Métodos Numéricos: Ejercicios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones

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1 Métodos Numéricos: Ejercicios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 2008, versión Consideramos la ecuación x e x =0. ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1]. (b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [0, 1]. (c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos? (d) Calcula las 5 primeras iteraciones. 2. Consideramos la ecuación x e x =0. (a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamente el valor de la raíz. (b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección. Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones calculadas en el ejercicio anterior. (c) Si partimos de intervalo [0, 1], cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 7 decimales exactos? (d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximar la raíz con 7 decimales. (e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartado anterior. 3. Consideramos la ecuación ln x = 1 x. 1

2 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2 ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2]. (b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [1, 2]. (c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos? (d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual. (e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados manualmente. (f) Resuelve la ecuación con Maple. 4. Consideramos la ecuación ln x = e x. ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2]. (b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [1, 2]. (c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos? (d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual. (e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados manualmente. (f) Resuelve la ecuación con Maple. 5. Unproyectilde2gramosdemasahasidolanzadoverticalmentealaire y está descendiendo a su velocidad terminal 1. La velocidad terminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como (0.002) (9.81) = v v 2, donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de presión. 1 Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.

3 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 3 (a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v ' 30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz. Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple. (b) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la solución con 2 decimales usando el método de la bisección. (c) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente el valor de los dos primeros pasos. (d) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple. 6. El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuación de criticalidad 2. Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es tan (0.1x) =9.2 e x. La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, por experiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4]. (a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] y que tal raíz es única. (b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de la bisección. (c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación. (d) CalculaelvalordelaraízconMaple. 7. Consideramos la ecuación x = e x. ecuación tiene una solución α próxima a x 0 =0.5. (b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método de Newton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado. (c) Demuestra que la solución obtenida es correcta. 8. Resuelve la ecuación de criticalidad tan (0.1x) =9.2 e x usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x 0 = 3.5. Calcula la solución con 5 decimales exactos. 2 Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.

4 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones Resuelve la ecuación (0.002) (9.81) = v v 2 usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v 0 = 30m/s. Calcula la solución con 3 decimales exactos. 10. Aproxima el valor de 41 con 6 decimales exactos usando el método de Newton-Raphson. 11. Aproxima el valor de 5 23 con 6 decimales exactos usando el método de Newton-Raphson. 12. Dado un número c, podemos calcular su inverso x =1/c resolviendo la ecuación 1 x c =0. (a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos calcular inversos sin hacer divisiones. (b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales deben estar próximos a la solución para que el método converja. 13. Consideramos la ecuación x =cos(x). (a) Demuestra que la formulación x = x +cos(x) 2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x 0 en el intervalo [0, 1]. (b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. (c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. (d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. (e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple. 14. Consideramos la ecuación x = e x.

5 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 5 (a) Demuestra que la formulación x = x + e x 2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x 0 en el intervalo [0.5, 1]. (b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. (c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. (d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. (e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple. 15. Resuelve la ecuación tan (0.1x) =9.2 e x con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo toma como intervalo inicial [3, 4]. 16. Resuelve la ecuación x = x λf(x) x =cos(x) con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo toma como intervalo inicial [0, 1]. x = x λf(x) 17. Calcula 55 con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo x = x λf(x) determina un intervalo inicial adecuado. 18. El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tubo está dado por 3 µ 1 e f = log 10 D , R e f 3 Correlación de Colebrook

6 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 6 donde R e es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos (a) D =0.1m, e =0.0025, R e = (b) D =0.1m, e =0.0001, R e = Indicación: El orden de magnitud de f es 10 2 ; además es mejor reescribir la ecuación en la forma µ e f = log 10 D R e f