FEBRERO ª SEMANA

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1 Soluciones exámenes UNED Código asignatura Nombre asignatura 5401 MÉTODOS MATEMÁTICOS Fecha alta y origen 05/09/007 Curso Virtual Convocatoria FEBRERO 007 1ª SEMANA

2 1. Determine el periodo T de la función f(t) = cos 4 t, así como todos los coeficientes a k, b k de su serie de Fourier a 0 + k=1 [a k cos(kω 0 t) + b k sen(kω 0 t)]. Notas: ω 0 = π T. Recuerde que 1 + cos x cos x =. Solución. En consecuencia, el periodo es T = π y los coeficientes son cos 4 t = ( cos t ) ( ) 1 + cos t = = cos t cos t = cos t ( ) 1 + cos 4t = cos t + 1 cos 4t 8 a 0 = 3 ; a 1 = 1 ; a = b k = 0 para todo k ; a k = 0 en otro caso Tiempo estimado. 3 minutos: expansión de cos 4 t. 1 minuto: deducción del periodo y de los coeficientes. TOTAL 4 minutos.

3 . Aplique el método de Bairstow para calcular aproximadamente todas las raíces del polinomio P (x) = x 4 x 3 + 4x 4x + 4. Comience con los valores r = 0, s = 1 y aplique una sola iteración del método de Bairstow (es decir mejore una sola vez las estimaciones de r y s del enunciado). Solución. En este caso tenemos a 0 = 4, a 1 = 4, a = 4, a 3 =, a 4 = 1. Mediante división sintética entre C 1 (x) = x rx s = x + 1 obtenemos el cociente Q 1 (x) = b 4 x + b 3 x + b y el resto R 1 (x) = b 1 (x r) + b 0 en donde b 4 = a 4 = 1 b 3 = a 3 + rb 4 = b = a + rb 3 + sb 4 = 4 1 = 3 b 1 = a 1 + rb + sb 3 = 4 ( ) = b 0 = a 0 + rb 1 + sb = 4 3 = 1 Por supuesto, las divisiones pueden hacerse aplicando el procedimiento general para la división de polinomios. Para mejorar la estimación, se aproximan las derivadas parciales c 1 = b 0 / r, c = b 1 / r = b 0 / s, c 3 = b 1 / s mediante Los incrementos r, s se estiman como las soluciones del sistema En nuestro caso c 3 = b 3 + rb 4 = c = b + rc 3 + sb 4 = 3 1 = c 1 = b 1 + rc + sc 3 = ( ) = 0 c 1 r + c s = b 0 c r + c 3 s = b 1 s = 1 r s = y se obtiene s = 0.5, r = 0.5. Los nuevos valores de r y s son r = = 0.5, s = 1 + ( 0.5) = 1.5. Dividimos el polinomio P (x) entre C (x) = x rx s = x 0.5x (deflación) para obtener el cociente Q (x) = b 4 x + b 3 x + b en donde Las raíces de C (x) son mientras que las de Q (x) son b 4 = a 4 = 1 b 3 = a 3 + rb 4 = = 1.5 b = a + rb 3 + sb 4 = x = 0.5 ± =. 5 ± i x = 1.5 ± 1.5 4(1.75) =. 75 ± i Estas son las estimaciones de las cuatro raíces que obtenemos. Nota. Las raíces exactas son x = i, x = i, x = 1 + i, x = 1 i. La escasa calidad de la aproximación se debe a que sólo hemos iterado una vez el método. Tiempo estimado. 3 minutos: primera división. 1 minuto: planteamiento del sistema. 3 minutos: resolución del sistema. 1 minuto: nuevos valores de r y s. 3 minutos: segunda división. 4 minutos : cálculo de raíces. TOTAL 15 minutos.

