Ajuste de Curvas. Clase de Taller I del 23/09/2015

Transcripción

1 Ajuste de Curvas Clase de Taller I del

2 De lo particular a lo general En las ciencias naturales y sociales el método empírico consiste en pasar de observaciones a leyes: Ley de caída de cuerpos. Ley de órbitas de los planetas. La determinación de la desviación del eje de la tierra. Las taxonomías en el reino animal.. Razonamiento Abductivo 2

3 Tabla de Tycho Brahe (1598) 3

4 Leyes de Kepler Johannes Kepler, trabajando con los datos cuidadosamente recogidos por Tycho Brahe sin la ayuda de un telescopio, desarrolló tres leyes que describen el movimiento de los planetas en el cielo. La ley de la órbita: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos. La ley de las áreas: La línea que une un planeta al Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales. La ley de los periodos: El cuadrado del periodo de cualquier planeta, es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita. Las leyes de Kepler fueron derivadas de las órbitas alrededor del Sol, pero de igual manera se aplican a las órbitas de los satélites. 4

5 Modelación de las funciones de crecimiento. 5

6 Modelización drenaje río Azul 6

7 Estudio de sistemas EXPERIMENTAR EXPERIMENTAR CON CON EL EL SISTEMA SISTEMA REAL REAL Problemas estructurales y éticos éticos FORMAS FORMAS DE DE ESTUDIAR ESTUDIAR UN UN SISTEMA: SISTEMA: Modelo Físico/químico EXPERIMENTAR EXPERIMENTAR CON CON UN UN MODELO MODELO DEL DEL SISTEMA SISTEMA Solución Solución analítica analítica 7 Modelo matemático Simulación 7

8 Modelo Un modelo es una representación, muchas veces simplificada, de un sistema real. El valor agregado de un modelo surge cuando éste mejora nuestra comprensión de las características del comportamiento en forma más efectiva que si se observará el sistema real. Un modelo, comparado con el sistema verdadero que representa, puede proporcionar información a costo mucho más bajo y permitir el logro de un conocimiento más rápido de las condiciones que no se observan en la vida real. 8 8

9 Características Abstracto Enfatiza los elementos importantes y oculta los irrelevantes Comprensible Fácil de comprender por los observadores Preciso Representa de forma fiel el sistema que modela Barato Mucho más barato y sencillo de construir que el sistema que modela 9 9

10 Descripción vs. predicción Los modelos suelen explicar apropiadamente la realidad. Análisis descriptivo. Pero a veces no sólo necesitamos explicar lo que pasó sino también predecir lo que va a pasar. Para eso se construyen modelos que deben: explicar las observaciones. predecir en los casos desconocidos. 10

11 Etapas de una investigación Análisis : tests estadísticos, ajuste de curvas Exploración de datos Obtención datos, calibrados, etc. Diseño de experimentos Antecedentes Bibliográficos 11

12 Ajuste de curvas: [S] : v : Reacción enzimática v v = f[s] [S] Modelo Empírico Modelo Teórico v a b[s] c[s] 2 E S ES P E En matemáticas: y = f(x) v V K max M [S] [S] 12

13 Modelos Empíricos: y=f(x) Polinomios y a bx cx 2 Datos sin mucho ruido, curvas suaves Cuidado porque son demasiado flexibles (hiperajuste) Cubic splines y (a bx cx 2 dx 3 ) i Nudo 2 Nudo 1 Nudo 3 Adecuados para datos con ruido en calibración Subjetividad al elegir el nº de nudos (hiperajuste) 13

14 Modelos Teóricos: y=f(x) En ecuaciones algebraicas Binding + L + L En ecuaciones diferenciales Lipasa E* + S E*S K1 K2 M0 M1 M2 [M 1] [M 2] K1 K2 [M 0] [L] [M 1] [L] d[es*] dt E k 1 [S][E*] E - (k - 1 P k cat )[ES*] 2 K1[L] 2K 1K2[L] 2(1 K1[L] K1K2[L] y 2 ) d[p] dt k cat [ES*] fracción de sitios ocupados.... etc 14

