ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

Transcripción

1 INTERPOLACIÓN. Grupo A Curso Se considera el polinomio a trozos: S0 x x -1 x 1, 0 S(x) = S1 xx -1 x 0,1 S x x +8x-5 x 1, Deducir si S(x) es un spline cúbico o no sobre los puntos 1, 0,1, (1 punto).- A lo largo de un día se han recogido los siguientes datos de temperaturas: Hora Temp. ºC a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar la temperatura que había a las 15h utilizando dicho polinomio. b) Hallar un spline cúbico no nodo que interpole esos datos. Estimar con este método la temperatura a las 15h. c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado. d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton que se ajusta a los tres primeros nodos. (3 puntos) INTERPOLACIÓN. Grupo B Curso Se considera el polinomio a trozos: 3 S1 x x x 0,1 S(x) = 3 S x a x1 +6 x1 +b x1 +c x 1, Hallar, si existen, los valores de los parámetros a, b y c para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos 0,1,. (1 punto).- Sea una función f(x) de la que se conoce su valor en los siguientes puntos: x f(x) a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar el valor de f (0.5) utilizando dicho polinomio.

2 b) Hallar un spline cúbico completo que interpole esos datos, suponiendo que f '( ) 5 y que f '(1) 4. Estimar con este método el valor de f (0.5). c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado. d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton para los datos dados. (3 puntos)

3 INTERPOLACIÓN. Grupo A Curso Se considera el polinomio a trozos: S0 x x -1 x 1, 0 S(x) = S1 xx -1 x 0,1 S x x +8x-5 x 1, Deducir si S(x) es un spline cúbico o no sobre los puntos 1, 0,1, Solución: S(x) es un spline cúbico si y sólo si S, S y S son funciones continuas en 1, S0 x x -1 S0' x x S0'' x S1 x x -1 S1' x 4 x S1'' x 4 S x x +8x-5 S' x 4 x+8 S'' x 4 S0 0 1 S1(0) S1 1 1 S(1) S0'0 0 S1'(0) S1'1 4 S'(1) S0'' 0 4 S1''(0) S1'' S''(1) Luego, no es un spline cúbico sobre esos puntos pues S (x) no es una función continua en 1,.- A lo largo de un día se han recogido los siguientes datos de temperaturas: Hora Temp. ºC a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar la temperatura que había a las 15h utilizando dicho polinomio. b) Hallar un spline cúbico no nodo que interpole esos datos. Estimar con este método la temperatura a las 15h.

4 c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado. d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton que se ajusta a los tres primeros nodos. Es decir, en este apartado los datos son: (10,7); (13,17) y (17,11) Solución: >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> %a) >> p=polyfit(x,y,3) p = >> polyval(p,15) >> %b) >> spn=spline(x,y) spn = form: 'pp' breaks: [ ] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 >> spn.coefs >> ppval(spn,15) >> %c) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> xx=[10:0.:1]; >> yy=polyval(p,xx); >> zz=ppval(spn,xx); >> plot(xx,yy) >> plot(xx,zz,'--') >> % Se obtiene una única gráfica pues coinciden >> % el polinomio de interpolación con el spline no nodo ya que >> % al tratarse de un spline no nodo coinciden S 0 con S 1 y también S 1 con S

5 d) x f[x 0 ] Dif. Div. de orden 1 Dif. Div. de orden 10 7 (17-7)/(13-10)=10/ (-3/-10/3)/(17-10)= -9/4 (11-17)/(17-13)=-3/ Luego el polinomio de Newton pedido es: Pn ( ) f( x) f[ x, x]( xx) f[ x, x, x]( xx)( xx) ( x10) ( x10)( x13) x x INTERPOLACIÓN. Grupo B Curso Se considera el polinomio a trozos: 3 S1 x x x 0,1 S(x) = 3 S x a x1 +6 x1 +b x1 +c x 1, Hallar, si existen, los valores de los parámetros a, b y c para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos 0,1,. Solución: Para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos 0,1, ha de verificarse que S, S y S sean funciones continuas en 0, S1 ' x 6 x S1 '' x 1x S ' x3ax1 +1x1 +b S '' x 6a x 1 +1 S1 1 cs(1) S1'1 6 bs'(1) S1'' 1 1 S''(1)

6 Luego, para que S(x) sea un spline cúbico sobre esos puntos han de ser b=6, c= y a puede tomar cualquier valor..- Sea una función f(x) de la que se conoce su valor en los siguientes puntos: x f(x) a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar el valor de f (0.5) utilizando dicho polinomio. b) Hallar un spline cúbico completo que interpole esos datos, suponiendo que f '( ) 5 y que f '(1) 4. Estimar con este método el valor de f (0.5). c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado. d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton para los datos dados. Solución: >> % a) >> x=[ ];y=[6 1 0]; >> p=polyfit(x,y,3) p = >> polyval(p,0.5) >> %b) >> spc=spline(x,[-5 y -4]) spc = form: 'pp' breaks: [ ] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 >> spc.coefs Luego el spline pedido es:

7 x, x 1, x x 0,1 S0 x x x x S( x) S1 x x1 x1 x1 S x x x >> ppval(spc,0.5) >> %c) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> xx=[-:0.1:1]; >> yy=polyval(p,xx); >> zz=ppval(spc,xx); >> plot(xx,yy,xx,zz,'--') La forma de la gráfica de f(x), al menos en los extremos, ha de ser más parecida a la del spline completo (en trazo discontinuo) al haber obligado a que coincidan las derivadas del spline con las derivadas de la función en los nodos inicial y final. d) x f[x 0 ] Dif. Div. de orden 1 Dif. Div. de orden Dif. Div. de orden 3-6 (-6)/(-1+)=-4-1 (-1+4)/(0+)= 3/ (1-)/(0+1)=-1 (0-3/)/(1+)= -1/ 0 1 (-1+1)/(1+1)=0 1 0 (0-1)/(1-0)=-1

8 Luego el polinomio de Newton pedido es: Pn ( ) f( x) f[ x, x]( xx) f[ x, x, x]( xx)( xx) f[ x, x, x, x ]( xx )( xx )( xx ) ( x) ( x)( x1) ( x)( x1) x x x1