1) Determinar qué elección de h asegurará, a priori, que la solución numérica del P.C.: con el método de diferencias centrales, existe y es única.

Transcripción

1 I. Resolución numérica de Problemas de Contorno en E.D.O.: Métodos en diferencias finitas 1) Determinar qué elección de h asegurará, a priori, que la solución numérica del P.C.: y (x) + 4 sen x y (x) 4 cos x y(x) = sen x, 0 < x < π/2, y(0) = 0, y( π 2 ) = 1, con el método de diferencias centrales, existe y es única. 2) Con h = 1/3, encontrar una solución numérica del P.C.: y (x) + 8xy (x) y(x) = 7x, 0 < x < 1, y(0) = 0, y(1) = 1. Comparar el resultado con la solución exacta: y = x. 3) Se considera el siguiente P.C. : con ε > 0. x 2 y (x) + εy (x) 6y(x) = 6x, 1 < x < 2, y(1) = 1, y(2) = 3, a) Para ε = 1, resolver numéricamente el problema mediante diferencias centrales con h = 1/3. Para los valores ε = 10 y 100, qué longitudes de paso elegirías? b) Para ε = 10, si se desea mantener h = 1/3, qué método usarías? Resolver el problema por el método propuesto. 4) Se considera el problema de contorno { y (x) p y (x) = 0, 0 < x < 1, p R, y(0) = 0, y(1) = 1. a) Aplica los métodos de diferencias centrales y upwind al problema anterior con h = 1/3, y escribe los sistemas de ecuaciones correspondientes que se obtienen en función del parámetro p R. Resuelve los sistemas para el valor p = 20. b) Sabiendo que la solución exacta del problema es y(x) = 1 epx 1 e p, halla los errores de las soluciones numéricas obtenidas en el apartado anterior para p = 20. Qué método ha proporcionado mejores resultados? Explica a qué se deben los resultados obtenidos. 5) Considera una partición uniforme del intervalo [a, b] en N subintervalos de longitud h = (b a)/n, x i = a + i h. 1

2 a) Dada u C 3 [0, 1], considerar la fórmula u (x i ) = 3u(x i) + 4u(x i+1 ) u(x i+2 ) 2h + ch p u (ξ i ), para algún ξ i (x i, x i+2 ). Encontrar los valores de p y c en la fórmula de arriba. b) Plantea un problema de contorno con condicions de tipo Dirichlet y discretiza dicho problema usando la fórmula de arriba. Comenta las dificultades que tiene este esquema. 6) Se considera el siguiente problema de contorno: u (x) + u(x) = 2e x, 0 < x < 1, u(0) = 0, u (1) = 0. Discretizar el problema mediante diferencias centrales, tomando h = ) Se considera el problema de contorno { u (x) = 3, 0 < x < 1, u(0) = 1, u (1) = 1. cuya solución exacta es u(x) = 3 2 x2 + 2x + 1. a) Plantea dos métodos de diferencias finitas para resolver numéricamente el problema de contorno dado, empleando dos discretizaciones diferentes de la condición de contorno u (1) = 1. b) Escribe los dos sistemas de ecuaciones que resultan de aplicar los métodos planteados utilizando el paso h. c) Teniendo en cuenta los sistemas anteriores, en qué caso la matriz de coeficientes es simétrica? Estudia la existencia y unicidad de solución de ambos sistemas. d) Halla la solución numérica del problema dado, si es posible, mediante cada uno de los métodos planteados con h = 1/4. Compara ambas soluciones numéricas con la solución exacta. A qué se deben los resultados obtenidos? 8) Se considera el problema de contorno d ( ) 1 d dr r dr (ru) = 0, r (1.25, 3), u(1.25) = 1, u (3) = 0, a) Estudia la existencia y unicidad de solución del problema. b) Considerando un mallado con nodos r 1 = 1.25, r 2 = 1.75, r 3 = 2.25 y r 4 = 2.75, plantea una discretización de orden dos por diferencias finitas. c) Estudia el error de discretización local de tu esquema en el nodo r 2. 2

