ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

Transcripción

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Evaluación continua 1-Noviembre-015 6x1 x + x = Dado el sistema de ecuaciones lineales S x1 + 4x = 14.5, se pide x1 + 5x = 8.7 a. Resolver con MATLAB con la instrucción x=a\b (método de Gauss). b. Estudiar si A es definida positiva. c. Estudiar si la matriz A de los coeficientes es estrictamente diagonal dominante, en caso negativo definir un sistema S cuya matriz B de coeficientes sea estrictamente diagonal dominante. d. Es B definida positiva? e. Hallar el número de condición de las matrices A y B y comentar el resultado. f. Hallar la descomposición LU de la matriz A y de la matriz B y explicar las diferencias entre ambas descomposiciones. g. Hallar la solución de los sistemas S y S, a partir de las matrices de descomposición LU y usando la instrucción del apartado a). Coinciden? h. Dar una explicación de los resultados del apartado g. i. Si queremos obtener, por el método de Jacobi, una solución aproximada del sistema formado por las ecuaciones dadas debemos usar las matrices asociadas a S o las asociadas a S? por qué? j. Teniendo en cuenta la respuesta en i), hallar una solución aproximada para una tolerancia de 0.001, y decir cuántas iteraciones son necesarias. k. Mismas cuestiones i. y j. utilizando Gauss-Seidel. l. Mismas cuestiones i. y j. utilizando Sobrerrelajación para dos valores diferentes de w. Solución: a. >> A=[6-1;1 0 4;- 5 0] A = >> b=[4.6;14.5;8.7] b = >> x=a\b U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 1

2 x = b. >> det(a) -99 No es definida positiva. Ni siquiera es simétrica y además det(a) < 0. c. Claramente la matriz A no es estrictamente diagonal dominante. Por ejemplo en su segunda fila, el elemento de la diagonal principal 0 no es mayor que la suma de los otros dos (1 + 4 = 5). Intercambiando el orden de las dos últimas filas, queda ya una matriz estrictamente diagonal dominante: >> B=[6-1;- 5 0;1 0 4] B = Hacemos lo mismo con la matriz de términos independientes: >> c=[4.6;8.7;14.5] c = El nuevo sistema S es equivalente a S y tiene, por tanto, las mismas soluciones: >> y=b\c y = d. B es simétrica y sus tres menores principales son positivos: 6, = Luego B es definida positiva. e. >> cond(a) y det(b) =.5774 >> cond(b).5774 El número de condición indica que son matrices bien condicionadas (número cerca de 1) y coinciden ambos números por ser matrices bien condicionadas que solo se diferencian en el orden de sus filas. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería

3 f. Descomposición LU de la matriz A: >> [L,U]=lu(A) L = U = Descomposición LU de la matriz B: >> [L,U]=lu(B) L = U = Como B es estrictamente diagonal dominante, admite descomposición LU sin pivotación y por eso L es triangular inferior. No ocurre así con A. g. Solución de ambos sistemas: >> [L,U]=lu(A);x=U\(L\b) x = >> [L,U]=lu(B);y=U\(L\c) y = Coinciden. Y es que eran sistemas equivalentes. h. Coinciden porque la instrucción \ ( x=u\(l\c)) pivota las ecuaciones por lo que las matrices LU usadas en el caso de la matriz A son pivotadas por el programa. i. Como B es estrictamente diagonal dominante, tenemos asegurada la convergencia de Jacobi en la resolución del sistema S. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería

4 j. >> x0=[0;0;0];tol=0.001; >> jacobi(b,c,x0,tol,9) No converge con las iteraciones dadas >> jacobi(b,c,x0,tol,10) Luego, son necesarias 10 iteraciones. ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía k. Como B es estrictamente diagonal dominante, tenemos asegurada la convergencia de Gausseidel en la resolución del sistema S. >> gausseidel(b,c,x0,tol,5) No converge con las iteraciones dadas >> gausseidel(b,c,x0,tol,6) Se necesitan, por tanto, 6 iteraciones frente a las 10 con Jacobi. l. >> sobrerrelajacion(b,c,x0,1.,0.01,5) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 4

5 No converge con las iteraciones dadas >> sobrerrelajacion(b,c,x0,1.,0.01,6) Siguen siendo necesarias 6 iteraciones como en Gausseidel. >> sobrerrelajacion(b,c,x0,0.1,tol,5) No converge con las iteraciones dadas >> sobrerrelajacion(b,c,x0,0.1,tol,6) No converge con las iteraciones dadas No se consigue disminuir el número de iteraciones necesarias para la convergencia. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 5

