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1 Raíces de Polinomios Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 TÓPICOS 1 INTRODUCCIÓN Raíces de polinomios 2 MÉTODO DE BAIRSTOW Presentación del método Factorización de un polinomio Ejemplo 3 con MATLAB Programa MATLAB

3 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Raíces de polinomios 2 MÉTODO DE BAIRSTOW Presentación del método Factorización de un polinomio Ejemplo 3 con MATLAB Programa MATLAB

4 Raíces de polinomios Polinomio f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 donde n es el grado del polinomio, a i (i = 0, 1,, n) son coeficientes constantes y pueden ser reales o complejos, Las raíces pueden ser reales o complejas, Reglas de las raíces de polinomios En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas, Si n es impar, hay al menos una raíz real, Si existen raíces complejas, éstas se encuentran por pares conjugados (λ + iµ y λ iµ, donde i = 1 )

5 Raíces de polinomios Polinomio f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 donde n es el grado del polinomio, a i (i = 0, 1,, n) son coeficientes constantes y pueden ser reales o complejos, Las raíces pueden ser reales o complejas, Reglas de las raíces de polinomios En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas, Si n es impar, hay al menos una raíz real, Si existen raíces complejas, éstas se encuentran por pares conjugados (λ + iµ y λ iµ, donde i = 1 )

6 Raíces de polinomios Ejemplo de Polinomio f(x) = x x x Raíces del Polinomio x 1 = 1.45 x 2 = 7.37 x 3 = 10.3

7 Raíces de polinomios Ejemplo de Polinomio f(x) = x x x Raíces del Polinomio x 1 = 1.45 x 2 = 7.37 x 3 = 10.3

8 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Raíces de polinomios 2 MÉTODO DE BAIRSTOW Presentación del método Factorización de un polinomio Ejemplo 3 con MATLAB Programa MATLAB

9 Presentación del método Métodos de Bairstow El método de Bairstow es un método iterativo para calcular aproximadamente las raíces de polinomios

10 Factorización de un polinomio Factorización de un polinomio Dado el polinomio: f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Si dividimos el polinomio por el factor x x r, entonces donde f n (x) x x r = f n 1 (x) + R f n 1 (x) = b n x n 1 + b n 1 x n b 3 x 2 + b 2 x 1 + b 1 Aquí, R = b 0 es el Residuo, R = 0 si x r es una raíz. Además, b n = a n b i = a i + b i+1 x r, para i = n 1,, 0

11 Dado el polinomio: f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Se divide el polinomio por un factor cuadrático: x 2 rx s donde f n (x) x 2 rx s = f n 2 (x) + R f n 2 (x) = b n x n 2 + b n 1 x n b 3 x + b 2 R = b 1 (x r) + b 0 b n = a n b n 1 = a n 1 + r b n b i = a i + r b i+1 + s b i+2, para i = n 2,, 0

12 El factor cuadrático se introduce para permitir la determinación de las raíces complejas, Si x 2 rx s es un divisor exacto del polinomio, las raíces complejas pueden determinarse con la fórmula cuadrática, El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el residuo sea igual o aproximadamente igual a cero. Para que el residuo (R = b 1 (x r) + b 0 ) sea igual a cero, b 0 y b 1 deben ser igual a cero. Como es improbable que los valores iniciales para evaluar r y s conduzcan a b 0 = 0 y b 1 = 0, se necesita una forma sistemática para modificar los valores iniciales.

13 Para buscar una forma sistemática el método de Bairstow, usa una estrategia similar a la del método de Newton-Raphson. b 0 y b 1 son funciones de r y s: b 1 = a 1 + rb 2 + sb 3 = b 1 (r, s) b 0 = a 0 + rb 1 + sb 2 = b 0 (r, s) Desarrollo en serie de Taylor de b 0 y b 1 despreciando los términos de segundo orden y superiores: b 1 (r + r, s + s) = b 1 + b 1 r r + b 1 b 0 (r + r, s + s) = b 0 + b 0 r r + b 0 s s s s

14 Los incrementos r y s necesarios para mejorar nuestros valores iniciales se estiman, haciendo: Por tanto, b 1 (r + r, s + s) 0 b 0 (r + r, s + s) 0 { b1 r r + b 1 s s = b 1 b 0 r r + b 0 s s = b 0 Si las derivadas parciales de las b pueden determinarse, entonces hay un sistema de dos ecuaciones para r y s.

15 Bairstow demostró que las derivadas se pueden obtener de manera similar a la obtención de las b: donde c n = b n c n 1 = b n 1 + r c n c i = b i + r c i+1 + s c i+2, para i = n 2,, 1 b 0 r = c 1, b 0 s = b 1 b 1 s = c 3 r = c 2, Finalmente se llega a: { c2 r + c 3 s = b 1 c 1 r + c 2 s = b 0

16 Resolviendo r y s, se obtiene una mejora de los r y s, puesto que: r i+1 = r i + r s i+1 = s i + s En cada paso se estima un error aproximado para r y s, es decir: ε a,r = r r 100% ε a,s = s s 100% Cuando dichos errores caen por debajo de un error estimado ε s, los valores de las raíces se determinan mediante: x = r ± r 2 + 4s 2