15 Ajuste de curvas: (cont.) En términos generales se obtienen conjuntos de datos experimentales (tiempo, posición) (posición, velocidad) (concentración, producción). (x 0 ; y 0 ); (x 1 ; y 1 ); (x 2 ; y 2 );.; (x k ; y k ); ; (x n ; y n ) Muchas veces tal que x i x j si i j e i; j = 0; 2; ; n: Uno de los problemas interesantes es determinar pares de valores que por la medición no se pueden encontrar. Como hacerlo? Hay dos ideas respecto a que hacer cuando se tiene este conjunto de datos medidos. 15

16 Dos enforques Ajuste por aproximación: Se obtiene un modelo que es aproximado al observado. Ajuste por interpolación: Se obtiene un modelo que se comporta exactamente como los datos se observó. 16

17 Fijar la familia de funciones, minimizar el error 17

18 Ajuste por aproximación 18

19 Encontrar una función tal que 0in : f(x i ) = y i., 19

20 Ajuste por interpolación 20

21 Teorema de Weierstrass Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces dado >0, existe algún polinomio de orden n, P n con n=n(), tal que: f(x) P n (x) <, para x [a,b] 21

22 Ejemplo 1: aproxim. lineal 22

23 Ejemplo 2: aprox. parabólica 23

24 Regresión n Lineal Y A BX e Y X e representa las diferencias entre el modelo lineal y las observaciones reales. La gráfica muestra el ajuste de la nube de puntos a una línea recta Como los datos X, Y son conocidos, el objetivo es entonces encontrar los mejores valores para los coeficientes A, B, tal que e 0.

25 Error en la aproximación El objetivo es minimizar el error cometido con la aproximación Éste se representa como la distancia entre el valor real y el aproximado 25 Y Xi (ei = Yi A - B*Xi) X

26 Criterio para el mejor ajuste Como se tiene una serie de n puntos (Xi, Yi) (i=1,,n), la acumulación de los errores será: n i1 e i n i1 ( Y i A BX i ) Para que los valores de error positivos y negativos no se cancelen entre sí, éstos se deben elevar al cuadrado 26

27 Cancelación de errores Y Para este ejemplo de dos puntos, los errores e1 y e2 se cancelan. La suma de los errores = 0 n i1 e 2 i n ( Y i1 i A BX i ) 2 X1 X2 27

28 Regresión n Lineal Objetivo: hallar una fórmula y = f(x) que relacione las variables. Comenzaremos con y = f(x)=ax+b Sea {(x k,y k ) } k=1..n se busca minimizar 1 ( N K N 1 f ( x ) y k k 2 ) 1 / 2 28

29 Regresión n Lineal Sea: S n i1 e 2 i n i1 ( Y i A BX i ) 2 Como el objetivo es encontrar A y B, tal que S sea mínimo, para esto se deriva S parcialmente con respecto a A y B respectivamente y se igualan a cero 29

30 Sistema de ecuaciones para encontrar A y B Las derivadas parciales de S con respecto a A y a B se hacen cero, así: S A S B 2( Y 2( Y A A BX BX )( 1) )( X 0 ) 0 (1) (2) 30

31 Regresión n Lineal De (1) se tiene que: Y AB X 0 i i de esta ecuación se despeja A, así: 1 1 A Y B N N De (2) se tiene que: X X Y A X B X i i i i 0 2 (3) (4) (5) 31

32 Regresión n Lineal Despejando B de (5), da: 32 1 B N X Y 1 N 2 X XY (6) 2 X B se puede también reescribir como: B N ( X X )( Y Y ) (7) i i N N i1 1 1 ; X X i ; Y N 2 N i1 N i1 ( X i X ) i1 Y i

33 Regresión n Lineal - Fórmulas En resumen las fórmulas para calcular los coeficientes A y B de una función lineal de regresión con sólo dos tipos de variables X y Y son: B N ( X X )( Y Y ) i i N N i1 1 1 ; X X i ; Y N 2 N i1 N i1 ( X i X ) i1 Y i (8) A Y B X (9)

