Auxiliar 6: Interpolación Mediante Spline Cúbicos

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1 Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática Semestre Otoño 27 Cálculo Numérico MAA-2 Profesor: Gonzalo Hernández Auxiliar: Gonzalo Ríos Fecha: 7 de Abril Resumen Materia Auxiliar 6: Interpolación Mediante Spline Cúbicos Spline Cúbica: S(x) ={S k (x) x [x k,x k ] k {n }} donde: yverifica: S k (x) =a k b k (x x k )c k (x x k ) 2 d k (x x k ) (a) i Interpole: S k (x k )=y k n restricciones ii Continua: S k (x k )=S k (x k ) n- restricciones iii Derivada Continua: S k (x k)=s k (x k) n- restricciones iv 2 Derivada Continua: S k (x k)=s k (x k) n- restricciones 2 Condiciones de Borde: Son n incógnitas y n-2 restricciones 2 condiciones de borde (a) Spline Natural: S (x )=,S (x n )= (b) Spline Extremos Constantes: S (x )=S (x ),S (x n )=S (x n ) (c) Spline Valor Fijo: S (x )=α, S (x n )=β (d) Spline Sujeta: S (x )=f (x ),S (x n )=f (x n ) Construcción de la Spline: se define c k = S (x k ) 2, = x k x k, λ k = a k a k, μ k =(λ k λ k ) yseresuelve el sistema matricial de n incógnitas Fila condición de borde en x c μ h 2(h h ) h c μ h 2(h h 2 ) h 2 μ 2 h 2 2(h 2 h ) h = h n 2 2(h n 2 h n ) h n c n μ n Fila condición de borde en x n c n μ n Los otros coeficientes de la spline se obtienen de las ecuaciones: Problemas a k = y k b k = a k a k (2c k c k ) d k = c k c k )Determinelasplinesujetadelafunciónf(x) =cos(πx) enlospuntosequiespaciados: x =,x =,x 2 = 2,x =,x = Solución: y =cos()=,y =cos( π )= 2 2,y 2 =cos( π 2 )=,y =cos( π )= 2 2,y =cos(π) = Primero se necesita calcular h,h,h 2,h y a, a,a 2,a,a Como los puntos son equiespaciados: h = h = h 2 = h = Los a k se determinan están dados por: a k = f(x k ) k =,,, Luego: a =,a = 2 2,a 2 =,a = 2 2,a = El sistemadelasplinesujetaes: 2h h h 2(h h ) h h 2(h h 2 ) h 2 h n 2 2(h n 2 h n ) h n h n 2h n c c c n c n (a a ) h f (x ) (a 2 a ) h (a a ) h (a a 2 ) h 2 (a 2 a ) h (a a ) h (a a 2 ) h 2 f (x n ) (a a) h

2 Reemplazando los valores: Cuya solución es: 2 2 c c c c c c c c 2( 2 2 ) 2( 2) 2( 2) 2( 2 2 ) = Finalmente se tienen que determinar los b k y d k Para ello se utilizan las ecuaciones: Luego: b k = (a k a k ) (c k 2c k ) k =,, n d k = (c k c k ) k =,, n b b b 2 b d d d 2 d (a a ) h (c 2c ) h (a 2 a ) h ( 2c ) h (a a 2 ) h 2 (c 2 ) h2 (a a ) h (c 2c ) h h (c c ) h ( c ) h 2 (c ) h (c c ) ) En los últimos años, el precio de la bencina en Chile a tenido fuertes alzas A continuación se muestran algunos datos sobre el precio de la bencina 95 octanos desde Diciembre del 2 hasta Agosto del 26: Fecha 5/2/ 27//5 22//5 9/5/5 /6/5 8/8/5 P esos/litro Fecha 5/9/5 8//5 //5 2//6 29//6 5/6/6 P esos/litro A partir de los datos, en función de los días transcurridos desde el 5/2/ construya la Spline Cúbica ) En el parque nacional Torres del Paine, situado en la XII Región de Chile, un turista amigo suyo sacó una fotografía a las torres:

3 La Organización Internacional del Medio Ambiente desea hacer estudios sobre la composición de las rocas de las Torres del Paine, pero para realizar esto se necesita la función de altura de las Torres Modele esta función mediante una Spline Cúbica, a partir de la fotografía Grafique la función ) Construyamos mediante splines cúbicas el contorno de la citroneta de la fotografía: i) Primero, se realiza la toma de datos usando una malla cuadriculada sobre la fotografía: ii) Luego, los datos se tabulan Los datos sel contorno superior son: k : x k y k iii) Ahora se calculan los elementos de la matriz, considerando las definiciones: = x k x k λ k = y k y k μ k = (λ k λ k ) k λ k 7 = 2 = 2 22 = = μ k ( 2 96 ) = ( )= ( 5 )= 7