3 d) Plantea el sistema a resolver y estudia la existencia y unicidad de solución de dicho sistema. 9) Queremos aproximar la solución del problema de contorno { u (x) + u (x) = x, 1 < x < 1, u ( 1) = γ, αu(1) + βu (1) = 1, empleando un método de diferencias finitas centrales. a) Determinar los valores de los parámetros α, β y γ para los que se asegura que el problema anterior tiene solución única. b) Escribir las ecuaciones del sistema lineal resultante al dividir en N partes iguales el intervalo y empleando una aproximación de las condiciones de contorno de forma que el método tenga orden dos de convergencia. c) Hallar la solución numérica empleando el método anterior sobre un mallado uniforme obtenido al dividir en dos el intervalo [ 1, 1] para los valores de los parámetros α = 1, β = 0 y γ = 1. 10) Se considera el problema de contorno u (x) = 1, 0 < x < 2, u(0) = 0 = u(2), u (0) = 0 = u (2). a) Teniendo en cuenta que u = (u ), deduce la siguiente fórmula de aproximación u (x i ) u(x i 2h) 4u(x i h) + 6u(x i ) 4(x i + h) + u(x i + 2h) h 4 b) Demuestra por desarrollos de Taylor que la fórmula anterior es de orden dos. c) Sea el mallado formado por los nodos x 0 = 0, x 1 = 1/2, x 2 = 1, x 3 = 3/2, x 4 = 2. Considerando nodos ficticios x 1 y x 5 fuera del dominio, discretiza la ecuación en los nodos x 1 y x 3. d) Plantea el sistema de ecuaciones 3 3 que resulta. 11) Se considera el siguiente problema de contorno: T (x) = 10 7 T , 0.5 < x < 1, T (0.5) = 0, T (1) = 273. Discretizar el problema por un método en diferencias centrales, tomando la longitud de paso h = 1/8, construir el sistema resultante e indicar un método adecuado para la resolución numérica del sistema. 12) Con h = 0.2, encontrar una aproximación para cada uno de los siguientes P.C.: 3

4 a) y (x) + y (x) = e y(x), 0 < x < 1, y(0) = 0, y(1) = 1. b) y (x) = y(x) 3, 0 < x < 1, y(0) = 0, y(1) = 1. 13) Se desea resolver numéricamente el problema de contorno: y (x) = 1 x (y (x)) 2, x (1, 2), y(1) = 1, y(2) = 0. Obtener el sistema de ecuaciones que hay que resolver si se utiliza el método de diferencias centrales con h = 0.2. Cómo lo resolverías? 14) Se considera el problema de contorno P ε { 1 2 u (x) u (x) u(x) = x 3 + 6x 5, 0 < x < 1, u(0) = 1, u(1) + ε(u (1)) 3 = 0. a) Para ε = 0, discretiza el problema mediante diferencias centrales con paso h = 1/N. Escribe el sistema lineal a resolver y explica por qué tiene solución única (u 0 i ) N i=0. b) En el problema P 1 { 1 2 u (x) u (x) u(x) = x 3 + 6x 5, 0 < x < 1, ( ) u(0) = 1, u (1) = α 0, donde α 0 u 0 1/3 = N ε, con ε 0, discretiza también mediante diferencias centrales. Puedes asegurar la existencia de solución única (u 1 i ) N i=0? c) A la vista de los apartados anteriores, puedes definir una sucesión (P j ) j=0 cuya solución aproximada (u j i )N i=0 por diferencias centrales podría tender a la solución u del problema P ε? Qué criterio adoptarías para detener la iteración en P j? 15) Se desea resolver el problema de contorno: Ly y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = r(x), a < x < b; y(a) = α, y(b) = β, sobre un mallado no uniforme. Para ello, se procede como sigue: Consideremos un nodo arbitrario P y sus nodos adyacentes P 1 y P 2, como muestra la figura. h 2 h 1 P 2 P P 1 Para aproximar y (x) en el nodo P, se calcula el polinomio que interpola a y(x) en los nodos P, P 1 y P 2, obteniéndose una función ỹ(x), y se aproxima y (x) por ỹ (x). De igual forma, para y (x) se calcula el polinomio que interpola a y(x) en los nodos P 1 y P 2, obteniéndose y(x) y se aproxima y (x) por y (x). 4

5 a) Prueba que las aproximaciones están dadas por: ( y 2 y(p1 ) y(p ) (P ) y(p ) y(p ) 2) h 1 + h 2 h 1 h 2 y (P ) 1 h 1 + h 2 (y(p 1 ) y(p 2 )) b) A partir de esas aproximaciones, escribir el esquema general que discretiza el problema de contorno sobre una malla arbitraria anterior, c) Utilizando la discretización anterior, resolver el problema: { y (x) + (x + 1)y (x) + (2x + 3)y(x) = 3x 1, 0 < x < 0.375, y(0) = 0, y(0.375) = 1, sabiendo que x 0 = 0, x N = 0.375, N = 4, y que cada paso del mallado es la mitad del anterior. 16) Se considera el problema de contorno: { y (x) = y(x) + 2e x, x (0, 1), y(0) = 2, y(1) = e + cos(1), donde y(x) = e x + cos(x) es la solución del problema. a) Resolver el problema por el método de diferencias centrales con paso h = 1/3 y comparar los resultados obtenidos con la de la solución exacta. Se obtendría mejor solución por el método upwind? b) Resolver el problema por el método de diferencias centrales en el siguiente mallado {x 0 = 0, x 1 = 1/4, x 2 = 3/4, x 3 = 1}. 17) Se considera el problema de contorno: { (x 2 y ) (2xy) 4y = 6x, x (1, 2), y(1) = 0, y(2) = 6. Calcula la solución del problema usando el método de diferencias centrales sobre el mallado x 0 = 1, x 1 = 3/2, x 2 = 7/4, x 3 = 2. 18) Se considera el problema de contorno: { y (x) αy(x) = 0, x (0, 1), y (0) = 1, y(1) = 1, con α R. a) Aplica el método de diferencias centrales en el mallado x 0 = 0, x 1 = 3/2, x 2 = 1/2, x 3 = 2/3, x 4 = 1 y plantea el sistema a resolver en función del parámetro α. 5