17 Existen tres posibilidades: 1 El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor. En tal caso, el método de Bairstow se aplica al cociente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales en esta aplicación, 2 El cociente es cuadrático. En este caso es posible evaluar directamente las dos raíces restantes con: x = r± r 2 +4s 2, 3 El cociente es un polinomio de primer grado. En este caso, la raíz restante se evalúa simplemente como: x = s r

18 Ejemplo Ejemplo Emplee el método de Bairstow para determinar las raíces del polinomio: f 5 (x) = x 5 3.5x x x x Utilice como valores iniciales r = s = 1 e itera hasta un error estimado ε s = 1%

19 Ejemplo Solución Solución b n = a n b n 1 = a n 1 + r b n b i = a i + r b i+1 + s b i+2, para i = n 2,, 0 c n = b n c n 1 = b n 1 + r c n c i = b i + r c i+1 + s c i+2, para i = n 2,, 1 b 5 = 1, b 4 = 4.5, b 3 = 6.25, b 2 = 0.375, b 1 = 10.5, b 0 = , c 5 = 1, c 4 = 5.5, c 3 = 10.75, c 2 = 4.875, c 1 = ,

20 Ejemplo Solución { c2 r + c 3 s = b 1 { c 1 r + c 2 s = b r s = r s = Solución r = , s = , r = = , s = = , ε a,r = r r 100% = 55.23%, ε a,s = s s 100% = 824.1%

21 Ejemplo Solución Solución b 5 = 1, b 4 = , b 3 = , b 2 = , b 1 = , b 0 = , c 5 = 1, c 4 = , c 3 = , c 2 = , c 1 = , { r s = r s = r = , s = , r = = , s = = , ε a,r = 26.0%, ε a,s = 70.6%

22 Ejemplo Solución Después de cuatro iteraciones: r = 0.5, ε a,r = 0.063% s = 0.5, ε a,s = 0.040% x = r ± r 2 + 4s 2 = 0.5 ± ( 0.5) 2 + 4(0.5) 2 = 0.5, 1.0 Se queda el cociente: f 3 (x) = x 4x 2 + x 3

23 Ejemplo Solución Tomando r = 0.5 y s = 0.5 y después de cinco iteraciones: r = 2, s = 1.249, x = 2 ± (2) 2 + 4( 1.249) 2 = 1 ± 0.499i. Finalmente, el cociente es un polinomio de primer grado y la raíz es: x = s r = 2

24 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Raíces de polinomios 2 MÉTODO DE BAIRSTOW Presentación del método Factorización de un polinomio Ejemplo 3 con MATLAB Programa MATLAB

25 Programa MATLAB function bairstowv1 ( a, r0, s0,ee) % fn ( x ) = a {n} xˆ{n}+a {n 1} xˆ{n 1}+...+ a {2} xˆ{2}+a {1} xˆ{1}+a {0} % a = [ a {n} a {n 1}... a {2} a {1} a {0}] % r0 Valor i n i c i a l de r % s0 Valor i n i c i a l de s % EE E r r o r estimado n=length ( a ) ; % Grado del polinomio ( n 1) a=a ( n: 1:1) ; i f (mod( n 1,2) =0) % mod : Modulo despues de la division : mod(x,y) =X Y f l o o r (X /Y) m=(n 2) / 2 ; % Grado del polinomio ( n 1) es impar else m=(n 3) / 2 ; % Grado del polinomio ( n 1) es par end for j j =1:m r = r0 ; s = s0 ; Ear = 1000; Eas = 1000; while Ear>EE Eas>EE b ( n ) = a ( n ) ; % Calculo de l o s b b ( n 1) = a ( n 1)+ r b ( n ) ; for j = n 2: 1:1 b ( j ) = a ( j ) + r b ( j +1)+s b ( j +2) ; end c ( n ) = b ( n ) ; % Calculo de l o s c c ( n 1) = b ( n 1)+ r c ( n ) ; for j = n 2: 1:2 c ( j ) = b ( j ) + r c ( j +1)+s ( 1 ) c ( j +2) ; end dr = ( c ( 3 ) b ( 2 ) +b ( 1 ) c ( 4 ) ) / ( c ( 2 ) c ( 4 ) c ( 3 ) ˆ 2 ) ; % Solucion del sistema ds = ( c ( 2 ) b ( 2 ) +c ( 3 ) b ( 1 ) ) / ( c ( 2 ) c ( 4 ) c ( 3 ) ˆ 2 ) ; r = r+dr ; s = s+ds ; Ear = abs ( dr / r ) 100; Eas = abs ( ds / s ) 100; end

26 Programa MATLAB x(2 j j 1) = ( r +sqrt ( r ˆ2+4 s ) ) / 2 ; x(2 j j ) = ( r sqrt ( r ˆ2+4 s ) ) / 2 ; a = b ( 3 : n ) ; n = length ( a ) ; r0 = r ; s0 = s ; end r = a ( 2 ) ; s = a ( 1 ) ; i f n==2 x(2 j j +1) = s / r ; e l s e i f n==3 x(2 j j +1) = ( r +sqrt ( r ˆ2+4 s ) ) / 2 ; x(2 j j +2) = ( r sqrt ( r ˆ2+4 s ) ) / 2 ; else disp ( e r r o r ) end s a l i d a =[ x ] ; disp ( s a l i d a )

27 Programa MATLAB >> a=[ ] a = >> bairstowv1 ( a, 1, 1,1) i i >> bairstowv1 ( a, 1, 1,0.1) i i >> bairstowv1 ( a, 1, 1,0.01) i i