Diferenciacion Numerica

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Paula Peña Luna
hace 6 años
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1 Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Física Computacional CC063 Diferenciacion Numerica Prof: J. Solano 2012-I

2 Punteros y arreglos en C/C++ int nombre (define una variable entera llamada nombre. Se le da una direccion en memoria donde podemos almacenar un numero entero) &nombre (Es la direccion de un lugar especifico en memoria donde el enetro nombre es almacenado. Colocando el operador & en frente de la variable comparte su direccion en memoria) int *puntero (Define un puntero entero y reserva una ubicacion en memoria para esta variable especifica. El contenido de esta ubicacion es vista como la direccion de otro lugar en memoria donde hemos almacenado un entero) 2

3 Punteros y arreglos (p1-cap4-puntero.cc) /* Curso Fisica Computacional CC I CC-FC-UNI */ // p1-cap4-puntero.cc: punteros y arreglos #include <stdio.h> using namespace std; int main() { int matr[2]; int *puntero; puntero = &matr[0]; matr[0] = 321; matr[1] = 322; printf("\n Direccion del elemento de matriz matr[1]: %p",&matr[0]); printf("\n Valor del elemento de matriz matr[1]: %d",&matr[0]); printf("\n Direccion del elemento de matriz matr[2]: %p",&matr[1]); printf("\n Valor del elemento de matriz matr[2]: %d",&matr[1]); printf("\n Valor del puntero: %p", puntero); printf("\n Valor al que el puntero apunta: %d", *puntero); printf("\n Valor al que el (puntero+1) apunta: %d", *(puntero+1)); printf("\n Direccion de la variable puntero: %p\n", &puntero); } 3

4 Punteros y variables (p2-cap4-puntero.cc) /* Curso Fisica Computacional CC I CC-FC-UNI */ // p2-cap4-puntero.cc: punteros y arreglos #include <stdio.h> using namespace std; main() { int var; int *puntero; puntero = &var; var = 421; printf("\n Direccion de la variable entera: %p\n",&var); printf("\n Valor de la variable var: %d\n", var); printf("\n Valor de la variable entera puntero: %p\n", puntero); printf("\n Valor al que el puntero apunta: %d", *puntero); printf("\n Direccion de la variable puntero: %p\n", &puntero); } 4

5 Diferenciacion Numerica Def. matematica de derivada de una funcion f(x) es expansion de Taylor para f(x) Entonces podemos computar la derivada f' c (x) como 5

6 Diferenciacion Numerica Podemos representar la derivada por o por Funciona bien si la 2 da derivada es cercana a cero. Sin embargo si tenemos una funcion como f(x)=2bx+bh 2, esta derivada aproximada da Funcionaria para h pequenho y b no muy grande, pero daria errrores de redondeo en f(x+h)-f(x) 6

7 Diferenciacion Numerica Subdivision en pasos de ancho h 7

8 Diferenciacion Numerica Una mejor aproximacion en caso de una expresion cuadratica de f(x) es usar la formula de 3 pasos donde se evalua la derivada a ambos lados de un punto x 0. o Calculando ambos f +-h y substrayendolos obtenemos 8

9 Diferenciacion Numerica Una mejor aproximacion en caso de una expresion cuadratica de f(x) es usar la formula de 3 pasos donde se evalua la derivada a ambos lados de un punto x 0. o Calculando ambos f +-h y substrayendolos obtenemos 9

10 Usando la relacion. Diferenciacion Numerica Podemos definir derivadas de orden superior, como: Podemos definir la formula de cinco pasos, expandiendo en Taylor a dos pasos, en torno x 0, en region [-2h,2h] Con la primera derivada dada por (util para polinomio orden 4): 10

11 Usando la relacion. Diferenciacion Numerica Podemos definir derivadas de orden superior, como: Podemos definir la formula de cinco pasos, expandiendo en Taylor a dos pasos, en torno x 0, en region [-2h,2h] Con la primera derivada dada por (util para polinomio orden 4): 11

12 Diferenciacion Numerica Se puede demostar que estas formulas usadas para primera y segunda derivadas de una funcion pueden escribirse como: y 12

13 Diferenciacion Numerica Se puede demostar que estas formulas usadas para primera y segunda derivadas de una funcion pueden escribirse como: y 13

14 Diferenciacion Numerica Escribir un programa para calcular la primera y segunda derivada de exp(x) 14

15 Analisis de errores Si disminuimos indefinidamente h podemos perder precision. Analicemos que tan pequenho puede ser el paso (h). Usamos un paso inicial de h=0.1 y un valor fijo de x=10 15

16 Analisis de errores 16

17 Analisis de errores El error viene por truncar la serie y por perdida de precision Para la segunda derivada tenemos y el error de truncamiento o aproximacion Si no nos preocupa la perdida de precision se puede hacer h muy pequenho, pero... 17

18 Analisis de errores Rapidamente alcanzamos el limite de perdida de precision ( M < 10-7 (10-15 ) para precision single(double)) entonces nuestro error total es y el h que lleva al menor error Para x=10 da h~

19 Analisis de errores Es instructivo reescribir el numerador de la derivada calculada como, ya que esa diferencia la que causa perdida de precision 19

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