6 b) Se puede asegurar que el sistema lineal tiene solución única para los valores no negativos del parámetro α? Razona la respuesta. c) Resuelve el sistema para α = 0 y compara la solución numérica que se obtiene con la solución exacta del problema y(x) = x 2. 19) Se considera el problema de contorno: { u (x) + (cos(x))u (x) = e x, x (0, 1), u(0) = 0, u(1) = 1, a) Posee solución única? b) Obtener el problema discreto por diferencias centrales a partir de una subdivisión uniforme del intervalo [0, 1] en N subintervalos. Sin resolverlo, se puede asegurar que tiene solución única? c) Hallar la solución numérica mediante el método upwind tomando los nodos x 0 = 0, x 1 = 1/3, x 2 = 1. 6

7 Cuestiones Prácticas 1) Considerar el problema de contorno: { y 100y 100y = 0, 0 < x < 1, y(0) = 0, y(1) = 1. a) Al aplicar el método de diferencias centrales con N = 5, se han obtenido los siguientes resultados: x Sol. Num. Sol. Exac Verifica la solución numérica las propiedades min máx débil y fuerte? Hay contradicción con alguno de los resultados teóricos? Razonar las respuestas. b) Se ha resuelto el problema utilizando los métodos de diferencias centrales y upwind, obteniéndose la siguiente tabla de errores: N M. Dif.Cent. M. Upw i) Analizar los resultados obtenidos en función de la discretización y el método utilizado. ii) Comprobar el orden de ambos métodos. 2) Dado el problema de contorno: { y 10y x 7 (x 2 7.2) = 0, 1 < x < 1, y( 1) = 0, y(1) = 0. se ha utilizado el método upwind para su resolución numérica, obteniéndose los siguientes resultados: N Error Deducir razonadamente el orden del método. 7

8 3) Se ha discretizado el problema: { u (x) + 400u (x) + 10u(x) = 0, x (0, 1), u(0) = 0, u(1) = 1. por un método de diferencias finitas explicado en clase y se ha obtenido en un nodo interior x i la siguiente ecuación ( 1 h ) ( ) ( 2 u 2 i+1 + h h + 10 u 2 i + 1 h 200 ) u 2 i 1 = 0. h a) Podrías decir a qué método corresponde? b) Se ha aplicado dicho método con un paso de discretización h = 1 y se ha obtenido 20 la solución representada en la figura. Te parece adecuada la solución del método? La solución exacta del problema cumple alguna propiedad conocida? Y la solución numérica? A qué puede ser debido el comportamiento de la solución numérica? 1 Diferencias finitas ) Se considera el problema de contorno { u (x) (x + 1)u(x) = e x (x 2 x + 2), x (2, 4), u (2) = 0, u(4) = 3e 4. 8

9 a) Justificar que la única solución del problema es u(x) = e x (x 1) b) Aplicar un método de diferencias finitas para discretizar el problema dado, a partir de un mallado formado por n elementos iguales, y discretizar la condición de contorno en x = 2 por medio de una fórmula de orden dos. Indicar cuáles son los elementos no nulos de la matriz del sistema lineal que resulta. 5) Para resolver el siguiente problema de convección difusión { u (x) + 200u (x) = x, 0 < x < 1, u(0) = 0, u(1) = 0, se han utilizado dos esquemas en diferencias finitas, E 1 y E 2, sobre una partición uniforme del intervalo en n partes. Se han calculado los siguentes errores de discretización para diferentes divisiones del intervalo: n E 1 E Tomando 20 divisiones en el intervalo hemos representado en la siguiente figura la solución numérica con el esquema E 1 (+), con el esquema E 2 ( ) y la solución exacta con una línea continua. 4 x

10 a) Estima cual es el orden de los dos esquemas numéricos con los datos de la tabla. b) Cúal de los dos esquemas parece preferible? por qué? c) Si el paso de integración h está limitado de modo que ha de cumplir que h 0 05, qué método de diferencias finitas de los propuestos en clase emplearías? por qué? 6) Para resolver el siguiente problema { u (x) + u (x) = x, 1 < x < 1, u ( 1) = 1, u(1) = 1, se propone utilizar el método de diferencias centrales y discretizar la condición de contorno en x = 1, por medio de la fórmula: u ( 1) u( 1 + h) u( 1 h) 2h a) Deduce el sistema lineal que resulta de aplicar el método propuesto, considerando un mallado uniforme del intervalo [ 1, 1] con n 1 subintervalos. Posee solución única? b) Para diferentes subdivisiones uniformes del dominio, se ha obtenido la siguiente tabla de errores n max u(x i) u i 1 i n Teniendo en cuenta estos resultados, indica el orden del método. 10