P n (x) = P n (x) + c n (x x )(x x )... (x x n )

15 Error de interpolación de Lagrange Propiedad Sea f C n+ ([a, b]) y sea P n el polinomio de interpolación de Lagrange de f sobre los nodos {x j } n j= en [a, b]. Entonces, para cada x [a, b] existe ξ x [a, b] tal que f(x) P n (x) = (n + )! f (n+ (ξ x ) n (x x j ) j=

16 Error de interpolación de Lagrange (cont.) Demostración: Sea x [a, b] con x x j j {,, 2,..., n}. Se definen W(t) = n j= (t x j) c = (f(x) P n (x))/w(x) Φ(t) = f(t) P n (t) cw(t) Se tiene que Φ C n+ ([a, b]) y tiene n + 2 raices: Φ(x j ) = (f(x j ) P n (x j )) cw(x j ) = Φ(x) = Entonces Φ tiene n + raíces, Φ tiene n raíces... y Φ (n+ (ξ x ) = pero Φ (n+ (t) = f (n+) (t) c(n + )!

17 Error de interpolación de Lagrange (cont.) Expresión del error f(x) P n (x) = (n + )! f (n+ (ξ x ) Factores que intervienen en el error grado del polinomio de interpolación: regularidad de la función: f (n+ (ξ x ) n colocación de los puntos: (x x j ) j= n (x x j ) j= (n + )!

18 Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

19 Ejemplo : función regular Ejemplo : f(x) = cos(x) en [ π,+π] E(x) = f(x) P n (x) = (n + )! f (n+ (ξ x ) n (x x j ) j= nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta nodos equiespaciados 7 nodos equiespaciados

20 Ejemplo : función regular (cont.) Ejemplo : f(x) = cos(x) en [ π,+π] n E(x) (n + )! W(x) con W(x) = (x x j ) j= nodos equiespaciados 7 nodos equiespaciados

21 Ejemplo 2: función poco regular Ejemplo 2: f(x) = /( + x 2 ) en [ 3,+3] E(x) = f(x) P n (x) = (n + )! f (n+ (ξ x ) n (x x j ) j=.2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta nodos equiespaciados 7 nodos equiespaciados

22 Ejemplo 2: función poco regular (cont.) Ejemplo 2: f(x) = /( + x 2 ) en [ 3,+3].2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta nodos equiespaciados 2 nodos equiespaciados min 3 x 3 P 2 (x) 3.76)

23 Otra elección de nodos de interpolación Nodos de Chebyshev en el intervalo [, ] se toma: ( ) 2j + π ˆx j = cos n + 2 j =,, 2,...,n en un intervalo [a, b] cualquiera : x j = a + b 2 + b a 2 Para los nodos de Chebyshev se tiene: ˆx j j =,, 2,...,n max a x b W(x) = 2 n ( b a 2 ) n+

24 Otra elección de nodos de interpolación (cont.) Nodos sobre el intervalo [ π, +π] Función W(x) = n j= (x x j) para nodos de Chebyshev nodos de Chebyshev 7 nodos de Chebyshev

25 Aplicación al ejemplo 2 Ejemplo 2: f(x) = /( + x 2 ) en [ 3,+3].2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta nodos de Chebyshev 7 nodos de Chebyshev

26 Aplicación al ejemplo 2 (cont.) Ejemplo 2: f(x) = /( + x 2 ) en [ 3,+3].2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta nodos de Chebyshev 2 nodos de Chebyshev

27 Observaciones finales Interpolación de funciones poco regulares Existe un límite para las funciones interpolables: en Chebyshev E(x) = f(x) P n (x) (n + )! f (n+ (ξ x ) 2 n Condicionamiento del problema de interpolación ( b a 2 ) n+ Conforme aumenta n el condicionamiento del problema (matriz de Vandermonde) empeora rápidamente

28 Interpolación spline Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

29 Interpolación spline Definición Dada una tabla {(x k, y k )} n k=, se toma sobre cada intervalo (x k, x k ) el interpolante lineal asociado a los valores {y k, y k }. Propiedades existencia y unicidad de interpolante no genera oscilaciones interpolante muy poco regular convergencia lenta

30 Interpolación spline (cont.) Ejemplo f(x) = +x 2 sobre [ π,π] con n = 4 y 6..2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta n = 4 n = 6

31 Interpolación spline (cont.) Ejemplo f(x) = +x 2 sobre [ π,π] con n = y 2..2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta n = n = 2

32 Interpolación spline Error en interpolación lineal a trozos Propiedad Sea f C 2 ([a, b]) y sea P : [a, b] R la función de interpolación lineal a trozos asociada a f sobre los nodos (ordenados) {x k } n k=. Entonces se tiene donde h = max i n (x i x i ). demostración f(x) P(x) 8 max a η b f (η) h 2 Inmediata a partir de interpolación de Lagrange

33 Interpolación spline Introducción Motivación Formulación 2 3 Interpolación spline

34 Interpolación spline (cúbica) Interpolación spline Idea aumentar el grado local de polinomios imponer condiciones de regularidad en los nodos Formulación Dada una tabla ordenada {(x k, y k )} n k= se busca S : [a, b] R tal que: (a) S es un polinomio de grado 3 sobre cada subintervalo [x i, x i+ ] (b) S(x i ) = y i sobre cada nodo x i (c) S C 2 ([x, x n ])

35 Interpolación spline (cúbica) Interpolación spline Balance de coeficientes y condiciones Número de coeficientes: 4 n Número de condiciones: interpolación: 2 n regularidad C : n regularidad C 2 : n Conclusión Se tienen 4n (4n 2) = 2 grados de libertad

36 Algunas condiciones adicionales Interpolación spline Alternativa : Alternativa 2: S (x ) = S (x n ) = S (x ) = y S (x n ) = y n Alternativa 3 (not a knot): S continua en x y x n

37 Interpolación spline Propiedades de la interpolación spline (cúbica) Existencia y error de interpolación Sea f C 4 ([a, b]) y sea {x k } n k= un conjunto (ordenado) de nodos en [a, b]. Entonces, existe un spline cúbico que interpola la tabla {(x k, f(x k ))} n k= y verifica la condición not a knot. Además, con h = max i n (x i x i ), existe C tal que f(x) S(x) C h 4 max f (iv (η), x [x, x n ] x η x n y C y C 2 tales que f (i (x) S (i (x) C i h 4 i max x η x n f (iv (η), x [x, x n ]

38 Interpolación spline Ejemplo de interpolación spline (cúbica) Ejemplo f(x) = +x 2 sobre [ π,π] con n = 4 y 6..2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta n = 4 n = 6

39 Interpolación spline Ejemplo de interpolación spline (cúbica) Ejemplo f(x) = +x 2 sobre [ π,π] con n = y 2..2 nodos interpolada exacta nodos interpolada exacta n = n = 2