MÉTODOS NUMÉRICOS - ALGUNAS INSTRUCCIONES EN DERIVE

Transcripción

1 MÉTODOS NUMÉRICOS - ALGUNAS INSTRUCCIONES EN DERIVE Las siguientes instrucciones corresponden, en su mayoría, a funciones definidas por el profesor Julio C. Morales, como complemento a las utilidades del paquete computacional DERIVE en lo relacionado al curso de Métodos Numéricos. Usted puede ejecutar dichas instrucciones si dispone de tales archivos. Actualmente se pueden utilizar las ayudas indicadas a continuación en cada una de las terminales de computador de la Sala de Informática de la Facultad de Ciencias, ubicada en el segundo piso del Bloque. En los ejemplos se hace referencia a algunos ejemplos y ejercicios propuestos del libro: Métodos Numéricos, un primer curso, segunda edición, del profesor Iván F. Asmar Ch.. : VECTOR ( [ x f( x ], a, b, h intervalo [ b], : permite obtener una tabla de valores de la función f en el a,, con tamaño de paso h. También se puede aplicar esta instrucción para generar los términos x n de una sucesión { x n} n, cuando n varía de n hasta n m y x n = f( n ; en este último caso se puede eliminar el tamaño de paso h, ya que por defecto DERIVE asume el tamaño de paso como. Como ejemplo, aproxime las instrucciones: ([ x x exp x], VECTOR,, compare el resultado con la tabla. de la página 7. n VECTOR n,, n,,, compare el resultado con las columnas y de la tabla.4 de la página 4.. BISECCION ( f( x a, b, N Bisección aplicado a la función f en el intervalo [ b] cálculos es necesario que la función f satisfaga la condición ( a f( b, : permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de aproxime la instrucción BISECCION ( x exp 9,., 8 obtenido con la cuarta columna de la tabla. de la página 4. REGULA ( f( x a, b, N Regula Falsi aplicado a la función f en el intervalo [ b] a,. Para que esta instrucción realice tales f <. Como ejemplo,, y compare el resultado, : permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de a,. Igual que en el caso del método de Bisección esta instrucción calcula las iteraciones indicadas siempre que la función f satisfaga la hipótesis f ( a f( b <. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( x exp 9,., 8 REGULA, y compare los resultados obtenidos con las respuestas indicadas en el ejemplo. de la página PUNTO _ FIJO( g( x, x, N : permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Punto Fijo aplicado a la función de iteración de punto fijo g con aproximación inicial x. Como ejemplo, aproxime la instrucción x PUNTO _ FIJO exp, 95, 7, y compare el resultado obtenido con la segunda columna de la tabla. de la página 5 5. NEWTON ( f( x x, N, : permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson aplicado a la función f tomando aproximación inicial x. Como ejemplo, aproxime la instrucción NEWTON ( x exp.,, y compare los resultados obtenidos con los que aparecen en la segunda columna de la tabla. de la página 65.