4 1 3. Use la integración de Romberg para evaluar iteraciones. Justifique los cálculos y presente los resultados finales en una tabla como la siguiente 0 10x x dx con una precisión de orden h8. Calcule el error relativo porcentual aproximado ε a en cada una de las tres O(h ) O(h 4 ) ε a O(h 6 ) ε a O(h 8 ) ε a Nota. La primera columna corresponde a la regla del trapecio de aplicación múltiple. Solución. Comenzamos aplicando la regla del trapecio en 1,, 4 y 8 subintervalos a la integral en [0, 1] de la función f(x) = 10x 8. Operamos con todas las cifras que 1 + x proporcione la calculadora, aunque basta anotar los resultados parciales con siete u ocho cifras. f(0) = 8 f(1.5) = f(3) =. f(4.5) = f(6) = f(7.5) = f(9) = 1 f(10.5) = f(1) = f(0) + f(1) f(0) + f(6) + f(1) I 1,1 = I,1 = f(0) + (f(3) + f(6) + f(9)) + f(1) f(0) + (f(1.5) + f(3) + f(4.5) + f(6) + f(7.5) + f(9) + f(10.5)) + f(1) I 3,1 = 1 = I 4,1 = Seguidamente aplicamos el algoritmo de Romberg, I j,k = 4k 1 I j+1,k 1 I j,k 1 4 k 1, completando la tabla del enunciado 1 O(h ) O(h 4 ) ε a O(h 6 ) ε a O(h 8 ) ε a I I 1,1 = , = 4 3 I,1 1 3 I 1,1 = I 1, I 1,1 = , 100% I 1,3 = I, 1 15 I 1, = I 1,3 I 1, = ,3 100% I 1,4 = I, I 1,3 = I 1,4 I 1,3 = ,4 100% 150% 135% 30% I,1 = I, = 4 3 I 3,1 1 3 I,1 = I,3 = I 3, 1 15 I, = = = I 3,1 = I 3, = 4 3 I 4,1 1 3 I 3,1 = = I 4,1 = Se observa que los errores relativos aproximados son grandes. Esto muestra que la elección de un método de orden 8 no garantiza un buen resultado, si el incremento de paso no es lo suficientemente pequeño. Sin embargo, es interesante observar que para obtener una precisión similar, mediante la regla del trapecio de aplicación múltiple, necesitaríamos 1 10x 8 3 subintervalos. La integral se puede calcular por cuadraturas, obteniéndose dx = 5 ln ln 9 8 arctan x Tiempo estimado. 1 minuto: determinación de los nodos. 3 minutos: evaluación de f en los nodos (0 segundos por evaluación). 6 minutos evaluación primera columna. 4 minutos: segunda columna. 3 minutos: tercera columna, minutos cuarta columna. 3 minutos: estimación errores. TOTAL minutos.

5 4. Utilice el método de Euler para resolver de forma aproximada el problema y + y + cos t = 1 ; y(0) = 1 ; y (0) = 0 desde t = 0 hasta t = 0.5 con un tamaño de paso h = Presente los resultados en una tabla. Opere, al menos, con ocho decimales. Cuánto estima que vale y (0.15)?. Solución. La ecuación lineal de segundo orden se puede transformar en un sistema de primer orden introduciendo la nueva variable z = y de manera que se obtiene Si escribimos en forma vectorial el sistema, resulta y = z z = 1 y cos t y(0) = 1 z(0) = 0 w = f(t, w) w(0) = (1, 0) en donde w = (y, z) y f : R R es la función, f(t, w) = (z, 1 y cos t). El algoritmo del método de Euler es esto es De esta manera se obtiene w k+1 = w k + f(t k.w k )h w 0 = (1, 0) y k+1 = y k z k z k+1 = z k (1 y k cos t k ) y 0 = 1 z 0 = 0 t k y k z k La columna rotulada como z k nos proporciona las estimaciones de la derivada y de y. Por lo tanto, y (0.15) z 3 = Nota. La solución exacta del problema es y(t) = 1 t sen t, de manera que, por ejemplo, y(0.5) = mientras que y (0.15) =