34 La bondad del ajuste Sumatoria Varianza S SSQ 2 y de residuales (y desviación SSQ n m al cuadrado : 2 i f (p, x i )) y estándar S S 2 del ajuste (Debe de ser pequeño) 2 SSQregresión (yi yˆ i) Coeficiente de determinación: R SSQ (y y) total i (R 2 = 0.95 significaría que el modelo explica el 95% de la variabilidad) : (del orden error relativo experimental) y y 2 34

35 Ejemplo: x y

36 Ejercicio: Altura-Peso Se preguntó a un grupo de mujeres su estatura y su peso dando los siguientes datos: (1.65; 52), (1.58; 62.5), (1.70; 60), (1.75; 70), (1.54; 65) a. Haga un gráfico con los datos. b. Encuentre la recta de mejor ajuste. c. Usando este modelo calcule el peso aproximado de una mujer que tiene una estatura de

37 Ejercicio: Altura-Peso (cont.) Para graficar estos datos en MATLAB, debemos representarlos como arreglos unidimensionales; como sigue: >> H=[1.65 ; 1.58; 1.70; 1.75; 1.54] >> W=[52 ; 62:5 ; 60 ; 70 ; 65] 37

38 Ejercicio: Altura-Peso (cont.) Para graficar, empleamos el comando plot de la siguiente manera: >> plot(h,w, ro ) El argumento ro del comando plot dibuja un circulo rojo en cada dato. Esto es opcional, puesto que si se omite, MATLAB une los puntos mediante segmentos de línea recta. Haga la prueba. 38

39 Comandos de Matlab P= polyfit(x,y,n) : nos da los coeficientes, en sentido descendente, del polinomio que interpola los nodos (x; y) donde x = [x1; x2; ; xn+1] ; y = [y1; y2; ; yn+1] P(1)*X^n + P(2)*X^(n-1) P(n)*X + P(n+1) [p,s,mu]= polyfit(x,y,n): En este caso, además de los coeficientes, tenemos el segundo argumento de salida que nos proporciona información sobre la matriz del sistema resultante y el tercer argumento que es un vector de dimensión 2 con los valores de la media y la desviación estándar. Estos valores son necesarios si queremos evaluar el polinomio respecto de la variable inicial x. polyval(p,x): evalua el polinomio cuyos coeficientes vienen dados en sentido descendente por el vector p = [an; an-1; ; a0] en los valores dados por el vector x. poly(r): calcula los coeficientes del polinomio cuyos raíces vienen dadas por el vector r. Qué caso especial de polyfit es? 39

40 Linealidad en las variables Ecuación lineal Ecuación no lineal y y a x bx Concepto de linealidad Linealidad en los parámetros Ecuación lineal Ecuación no lineal 2 - k x y a bx cx y Ae Ejemplos y a bx y cx 2 x y Ae -kx (Lineal en variables, lineal en parámetros) (No lineal en variables, lineal en parámetros) (No lineal en variables, no lineal en parámetros)

41 Regresión No Lineal Hay ocasiones en las cuales la relación existente entre X y Y no es lineal, sin embargo ésta puede ser descrita por algún otro tipo de función. EJ: Potencia : Y Exponencial : Y Logarítmica : Y Log e ( Y ) Parabólica : Y 41 BX Polinómica : Y AX Log A A B Ae A 0 e BX BLog( X ( A) A X 1 BX A CX 2 ); Y 2 X 2 BLog( X... A N X ) N Log( A)

42 Regresión No Lineal Relación nolineal entre las variables X y Y. Y Posiblemente parabólica??? 42 X

43 Linealización de los datos para y=ce Ax Ajustar un conjunto de puntos (x1,y1).(xn,yn) a la curva y=ce Ax. Aplicamos logaritmos ln(y)=ax+ln(c) Z=ln(y) z=ax+d resolvemos como el caso lineal, obtenemos A y D, entonces C=e D 43

44 x k y k ln(y k ) x k 2 x k ln(y k )

