Ajuste de curvas. Interpolación.

Transcripción

1 Ajuste de curvas. Interpolación. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Introducción 2 Interpolación lineal Interpolación cuadrática Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Programa MATLAB: intnewton.m

3 Tópicos 1 Introducción 2 Interpolación lineal Interpolación cuadrática Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Programa MATLAB: intnewton.m

4 Interpolación Si se sabe que los datos son muy precisos, entonces la estrategia será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos.

5 Interpolación polinomial Determina el polinomio único de grado n que se ajuste a n + 1 puntos asociados con datos.

6 Tópicos 1 Introducción 2 Interpolación lineal Interpolación cuadrática Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Programa MATLAB: intnewton.m

7 Interpolación lineal Interpolación lineal de Newton en diferencias divididas

8 Interpolación lineal Fórmula de interpolación lineal f 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) Fórmula de interpolación lineal f 1 (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) donde b 0 = f(x 0 ) b 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0

9 Interpolación lineal Fórmula de interpolación lineal f 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) Fórmula de interpolación lineal f 1 (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) donde b 0 = f(x 0 ) b 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0

10 1 Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. a) Realice el cálculo por interpolación entre los puntos ln(1) = 0 y ln(6) = , b) Realice el cálculo por interpolación entre los puntos ln(1) = 0 y ln(4) = Calcule el error verdadero considerando que el valor exacto es: ln(2) =

11 Solución ejemplo 1 a) x = 2, x 0 = 1, f(x 0 ) = 0 y x 1 = 6, f(x 1 ) = f 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) f 1 (2) = ε v = (2 1) = % = 48.3%

12 Solución ejemplo 1 b) x = 2, x 0 = 1, f(x 0 ) = 0 y x 1 = 4, f(x 1 ) = f 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) f 1 (2) = ε v = (2 1) = % = 33.3%

13 Solución ejemplo 1

14 Interpolación cuadrática Fórmula de interpolación cuadrática donde f 2 (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 ) (x x 1 ) b 0 = f(x 0 ) b 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 f(x 2 ) f(x 1 ) x b 2 = 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0

15 2 Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación cuadrática. Realice el cálculo por interpolación entre los puntos: x 0 = 1 f(x 0 ) = 0 x 1 = 4 f(x 1 ) = x 2 = 6 f(x 2 ) = Calcule el error verdadero considerando que el valor exacto es: f(2) = ln(2) =

16 Solución ejemplo 2 b 0 = f(x 0 ) = 0, b 1 = f (x 1) f (x 0 ) = x 1 x f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 b 2 = = x 2 x 0 b 2 = , = , f 2 (x) = (x 1) (x 1)(x 4), f 2 (2) = , ε v = 100% = 18.4% ,

17 Solución ejemplo 2

18 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Fórmula de interpolación general f n (x) = b 0 +b 1 (x x 0 )+ +b n (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) donde b 0 = f(x 0 ) b 1 = f[x 1, x 0 ] b 2 = f[x 2, x 1, x 0 ]. b n = f[x n, x n 1,, x 2, x 1, x 0 ]

19 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Fórmula de interpolación general f[x i, x j ] = f(x i) f(x j ) x i x j f[x i, x j, x k ] = f[x i, x j ] f[x j, x k ] x i x k f[x n, x n 1,, x 1, x 0 ] = f[x n, x n 1,, x 1 ] f[x n 1,, x 0 ] x n x 0 f n (x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f[x 1, x 0 ] + + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x n, x n 1,, x 0 ].

20 Programa MATLAB: intnewton.m function y i n t = intnewton ( x, y, xx ) % intnewton : I n t e r p o l a c i o n p o l i n o m i a l de Newton % Entrada : vectores x, y % xx = Punto donde se desea c a l c u l a r l a i n t e r p o l a c i o n % Salida : y i n t = Valor de l a i n t e r p o l a c i o n n = length ( x ) ; i f length ( y ) =n, error ( x y d i f e r e n t e s l o n g i t u d e s ) ; end b = zeros ( n, n ) ; b ( :, 1 ) = y ( : ) ; for j = 2: n for i = 1: n j +1 b ( i, j ) = ( b ( i +1, j 1) b ( i, j 1) ) / ( x ( i + j 1) x ( i ) ) ; end end b ( 1, : ) ; x t = 1; y i n t = b ( 1, 1 ) ; for j = 1: n 1 x t = x t ( xx x ( j ) ) ; y i n t = y i n t +b ( 1, j +1) x t ; end

21 3 Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación cuadrática utilizando el programa intnewton.m. Realice el cálculo por interpolación entre los puntos: x 0 = 1 f(x 0 ) = 0 x 1 = 4 f(x 1 ) = x 2 = 6 f(x 2 ) =

22 4 Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación cúbica utilizando el programa intnewton.m. Realice el cálculo por interpolación entre los puntos: x 0 = 1 f(x 0 ) = 0 x 1 = 4 f(x 1 ) = x 2 = 5 f(x 2 ) = x 3 = 6 f(x 3 ) =