2 ( 6. QUOTIENT p( x, x α : permite aproximar o simplificar el polinomio cociente ( x resulta de la división del polinomio p ( x por ( x x x. 58 QUOTIENT indicado al final del ejemplo.7 de la página p( x q que x α. Como ejemplo, aproxime la instrucción, y compare el resultado obtenido con el polinomio q( x ( x α REMAINDER, : permite aproximar o simplificar el residuo que resulta de la división del polinomio p ( x por ( x x x 58 REMAINDER. valor aproximado para p (. 58, siendo p( x x x 8. NEWTON _ MOD ( f( x, x, N x α. Como ejemplo, aproxime la instrucción, y concluya, a partir de este resultado, cuál es un =. : permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x. Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( x tan( x, NEWTON _ MOD, y compare los resultados con los de la segunda columna en la tabla.5 de la página ( f( x x, x N SECANTE,,. permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de la Secante aplicado a la función f tomando aproximaciones iniciales x y x. Como ejemplo aproxime la instrucción SECANTE ( x tan 4. 4, 4. 5, 8 y compare los resultados obtenidos con los que aparecen en la segunda y tercera columnas de la tabla.6 de la página 8 ABS ( X : permite aproximar o simplificar la norma euclidiana ( o norma del vector X. Como ejemplo, entre el vector ABS ( X, y observe los resultados. X : =, 4,, aproxime y simplifique la instrucción. NORMA _ INF( A la matriz A. Como ejemplo, entre la matriz A [[ ],[ 5, ] ] instrucción NORMA _ INF( A de la página 7.. NORMA _ INF( A` : permite simplificar o aproximar la norma del máximo ( o norma de :=, simplifique la, y compare el resultado obtenido con el que aparece al final : permite simplificar o aproximar la norma suma ( o norma de la matriz A (el símbolo que aparece en la parte superior de la letra A, se obtiene con ALT + 96, y en DERIVE la expresión A` representa la transpuesta de la matriz A. Como ejemplo, entre la matriz A := [[ ],[ 5, ] ], simplifique la instrucción NORMA _ INF( A`, y observe el resultado.. COND _ INF( A norma del máximo. Como ejemplo, entre la matriz A [[ ],[ 5, ] ] instrucción COND _ INF( A página 8. : simplifica o aproxima el número de condición de la matriz A, relativo a la :=, simplifique la, y compare el resultado con el obtenido al comienzo de la

3 4. COND _ INF( A` norma suma. Como ejemplo, entre la matriz A [[ ],[ 5, ] ] instrucción COND _ INF( A`. Observe el resultado. 5. PIVOT ( A i, j : simplifica o aproxima el número de condición de la matriz A, relativo a la := y simplifique la, : utiliza operaciones elementales de fila sobre la matriz A, para obtener una matriz que tiene ceros en la columna j y por debajo de la fila i, es decir, realiza eliminación Gaussiana sobre la matriz A en la columna j. Esta instrucción requiere que el elemento de la matriz A que se va a tomar como pivote sea, naturalmente, diferente de cero. 6. SWAP ( A i, k 7. RESUELVA ( A, b, : permite intercambiar las filas i y k de la matriz A. _ : permite obtener la solución única del sistema AX = b, siempre que la matriz A sea invertible. Se puede usar con modo aproximado o exacto. El vector b se entra como un vector fila, es decir, en la forma b := [ b b,..., bn ]. Como ejemplo, resuelva el sistema del ejemplo. de la página 8. BJ ( A : permite obtener la matriz de iteración, B J, del método de Jacobi aplicado al sistema AX = b. Es claro que para aplicar esta instrucción usted debe entrar la matriz A. Como ejemplo, encuentre la matriz de iteración del método de Jacobi para el sistema del ejemplo.8 de la página 5, y compare con el resultado que aparece al comienzo de la página 6. BJ A. Debe simplificar la instrucción ( 9. CHARPOLY ( M, w : permite obtener el polinomio característico, ( w p M, de la matriz M. Como ejemplo, encuentre el polinomio característico de la matriz de iteración del método de Jacobi para el sistema del ejemplo.8 de la página 5. S ( M w EIGENVALUE, : permite obtener los valores propios de la matriz M. Como ejemplo, encuentre los valores propios de la matriz de iteración del método de jacobi para el sistema del ejemplo.8 de la página 5. Calcule tales valores propios simplificando y aproximando la instrucción correspondiente. Compare los resultados.. JACOBI ( A, b, X (, N : permite simplificar o aproximar las primeras N iteraciones en el método de Jacobi aplicado al sistema AX = b, tomando aproximación inicial ( X. Como ejemplo, aproxime la instrucción JACOBI ( [ [, ],[,, 5],[ ] ],[ 4, ], [ ], 6 y compare los resultados con los que aparecen al comienzo de la página 8.. BG ( A : permite obtener la matriz de iteración, B G, del método de Gauus-Seidel aplicado al AX = b. Es claro que para aplicar esta instrucción, al igual que en el caso del sistema método de Jacobi, usted debe entrar la matriz A. Como ejemplo, encuentre la matriz de iteración del método de Gauss-Seidel para el sistema del ejemplo. de la página 44, y compare con el resultado que aparece al comienzo de la página 47. Debe simplificar la instrucción ( A BG.. G _ SEIDEL ( A, b, X (, N : permite simplificar o aproximar las primeras N iteraciones en el método de Gauss-Seidel aplicado al sistema AX = b, tomando aproximación inicial ( X. Como ejemplo, aproxime la instrucción a i j