45 Comprobar que Y= e x Ajuste exponencial y = e x

46 Otro Ejemplo: Tenemos los datos del número de habitantes de una ciudad entre 1995 y 2004: Año Cant X = 1995 : 2004; Y = [ ] 46

47 Aproximación Dada la siguiente seis parejas de datos (X,Y) X = [0.25, 1, 1.5, 2, 2.4, 5]; Y = [23.1, 1.68, 1, 0.84, 0.826, ]; Verificar gráficamente que responden a la curva: f(x)=1.44/x X Obtener los ajustes mediante polinomios óptimos en mínimos cuadrados de grado 1, 2, 3, 4 y 5. 47

48 Plot: estética SÍMBOLO COLOR SÍMBOLO ESTILO DE LÍNEA y m c cyan r g b w k amarillo magenta (azul claro) rojo verde azul blanco negro. punto o circulo x marca + mas * asterisco - sólido : punteado -. segmento punto -- segmento 48

49 Resultado: 49

50 Gráfico grado 2 y 3: 50

51 Gráfico grado 4 y 5: 51

52 Conclusión: Puede ser tentador aproximar por cuadrados mínimos datos que no sean lineales usando polinomios de alto orden. Pero si los datos no muestran una naturaleza polinomial el resultado obtenido puede tener grandes oscilaciones como en el ejemplo anterior. 52

53 Interpolación Hay varios métodos para realizar interpolación: Método de Lagrange Método de Newton de diferencias divididas Método de Splines Resulta importante poder determinar cuándo utilizar alguno de estos tipos de métodos, los siguientes criterios nos pueden servir: 1. No se puede utilizar la interpolación de funciones cuando el conjunto de los puntos conocidos de la relación que se busca no cumple con la definición de función. 2. Cuando los puntos conocidos de la relación no son exactos. Por ejemplo: son pronósticos. 3. Cuando se tienen muchos puntos de la relación. 53

54 Lagrange 54

55 Cálculo La interpolación de Lagrange no está incluida como función de Matlab. Así que tendremos que escribir nosotros el programa que lo haga. Vamos a Matlab 55

56 Esquema del programa function [y0] = lagrange(xs, ys, x0) % función que calcula el polinomio de Lagrange % xs es el vector de las abscisas % ys es el vector de ordenadas % x0 representa el punto que quiero interpolar % y0 representa la solución según el polinomio de Lagrange % Pasos: % determinar la longitud n de xs % verificar que ys tiene la misma longitud % calcular los n factores de Lagrange % cada factor es el producto de los (x xj)/(xi-xj) con i ~=j % sumar los términos % calcular el valor de salida. 56

57 Ejemplo de corrida Supongamos que tenemos los siguientes datos correspondientes a días en que se midieron la altura del agua en una presa: dia=[ ]; Altpresa=[ ]; 57

58 Observación: Dado el teorema mencionado anteriormente de unicidad y existencia podemos usar: >> polyfit(x,y,n) nos da los coeficientes, en sentido descendente, del polinomio que interpola los nodos (x; y) donde x = [x 1 ; x 2 ;. ; x n+1 ] e y = [y 1 ; y 2 ;. ; y n+1 ] >> polyval(p,x) evalua el polinomio cuyos coeficientes vienen dados en sentido descendente por el vector p = [a n ;.;a 0 ] en los valores dados por el vector x. 58

59 Newton de dif. divididas Uno de los inconvenientes de la fórmula de interpolación de Lagrange es que no hay relación entre la construcción del polinomio p n (x) (polinomio de grado menor o igual a n que pasa por los puntos (xi,yi) con i=1,,n+1) y la del polinomio p n+1 (x) (polinomio de grado menor o igual a n+1 que pasa por los puntos (xi,yi) con i=1,,n+2) Cada polinomio debe construirse individualmente y se necesitan muchas operaciones para calcular polinomios de grado elevado. Los métodos de diferencias divididas sirven para generar sucesivamente estos polinomios mediante un esquema recursivo. La idea es expresar el polinomio p n Con apropiadas constantes a 0,.a n. Estas constantes se obtienen calculando las llamadas diferencias divididas. 59

