Programación MATLAB: Derivación e integración. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Programación MATLAB: Derivación e integración. Ecuaciones diferenciales ordinarias Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

3 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

4 Derivada Es la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente, La definición matemática de la derivada esta dada por una aproximación por diferencias: y x = f(x i + x) f(x i ), x dy dx = lim f(x i + x) f(x i ) x 0 x

5 Derivada Es la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente, La definición matemática de la derivada esta dada por una aproximación por diferencias: y x = f(x i + x) f(x i ), x dy dx = lim f(x i + x) f(x i ) x 0 x

6 Derivada

7 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

8 Derivada simbólica con MATLAB >> syms x %Define l a v a r i a b l e simbolica x >> y = exp ( x ˆ 4 ) y = exp ( x ˆ 4 ) >> d i f f ( y ) ans = 4 x ˆ3 exp ( x ˆ 4 )

9 Derivada simbólica con MATLAB >> syms x >> y x ) exp ( x ˆ 4 ) %Define una funcion anonima y x ) exp ( x ˆ 4 ) >> y ( 1 ) ans = >> d i f f ( y, x ) ans = 4 x ˆ3 exp ( x ˆ 4 ) >> d i f f ( y ( x ) ) ans = 4 x ˆ3 exp ( x ˆ 4 )

10 Derivada numérica con MATLAB clear ; clc ; % Creacion de una funcion anonima f =@( x ) x 200 x.ˆ2+675 x.ˆ3 900 x.ˆ4+400 x. ˆ 5 ; x = 0 : 0. 1 : 0. 8 ; y= f ( x ) ; % d i f f : D i f e r e n c i a entre elementos adyacentes d= d i f f ( y ). / d i f f ( x ) ; % Tambien d= d i f f ( y ) / 0. 1 % Para g r a f i c a r : Valores x para e l punto medio n=length ( x ) ; xm = ( x ( 1 : n 1)+x ( 2 : n ) ). / 2 ; % Derivada a n a l i t i c a xa = 0 : : 0. 8 ; ya= xa xa.ˆ xa.ˆ xa. ˆ 4 ; % Grafico plot (xm, d, o, xa, ya ) xlabel ( x ), ylabel ( y ) legend ( Numerica, A n a l i t i c a ), t i t l e ( D i f f )

11 Ejemplo 5: f(x) = x 200 x x x x 5

12 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

13 Integral La integración es el proceso inverso de la diferenciación, La integración se escribe como: I = b a f (x) dx, y representa la integral de la función f (x) (integrando) con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los límites x = a y x = b, La integral representa el área bajo la curva.

14 Integral La integración es el proceso inverso de la diferenciación, La integración se escribe como: I = b a f (x) dx, y representa la integral de la función f (x) (integrando) con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los límites x = a y x = b, La integral representa el área bajo la curva.

15 Integral La integración es el proceso inverso de la diferenciación, La integración se escribe como: I = b a f (x) dx, y representa la integral de la función f (x) (integrando) con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los límites x = a y x = b, La integral representa el área bajo la curva.

16 Integral La integración es el proceso inverso de la diferenciación, La integración se escribe como: I = b a f (x) dx, y representa la integral de la función f (x) (integrando) con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los límites x = a y x = b, La integral representa el área bajo la curva.

17 Integral

18 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

19 Integral simbólica con MATLAB >> syms x y t >> S = 2 cos ( x ) 6 x ; R = 5 y ˆ2 cos(4 t ) ; >> i n t (S) ans = 2 sin ( x ) 3 x ˆ2 >> i n t ( x sin ( x ) ) ans = sin ( x ) x cos ( x ) >> i n t (R) ans = (5 y ˆ3 cos(4 t ) ) /3 >> i n t (R, t ) ans = (5 y ˆ2 sin (4 t ) ) /4

20 Integral numérica con MATLAB >> quad ( x. exp( x. ˆ 0. 8 ) +0.2, 0, 8 ) ans = >> y x ) cos ( x ) x. ˆ 2 y x ) cos ( x ) x. ˆ 2 >> quad ( y, 0, 8 ) ans = >> x = [ 0 : 0. 1 : 8 ] ; z = y ( x ) ; >> q = trapz ( x, z ) q =

21 GUI Derivada/Integral

22 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivando con MATLAB 3 Definición de Integral 4 Integrando con MATLAB 5 Solución de ecuaciones diferenciales con MATLAB

23 Ecuaciones diferenciales ordinarias Solución con MATLAB de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma: dy = f(x, y) dx

24 Ecuacion diferencial con MATLAB syms y ( x ) y ( x ) = dsolve ( d i f f ( y ) == 2 xˆ3+12 xˆ2 20 x +8.5, y ( 0 ) ==1) Salida y ( x ) = x ˆ 4 / x ˆ3 10 x ˆ2 + (17 x ) /2 + 1

25 Ecuacion diferencial con MATLAB syms y ( x ) y ( x ) = dsolve ( d i f f ( y ) ==y xˆ3 1.5 y, y ( 0 ) ==1) Salida y ( x ) = exp ( ( x ( x ˆ3 6) ) / 4 )