4 ( [ [, ],[,, 5],[ ] ],[ 4, ],[ ] G _ SEIDEL, y compare los resultados con los que aparecen al final de la página ( A w BW, : permite obtener la matriz de iteración, B w, del método SOR aplicado al sistema AX = b. Es claro que para aplicar esta instrucción, al igual que en los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, usted debe entrar la matriz A. Como ejemplo, encuentre la matriz de iteración del método SOR para el sistema del ejemplo. de la página 5, para los BW A, w. valores de w dados en la página 5. Debe simplificar la instrucción ( 5. SOR ( A, b, w, X ( N, : permite simplificar o aproximar las primeras N iteraciones en el método SOR aplicado al sistema AX = b, para el valor dado de w y tomando aproximación inicial ( X. Como ejemplo, aproxime la instrucción SOR ( [[ 4,, ],[, 4, ],[ 4 ] ],[ ],. 4, [,, ], 8, y compare los resultados obtenidos con los que aparecen al comienzo de la página _ POINT ( [ g (, g ( ], [ y ],[ x, y ] N FIXED, : permite aproximar las primeras N x = g( iteraciones en el método de Punto Fijo aplicado al sistema no-lineal, tomando y = g ( como aproximación inicial el punto ( x, y. Esta instrucción también se puede aplicar a sistemas no-lineales de orden mayor. Como ejemplo, aproxime la instrucción x + y + 8 xy + x + 8 FIXED _ POINT,, [ y ],[ 5, 5 ], 7, y compare sus resultados con los que aparecen en la segunda y tercera columnas de la tabla. al final de la página 6 7. ( [ f ( x, f ( ], [ y ],[ x, y ] N NEWTONS,, : permite aproximar las primeras N f( = iteraciones en el método de Newton-Raphson aplicado al sistema no-lineal, f ( = tomando como aproximación inicial el punto ( x, y. Esta instrucción también se puede aplicar a sistemas no-lineales de orden mayor. Como ejemplo, aproxime la instrucción ([ x x + y + 8, xy + x y + 8 ],[ y ],[, ], NEWTONS, y compare sus resultados con los que aparecen en la segunda y tercera columnas de la tabla.4, al final de la página BAIRSTOW ( p( x x, u, v, N método de Bairstow aplicado al polinomio ( x, : permite aproximar las primeras N iteraciones en el p para obtener valores aproximados u N y vn de los coeficientes u y v de un factor cuadrático aproximado x ux v p x, del polinomio ( tomando como aproximaciones iniciales u y v. Como ejemplo, aproxime la instrucción 4 ( x 4x + 7x 5x,, 4, 7 BAIRSTOW, y compare los resultados obtenidos con los valores de u y v que aparecen en el ejemplo.6 de la página 7. Use la precisión apropiada para los cálculos. Para continuar con Deflación puede usar la instrucción QUOTIENT, mencionada anteriormente. 4

