Ecuaciones No-Lineales y raices polinomiales

Transcripción

1 Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Física Computacional CC063 Ecuaciones No-Lineales y raices polinomiales Prof: J. Solano 2012-I

2 Introduccion En Física a menudo nos encontramos con el problema de determinar la raíz de una función f (x). Sobre todo, es posible que necesitemos resolver ecuaciones no lineales de una variable. Tales ecuaciones son generalmente divididas en dos clases: ecuaciones algebraicas que involucran raíces de los polinomios y ecuaciones trascendentales. Cuando sólo hay una variable independiente, el problema es 1D, es decir, encontrar la raíz o raíces de una función. Salvo en los problemas lineales, la búsqueda de raíces siempre se procede por iteración, y esto es igualmente cierto en una o en muchas dimensiones. Esto significa que a mano no podemos resolver exactamente las ecuaciones. Empezamos con alguna solución aproximada de prueba. El algoritmo elegido, a su vez mejorara la solución hasta que cierto determinado criterio de convergencia es satisfecho. Los algoritmos que comentamos a continuación tratan de implementar esta estrategia. Nos ocuparemos principalmente de problemas 1D. 2

3 Ecuacion de Schrodinger (ES) Ejemplos de ecuaciones trascendentales al resolver la Ecuacion de Schrodinger (ES) para un particula en una caja de potencial. La ES 1D para una particula de masa m es: Estados ligados corresponden a energia negativa E y estados de scattering a energias positivas. 3

4 Ecuacion de Schrodinger (ES) Si vemos los estados límite E < 0 e implementamos las CF en la función de onda se obtiene: Por continuidad de funcion de onda en r = a se obtiene la ec. trascendental Este tipo de ecs. puede resolverse por los metodos de Biseccion, de Secante, Falsa posicion y metodos de Brent, metodo de Newton-Raphson. La estrategia consiste en hallar las raices de f(e)=0 4

5 Probl: Ecuacion de Schrodinger (ES) Plot f(e) vs E en MeV. f(e) tiene dimension MeV. E es para estados ligados. V 0 =20 MeV, a=2 fm, m =938MeV. Del plot vemos que solucion es cerca de E ~2.2MeV (energia enlace deuteron) 5

6 Metodos de iteracion Resolver f(x)=0 es hallar los numeros s tq f(s)=0. Procuramos un x 0 (dentro de tolerancia ), que es solucion de f(s)=0 si Podemos usar otro criterio como y f(x 0 ) < o combinacion de ellos. Eso no asegura la convergencia => criterio de Lipschitz: si la funcion f, definida en [a,b] satisface para todo x 1 y x 2, de dicho intervalo, la condicion f es continuo en [a,b], => la secante da con x 1, x 2, dentro de [a,b]. Entonces tenemos: Condic.convergencia: f definido en [a,b] y satisface condicion de Lipschitz con k<1 Si x n es valor de x despues de n iteraciones: 6

7 Metodos de iteracion Numericamente es dificil hallar el punto exacto donde f(s)=0, por lo que en esta solucion numerica se impementan tres tests del tipo: 1. x n s < 2. f(s) < 3. un numero maximo de iteraciones N max-iter 7

8 Metodo de Biseccion Este método es extremadamente simple de codificar. Puede explicarse mejor mediante la elección de una región (por ej. en fig. anterior) cerca de donde f(e)=0. En nuestro caso E ~2.2. Elegir un región [a,b] de modo que a=1.5 y b=3. Esto debe abarcar el punto donde f=0. Definir entonces el punto c =(a+b)/2 y calcule f(c). Si f(a)f(c)<0, la solucion cae en la region [a,(a+b)/2]. Cambia b c y calcula un nuevo valor de c. Si f(a)f(c)>0, la solucion cae en la region [(a+b)/2,b]. Cambia a c y calcula un nuevo valor de c. Se continua dividiendo el intervalo por la mitad en cada iteracion hasta alcanzar un c tal que f(c)~0, dentro de una precision numerica dada. 8

9 Metodo de Biseccion 9

10 biseccion.cc 10

11 Metodo de Biseccion El método de biseccion es una prueba del metodo iteractivo, aunque converge lentamente. Despues de n divisiones por 2 tenemos una posible solucion en el intervalo y si tenemos que x 0 =(a+b)/2 y x n el punto medio en el intervalo despues de n iteraciones ya que el n-simo intervalo tiene longitud b-a /2 n. Este criterio de convergencia es independiente de f(x). Ejemplo: suponga que queremos saber cuantas iteraciones se necesitan para obtener una precision relativa de para x n en el intervalo [50,63]. En nuestro caso es suficiente estudiar s 50, que resulta en Con lo que obtenemos dando n 37 11

12 biseccion3.cc 12

13 Metodo (abierto) de Newton-Raphson f(x) en serie de Taylor Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en x n+1 : Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que, luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo. Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x)=0, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo: Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es: Entonces: Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla: Por tanto, imponiendo subíndices: 13

14 new-raphson.cc 14

15 new-raphson.cc 15

16 Osc-amortiguado.cc 16

17 Osc-amortiguado.cc (cont.) 17

18 Metodo de la secante Cuando la funcion f(x) es smooth cerca de la raiz, los metodos de la Secante y de Posicion falsa (regula falsi) en general convergen mas rapido que el metodo de biseccion pero menos rapido que el de Newton-Raphson De la definicion de derivada y el metodo de Newton-Raphson obtenemos 18

19 Metodo de la secante 19

20 Metodo de la secante 20