4 k λ k 2 = 2 = = 5 2 = μ k ( 2 )= 2 ( 2 )= 2 ( )= ( 67 )= 2 k λ k = 2 5 = 5 5 = 9 6 = 2 μ k ( 2 5 )= 7 2 ( 2 5 )= ( 9 )= ( 2 )= 8 5 iv) Usando las condiciones de borde de spline natural: S (x )=, S (x n )=, y reemplazando valores, el sistema queda: c c c c 2 2 c c 6 = 2 c c c c c 8 5 v) Se resuelve el sistema aproximando con cifras significativas con redondeo c c c 9 2 c 7 97 : c c c c c c 6 7 c vi) Se construye la spline natural, k =,,, S k (x) = a k b k (x x k )c k (x x k ) 2 d k (x x k ) a k = y k b k = y k y k (2c k c k ) d k = c k c k k x k y k c k k x k y k y k y k y k y k c k

5 k = ³ S (x) =5 7 (2 2 82) (x 2) (x 2) (x 2) = S (x) =7 9 x 2 9 6x 82x k = ³ (2 ( 2 82)88 8) S (x) =78 9 (x 27) 2 82 (x 27) (x 27) = S (x) = 9x 9 8x 2 89 x 9 k =2 ³ 22 ( ) S 2 (x) =9 5 5 (x 8) 88 8 (x 8) (x 8) = S 2 (x) =88 6x 2 62x 5788x 69 k = ³ 2 (2 ( 9 2)7 97) S (x) = (x 6) 9 2 (x 6) (x 6) = S (x) =7 x 988 7x 2 2 x 8 59 k = ³ 2 ( ) S (x) =2 5 (x 8) 7 97 (x 8) (x 8) = S (x) = 9x x 28x 89 k =5 ³ (2 ( 69 7)5 9) S 5 (x) = (x ) 69 7 (x ) (x ) = S 5 (x) =25 62x 2 5x 2 75x 79 9 k =6 ³ ( ) S 6 (x) = 67 (x ) 5 9 (x ) (x ) = S 6 (x) = 8 x x x 28 k =7 ³ 2 (2 ( 5 7)77 7) S 7 (x) =5 25 (x 6) 5 7 (x 6) (x 6) = S 7 (x) =9 8x 5 2x 2 96 x 522 k =8 ³ ( ) S 8 (x) =5 (x 8) 77 7 (x 8) (x 8) = S 8 (x) =778 x 2 5 7x 298x 5 k =9 ³ (2 ( 9 77) ) S 9 (x) =5 25 (x 2) 9 77 (x 2) (x 2) = S 9 (x) =6 2x 29 x 2 25 x 5 68 k = ³ 5 (2 ( ) 6 7) S (x) =55 (x 25) (x 25) (x 25) = S (x) =89 x 2 2 5x 92 x 86 9 k = ³ 6 (2 ( 6 7)) S (x) = 5 (x ) 6 7 (x ) (x ) = S (x) = 5x 982 2x 2 99x 5 5 vii) Finalmente, la spline cúbica es: S (x) si x [2, 27] S (x) si x [27, 8] S 2 (x) si x [8, 6] S (x) si x [6, 8] S (x) si x [8, ] S S(x) = 5 (x) si x [, ] S 6 (x) si x [, 6] S 7 (x) si x [6, 8] S 8 (x) si x [8, 2] S 9 (x) si x [2, 25] S (x) si x [25, ] S (x) si x [, 6] viii) Propuesto: Calcule la Spline de la parte inferior del contorno del escarabajo, considerando los datos: xk y k

6 5) Splines Cubicas en Matlab: Primero que todo se tienen que definir los puntos (x, y) que se utilizarán como datos para calcular las splines Por ejemplo: x=(:5:6); y=x*cos(x^2); plot(x,y, -ob ); hold on; Se calcula la spline sujeta para y = x cos(x 2 ) con y () =,y (6) = 728 mediante las instrucciones: pp=csape(x,[ y 728],[ ]); La estructura "pp" contiene: Los 2 puntos x =, 5,,, 6 denominados por Matlab como "breaks" Los coeficientes de la Splines: "coefs d c b a d c b a d 2 b 2 a 2 d n 2 c n 2 b n 2 a n 2 d n c n b n a n La cantidad de intervalos: l = 2 El orden de las splines: k = La dimensión de las splines: d = Para evaluar la spline "pp" en puntos distintos a los "breaks" se utilizan las instrucciones (por ejemplo): xx=(::6); yy=fnval(pp,x); Se pueden mostrar los detalles de la splines (coefs) mediante la instrucción: [breaks,coefs,l,k,d] = unmkpp(pp); Como también realizar operaciones sobre la estructura "pp" como por ejemplo derivarla e integrarla: der_pp = fnder(pp); der_pp = fnder(pp,dorder); int_pp = fnint(pp); int_pp = fnint(pp,value); Las funciones "fnder" y "fint" devuelven la derivada e integral de la spline en la forma "pp" Finalmente, podemos graficamos la spline resultante sobre el gráfico anterior, mediante: plot(xx,yy, -r ); hold on; Otambién: fnplt(pp, -r ); 6 Función y=x*cos(x 2 ) vs Spline sujeta y=x*cos(x 2 ) vs spline sujeta y=xcos(x 2 ) spline sujeta x

7 Otros comandos del Spline Toolbox en Matlab son: ) spline: Interpolación spline cúbica con condiciones de frontera sujeta ) csapi: Interpolación spline cúbica con condiciones de frontera not-a-knot ) cpapi: Interpolación spline general (lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc) 5) csaps: Interpolación spline cúbica suavizante