5 9. POLY _ INTERPOLAT E( M, x de grado menor o igual que n, ( x : permite aproximar o simplificar el polinomio de interpolación p n, para los n + puntos dados en la matriz M := x, y, x, y,..., x,. Como ejemplo, simplifique la instrucción [[ ] [ ] [ ]] n yn [ ] π π POLY _ INTERPOLAT E,,,,, x y compare el resultado con el polinomio p que aparece al comienzo de la página 9 ( x LAGRANGE _ POLY ( M : permite aproximar o simplificar el polinomio de interpolación de grado menor o igual que n, p n ( x, para los n + puntos dados en la matriz [[ x, y ], [ x, y ],...,[ x ]] M n, yn :=, usando la forma de Lagrange. La presentación del polinomio no es la de Lagrange, sino la forma extendida en potencias de x. Como ejemplo, π π _ y compare el simplifique la instrucción LAGRANGE POLY,,[ ],, resultado con el polinomio ( x. POLYS ( M fundamentales de Lagrange, ( x p que aparece al comienzo de la página 9 LAGRANGE _ : permite aproximar o simplificar los n + polinomios matriz M [[ x, y ], [ x, y ],...,[ x, ]] n yn L j, j =..., n, correspondientes a los datos dados en la :=. Tales polinomios vienen en la forma de una matriz del tipo: [ L ( x ] [ L ( x ] [ L ( x ]],. Como ejemplo, simplifique la instrucción,..., n [ ] π π LAGRANGE _ POLYS,,,, y compare el resultado con los polinomios fundamentales que aparecen al final de la página 9.. NEWTON _ POLY ( M : permite aproximar o simplificar el polinomio de interpolación de grado menor o igual que n, p n ( x, para los n + puntos dados en la matriz [[ x, y ], [ x, y ],...,[ x ]] M n, yn :=, usando la forma de Newton. La presentación del polinomio no es la de Newton, sino la forma extendida en potencias de x. Como ejemplo, π π _ y compare el resultado aproxime la instrucción NEWTON POLY,, [ ],, con el polinomio p ( x que aparece al comienzo de la página 9. DIFERENCIA S_ DIV( M : simplifica o aproxima las de Newton, [ f [ x ], f[ x, x ],..., f[ x, x..., xn ]], correspondientes a los en la matriz M [[ x, f( x ],[ x f( x ],...,[ xn, f( xn ]] precisión de por lo menos 8 dígitos, la instrucción DIFERENCIA S_ DIV( M M [[ ],[., 5784 ],[. 4, 5447 ]] coeficientes del polinomio p ( x que aparece al comienzo de la página. n + diferencias divididas progresivas n + puntos dados :=. Como ejemplo, aproxime con una, siendo :=, y compare el resultado con los 4. TRAZADOR ( M : permite simplificar o aproximar el Trazador cúbico natural correspondiente a los datos dados en la matriz M [[ x, y ], [ x, y ],...,[ x, ]] :=. El n yn resultado de ejecutar la instrucción TRAZADOR ( M es una matriz de la forma: 5

6 [ [ x p ( x ],[ p( x ],...,[ pn ( x ] ] simplificar ( M correspondientes a los extremos del dominio del polinomio ( x,. Después de aproximar o TRAZADOR, éste se puede graficar, entrando los números x k y x k + p k para cada k, cuando DERIVE le solicite los valores Min y Max. Como ejemplo, entre la matriz M,,,,, TRAZADOR M y compare el resultado con la := [ [ ] [ ] [ ] [ ] ], simplifique ( función T ( x definida en el ejercicio 6. de la página Para calcular los coeficientes del polinomio trigonométrico: p a N k= ( x = + [ a cos( kx + b sen( kx ] k πj que interpola una función f en los N nodos igualmente espaciados x j =, N j =..., N p x = f x = f, j =..., N se puede proceder como sigue:,, es decir, ( j ( j j xn : fn (recuerde que las componentes de un vector se enumeran desde hasta N, luego calcule lo siguiente: Defina los vectores: X : = [ x, x,..., ] y F = [ f, f,..., ] VECTOR k, SUM N SUM N k ( Fsubj, j, N ( Fsubj cos( kxsubj, J, N, SUM ( Fsubjsen( kxsubj, J, N, k, N N Como ejemplo, tome N =, y defina los vectores simplifique las siguientes expresiones: π 4π X =, :, F : [,, 4 ] = y y VECTOR k, SUM SUM ( Fsubj, j, ( Fsubjcos( kxsubj, J,, SUM( Fsubjsen( kxsubj, J,, k, Compare los resultados obtenidos con los coeficientes del siguiente polinomio: p 4 ( x = + cos ( x sen( x + cos( x + sen( x También se pueden calcular los coeficientes del polinomio exponencial o serie finita de Fourier: N ( = k= q x c k e ik x i e x, con = cos x + isenx y i = 6