60 Algoritmo de las dif. divididas 60

61 Dif. Divididas Para calcular las diferencias divididas necesarias para obtener el polinomio interpolador p, construimos la siguiente tabla: 61

62 Cálculo En este caso Matlab tampoco tiene incluida esta función así que debemos programarla. Para este caso particular tendríamos que usar un esquema de programación que se llama recursivo que surge naturalmente de la definición de la división. 62

63 Splines: Limitaciones de la interpolación polinómica Grado del polinomio. Carácter de la función a interpolar. Alternativa propuesta: Splines. Numéricamente estable. Matrices dispersas. Agradable a la vista. 63

64 Splines: Interpolación Segmentaria Lineal Interpolación Segmentaria Cúbica Condiciones Naturales Condiciones sobre la derivada 64

65 Spline: : Función de Runge y x 2 1 Polinomio grado 4 1 Spline lineal

66 Splines: Consideremos {a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b} un conjunto de nodos. La interpolación por splines no es más que tomar cada subintervalo de la forma [x i ; x i+1 ] y construir un polinomio de interpolación, de grado no superior a k (para un k prefijado) sobre dicho conjunto de nodos, por lo que el método se conoce también como interpolación polinomial a trozos. Definición. Una función spline interpolante de grado k con nodos {x 1 ; x 2 ; ; x n+1 }, es una función S(x) formada por varios polinomios, cada uno de ellos definido sobre un subintervalo y que se unen entre sí bajo ciertas condiciones de continuidad. Las condiciones que debe cumplir S(x) son las siguientes: 1. En cada intervalo [x i ; x i+1 ], S(x) es un polinomio de grado gr[s(x)] k. 2. S(x) admite derivada continua de orden k-1 en [x i ; x i+1 ] 66

67 Interpolación polinomial Polinomio de Lagrange q k ( x) x x x x Polinomio de Newton k y k 1 k k 1 k 1 x x k x x y k k 1 q ( x) f[ x ] f[ x, x ]( x x ) k k k k 1 k 67 y k y x k 1 k 1 y x k k ( x x ) k

68 Splines lineales: 68

69 Splines lineal con MATLAB Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx) Obtiene el valor de la ordenada lyy para xx de acuerdo al Spline lineal que pasa por los puntos [xi,yi] de los vectores x e y. 69

70 70

71 Splines cúbicos Volviendo al conjunto de puntos (1, 2) (2, 1) (4, 4) (5, 3) 71

72 Splines cúbicos Consideraremos splines cúbicos porque: tienen el grado mínimo que produce aproximaciones con segundas derivadas continuas; son suficientemente suaves en presencia de curvaturas pequeñas. 72

73 Splines cúbicos Un spline cúbico s(x) que pasa por los puntos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) es un conjunto de polinomios cúbicos 73

74 Splines cúbicos Con las siguientes propiedades: 74

75 Splines Cúbicos 75

76 Splines Cúbicos 76

77 Condiciones posibles 77

78 b q ( x) a b ( x x ) c ( x x ) d ( x x ) a k f ( x k ), k 0, 1,..., n h k x k 1 x k 1 h k ( a k a k c k c k k n h ) ( 1 ),,,..., k 2 3 k k k k k k k k k d k ( c k 1 c k ) / ( 3h k ), k 0, 1, n 1 h c 2 ( h h ) c h c k 1 k 1 k 1 k k k k ( a k 1 a k ) ( a k a k 1 ) h h k 78 k 1

79 Condiciones Naturales T e o re m a 1 S ea f(x) u na fu nció n d efinid a en [x 0,x n ]. E nto nces existe u n ú nico s(x) sp line interp o lante cú bico p ara f(x) en [x 0,x n ] tal q u e s (x 0 ) = 0 y s (x n ) = 0. c n = s (x n )/2 = 0 s (x 0 ) = 2c 0 = 0 c 0 = 0. 79

80 Matriz del sistema 2( h0 h1) h h h h h 1 2( 1 2) h2 2( h2 h3) M ( hn 4 hn 3) hn hn 3 2( hn 3 hn 2) h n hn 2 2( hn 2 hn 1) 80