6 .- Dada la tabla de valores siguiente, correspondiente a la función f(x) = tg (x): x i π 0 π 4 4 y i a) Calcular el correspondiente polinomio de interpolación, aplicando la definición. b) Calcular a mano el polinomio de Newton con la fórmula de las diferencias divididas. c) Interpolar el valor de f en 8 π. Solución: a) Al tener nodos, el polinomio de interpolación será de grado y ha de pasar por los tres puntos: ( ) P x = a x + a x + a 1 0 π π π 1 0 P = a + a + a = P 0 = a = 0 ( ) 0 π π π 1 0 P = a + a + a = Por tanto, para hallar los coeficientes del polinomio, hay que resolver el sistema: π π a 1 a a = 1 a = P x = x 1.7x ( ) 1 1 π π π π a 0 1 a Comprobación con Matlab: >> x=[-pi/4 0 pi/4]; >> y=[-1 0 1]; >>p= polyfit(x,y,) b) Fórmula de las diferencias divididas de Newton: ( ) = [ ] + [, ]( ) + [,, ]( )( ) P x f x f x x x x f x x x x x x x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 6

7 xi f(xi) Dif. Div. de orden1 Dif. Div. de orden x0 = π f [x0] = -1 4 f [ x, x ] 0 1 f [ x ] f [ x ] x x 1 0 = = π f [ x1, x] f [ x0, x1] x1 = 0 f [x1] = 0 f [ x0, x1, x] = = 0 x x f [ x, x ] 1 f [ x ] f [ x ] 4 x x π 1 = = 1 0 x = 4 π f [x] = 1 P x 4 π π π = = + + π x 4 x 4 x π x 4 Luego, ( ) -1 0 ( ) π 4 π 1 c) P = = 8 π 8 Con Matlab: >> p=polyfit(x,y,); >> polyval(p,pi/8) Para la misma función del problema anterior, f(x) = tg (x), se considera la tabla de valores: x i π π π 0 π π 4 π y i a) Hallar el polinomio de interpolación correspondiente a estos datos. b) Interpolar estos puntos mediante un spline cúbico cuya derivada primera en los extremos coincida con la derivada primera de la función. c) Hallar el spline que pasa por dichos puntos y tiene derivada tercera en los nodos π 4 y 4 π (es decir, las dos primeras piezas del spline son el mismo polinomio, al igual que las dos últimas). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 7

8 Solución: a) Polinomio de interpolación de grado 6 (puesto que hay 7 nodos): >> x=[-pi/ -pi/4 -pi/6 0 pi/6 pi/4 pi/]; >> y=[-sqrt() -1 -(sqrt())/ 0 (sqrt())/ 1 (sqrt())]; >> p=polyfit(x,y,6) p = Luego, el polinomio de interpolación es: p (x)= x x x x x x b) Se trata de un spline completo: ( ) f '( x) tgx ' 1 π 1 1 f '( ) = = = 4 π cos ( ) 1 = = cos x π 1 1 f = = = π '( ) 4 cos ( ) 1 >> sc=spline(x,[4 y 4]) sc = form: 'pp' breaks: [ ] coefs: [6x4 double] pieces: 6 order: 4 dim: 1 >> sc.coefs Luego, el spline completo es: π π π π π S0 ( x) = x x x , x, 4 π π π π π S1 ( x) = x x x , x, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 8

9 π π π π S ( x) = x x x , x, π ( ) , x 0, 6 S x = x x + x π π π π π S4 ( x) = x x x , x, π π π π π S5 ( x) = x x x , x, c) Se pide el spline no nodo: >> sn=spline(x,y) sn = form: 'pp' breaks: [ ] coefs: [6x4 double] pieces: 6 order: 4 dim: 1 >> sn.coefs Luego, el spline no nodo es: π π π π π S0 ( x) =.1084 x x x , x, 4 π π π π π S1 ( x) =.1084 x x x , x, π π π π S ( x) = 0.87 x x x , x, π ( ) , x 0, 6 S x = x x + x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 9

10 π π π π π S4 ( x) =.1084 x x x , x, π π π π π S5 ( x) =.1084 x x x , x, Para la tabla de valores: x i y i a) Hallar el polinomio de interpolación. b) Hallar un spline no nodo para estos datos. c) Dibujar los dos polinomios en la misma ventana de dibujo. Comentar el resultado. Solución: a) Polinomio de interpolación de grado 9 (puesto que hay 10 nodos): >> x=[1:10]; >> y=[ ]; >> p=polyfit(x,y,9) Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT. > In polyfit at 75 p = 1.0e+04 * Luego, el polinomio de interpolación es: p (x)= x x x x x x x x x b) Spline no nodo: >> sn=spline(x,y) sn = form: 'pp' breaks: [ ] coefs: [9x4 double] pieces: 9 order: 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 10

11 dim: 1 >> sn.coefs Los coeficientes anteriores de cada tramo del spline Si, son coeficientes de las potencias de (x-xi), i=0,, 8. Escribimos, por ejemplo, el primero de ellos: 0 ( ) =.5916 ( 1) ( 1) ( 1) , x [ 1, ] S x x x x c) Gráficas en la misma ventana: 150 >> xx=[1:0.1:10]; >> yy=polyval(p,xx); >> plot(xx,yy) >> hold on >> plot(x,y,'*') >> zz=ppval(sn,xx); >> plot(xx,zz,'--') Con el spline se han evitado las fluctuaciones del polinomio de interpolación que se producían debido al grado elevado del polinomio, sobre todo en los subintervalos de los extremos. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Inferencia Estadística y Cálculo Numérico aplicados a la Ingeniería 11