7 siguiendo los mismos primeros pasos anteriores, pero calculando los coeficientes k =..., N simplificando la siguiente expresión, teniendo en cuenta que î es la unidad imaginaria, que se escribe en DERIVE como #i: ( ( exp îkxsubj, k, N VECTOR k, SUM Fsubj, N Como ejemplo, simplifique la expresión anterior para el valor N = y los mismos vectores X y F anteriores, y compare el resultado con los coeficientes del siguiente polinomio exponencial: 4 ix i x q( x = + + i e + i e 4 = + cos( x + cos( x sen( x + sen( x + i cos( x cos( x + sen( x + sen( x 6. TRAPECIO ( f( x, a, b, N : permite aproximar el valor de f ( x b a c k, dx, usando la regla de los Trapecios con N subintervalos. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( π VECTOR k, TRAPECIO sin x ^, o,, k, k, 6, 6, 6, y compare el resultado con las dos primeras columnas de la tabla 5. de la página SIMPSON ( f( x, a, b, N : permite aproximar el valor de f ( x Simpson b a dx, usando la regla de los con N subintervalos (recuerde que N debe ser PAR. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( π VECTOR k, SIMPSON sin x ^, o,, k, k, 6, 6, 6, y compare el resultado con la primera y tercera columnas de la tabla 5. de la página ( f( t, t, t, y, h m EULER,, : permite aproximar los valores Y, Y..., Ym obtenidos al dy = f( t, aplicar el método de Euler al P:V:I dt con m pasos de tamaño h. Si se grafica La y( t matriz resultante, se visualiza un conjunto de puntos que puede permitir aproximar la curva solución del P.V.I. dado. Como ejemplo, aproxime la instrucción EULER y + t exp ( t, t, 5, y compare el resultado con la segunda y tercera t columnas de la tabla 6. de la página 88. 7

8 9. ( f( t, t, t, y, h m TAYLOR,, : permite aproximar los valores Y, Y..., Ym obtenidos dy = f( t, al aplicar el método de los tres primeros términos de la serie de Taylor al P:V:I dt y( t con m pasos de tamaño h. Si se grafica la matriz resultante, se visualiza un conjunto de puntos que puede permitir aproximar la curva solución del P.V.I. dado. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( TAYLOR y + t exp t, t, y compare el resultado t con la segunda y tercera columnas de la tabla 6.8 de la página 4 ( [ f( t ],[ t, y],[ t, y ], h m RK,, : permite aproximar los valores Y, Y..., Ym obtenidos al dy = f( t, aplicar el método de Runge-Kutta al P:V:I dt con m pasos de tamaño h. Si se y( t grafica la matriz resultante, se visualiza un conjunto de puntos que puede permitir aproximar la curva solución del P.V.I. dado. Como ejemplo, aproxime la instrucción ( [ ] [ ] RK y + t exp t, t, y,, y compare el resultado con la segunda y tercera t columnas de la tabla 6. de la página También se puede aplicar el método de Runge- Kutta para aproximar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, cuando se aproxima la instrucción: (, h m [ f ( t y, y, f ( t, y, y ],[ t, y, y ], [ t, y, y ] RK,,, se obtiene una matriz de tres columnas y m + filas, donde cada fila es de la forma [ t k, Y k, Y, k ], siendo Y ( k y tk y Y, k y ( tk los valores que se obtienen al aplicar el método de Runge-Kutta de cuarto orden al sistema: y y y = f ( t, y y = f ( t, y y ( t = y y ( t, con m pasos de tamaño h. Como ejemplo, aproxime la instrucción [ ] [ ] RK z, z y + tln t, t, z,, 5, y compare el resultado con la segunda, t t tercera y cuarta columnas de la tabla 6. de la página 6. Si desea graficar los puntos, correspondientes a las aproximaciones obtenidas, puede (, y/o los puntos ( t k Y k t k Y, k _ que permite aproximar una matriz formada por las columnas j y l de la matriz M. = y utilizar la instrucción EXTRACT _ COLUMNS ( M, j, l, 8