81 Términos independientes p 3 h a a 3 h a a ( 2 1) ( 1 0) ( an an an a 1) ( 1 n2) hn 1 hn2 81

82 Un problema de Aproximación Evolución de la temperatura diurna Hora Grados Grados Hora 82

83 Ejemplo de la temperatura Polinomio interpolador Spline cúbico Grados 14 Grados Hora Hora 83

84 Condiciones sobre la derivada Teorema 2 Sea f(x) una función definida en [x 0,x n ]. Entonces existe un único s(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x 0,x n ].tal que s (x 0 ) = f (x 0 ) y s (x n ) = f (x n ). 2h c 3 h c ( a1 a 0) 3f '( x0) h h n 1c n 1 2h n 1c n 3f ' ( x n ) ( a n a n 1). h n 1 84

85 Matriz del sistema M 2h 0 h h h h h 0 2( 0 1) h1 2( h1 h2) h h2 2( h2 h3) ( hn 3 hn 2) hn h 2( h h ) h h 2h n2 n2 n1 n1 n1 n1 85

86 86 Términos independientes p h a a f x h a a h a a h a a h a a f x h a a n n n n n n n n n n ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

87 Splines Cúbicos con MATLAB >> spline(x,y) Halla los splines cúbicos que interpolan los nodos (x i ; y i ) i = 1; ; n+1 cuyas coordenadas están dadas por los vectores x e y de dimensión n+1. Estos splines son los llamados 'not-a-knot', (no nodo) es decir, impone como condiciones adicionales que los splines cúbicos en los intervalos [x 1 ; x 2 ] y [x 2 ;x 3 ] sean el mismo y en los intervalos [x n-1 ; x n ] y [x n ;x n+1 ] también sean el mismo. 87

88 Splines Cúbicos con MATLAB >> spline(x,y) Para vectores x = [x 1 ; x 2 ;. ; x n+1 ] de dimensión n+1 e y = [y 0 ; y 1 ; y 2 ;. ; y n+1 ; y n+2 ] de dimensión n+3 entonces calcula el spline cúbico sujeto con S (x 1 ) = y 0 y S (x n+1 )= y n+2. >> yy = ppval(spline(x,y),xx) Halla los valores que toma el spline cúbico que interpola los nodos dados por los vectores x e y en los valores dados por el vector xx. >> yy = spline(x,y,xx) Tiene el mismo efecto que la orden yy=ppval(spline(x,y),xx) 88

89 1 Spline de MATLAB 1 Interpolación Lineal Spline Natural 1 Spline Derivada

90 Aplicaciones Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario 90

91 Spline: Ejemplo Ejemplo simple con la función seno: >> x = 0:10; y = sin(x); >> xx = 0:.25:10; >> yy = spline(x,y,xx); >> plot(x,y, o,xx,yy) 91

92 92

93 Otro ejemplo La siguiente secuencia de instrucciones calcula por un lado la aproximación polinómica de grado 5 para los puntos x=[ ]; % Coordenada x de la medición original y=[ ]; % Coordenada y de la medición original Coef = polyfit(x,y,5); % Se hayan los coeficientes t=0:0.1:11; % Se determinan los puntos sobre los cuales % se evalúa el polinomio P=polyval(Coef,t); % P es el vector con el resultado de la % evaluación polinómica plot(x,y, *k ); hold on; plot(t,p, k ); S=spline(x,y,t); plot(t,s, r ); 93

94 94

95 Perfil para un diseño Polinomio interpolador 95

96 96

97 Ejemplo final: Supongamos que queremos generar la silueta de un dedo del siguiente fósil: 97

98 Función matlab function [ ]=ejemplofinal g=imread('carboniferos.jpeg'); imshow(g) [X,Y] = GINPUT(10); xmin=min(x); xmax=max(x); fx=xmin:0.01:xmax; spl=spline(x,y,fx); hold on plot(fx,spl);hold on plot(x,y,'o');hold on end 98