1. Condiciones de Entrega

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS INGENIERÍA Y AGRIMENSURA Escuela de Formación Básica Departamento de Matemática Métodos Computacionales - Informática Aplicada Trabajo Práctico Aplicado Final Condiciones de Entrega Fechas de entrega: En los horarios de consulta de alguno de los docentes de práctica, en los horarios donde se rinda parcial de Laboratorio y en las mesas de exámenes de la materia. Si el alumno no entrega el trabajo antes del receso estival, queda libre. Cantidad máxima de alumnos por grupo: 4 Formato: Un informe impreso, donde la primera página debe contener el título Trabajo Práctico Aplicado 2015, la fecha de entrega y el nombre de los integrantes. El resto del informe debe desarrollar los temas que abajo se indican, y luego debe estar el código fuente de los programas MatLab implementados para el mismo. El docente no recibirá el trabajo si no se cumplen estos requisitos. Evaluación: Defensa oral y prueba de los programas generados en máquina, en forma individual. 2. Enunciado del Trabajo Práctico En la Graficación por computador es común utilizar un tipo de curva o superficie llamada Splines cúbicos. Estas curvas tienen la característica de ser capaces de interpolar puntos y, a la vez, ser suaves y presentar una oscilación mínima (a diferencia de lo que ocurre al interpolar puntos con un polinomio de alto grado, lo que es conocido como fenómeno de Runge). Estas propiedades hacen a estas curvas muy útiles para representar matemáticamente diversas formas como, por ejemplo, fuentes de letras y números. Pero también se aplican a otras áreas como diseño de cascos de embarcaciones, o carrocerías de automóviles(como la mostrada en la figura). 1

2 Figura 1: Modelos que utilizan 2 tecnologías diferentes basadas en el cálculo de Splines. Antes de enfocarnos en estas curvas, vamos a definir el concepto de Spline cúbico. Sean (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x N,y N ) un conjunto de N +1 puntos, cuyas abscisas están ordenadas de manera creciente: a = x 0 < x 1 <... < x N = b. Diremos que S es un Spline cúbico que interpola dichos puntos si es una función definida seccionalmente por N funciones cúbicas S 0, S 1,..., S N 1 de la siguiente forma: y que satisface las siguientes condiciones: S 0 (x) si x [x 0,x 1 ], S 1 (x) si x [x 1,x 2 ], S(x) =... S N 1 (x) si x [x N 1,x N ], 1. Interpolación de puntos: S 0 (x 0 ) = y 0, S N 1 (x N ) = y N, S k (x k+1 ) = S k+1 (x k+1 ) = y k+1 para todo k = 0,...,N 2. Esto además le da continuidad a la curva en los puntos de unión. 2. Continuidad en su primer derivada: S k (x k+1) = S k+1 (x k+1) para todo k = 0,...,N 2. Esto permite que la curva no presente puntos angulosos en los puntos de unión. 3. Continuidad en su segunda derivada: S k (x k+1) = S k+1 (x k+1) para todo k = 0,...,N 2. Esto permite que la curva no presente cambios de curvatura en los puntos de unión. Observemos que, al ser cúbicas las funciones S k, requerimos conocer 4 coeficientes por cada una, lo que nos da un total de 4N coeficientes a a determinar. Sin embargo, con las condiciones anteriores sólo nos alcanza para determinar 4N 2 coeficientes, de manera que vamos a tener que imponer 2 restricciones extras para poder conformar el Spline S. En el resto del trabajo vamos a utilizar Splines naturales, que son Splines tales que no presentan curvatura al comenzar y terminar la curva: S 0(x 0 ) = S N 1 (x N) = 0, y estas son las 2 restricciones extras que consideraremos. 2

3 En lo que sigue, será más cómodo considerar los coeficientes s k,i para todo k = 0,...,N 1, i = 0,1,2,3, como aquellos que definen los polinomios cúbicos de la siguiente forma: S k (x) = 3 s k,i (x x k ) i = ((s k,3 (x x k )+s k,2 )(x x k )+s k+1 )(x x k )+s k,0 i=0 Ahora definamos los siguientes elementos. El primero es la longitud del intervalo entre los puntosdeunión,elsegundoeslapendientedelasecantequeforman,yelterceroessimplemente la segunda derivada evaluada en el punto de unión: h k = x k+1 x k, para todo k = 0,1,...,N 1 d k = y k+1 y k h k, para todo k = 0,1,...,N 1 m k = S k(x k ), para todo k = 0,1,...,N Con dijimos anteriormente, m 0 = 0 y m N = 0 para el caso de los Splines naturales. Tarea 1. Explique cómo deducir los valores de m k a partir de los datos. Luego explique cómo obtener los coeficientes s k,i para todo k = 0,...,N 1 e i = 0,1,2,3. Sugerencia: Estudie las pags del libro de Mathews-Fink (Tema: Cerchas cúbicas interpoladoras). Tarea 2. Determine los vectores h k, d k, m k y los coeficientes s k,i del Spline cúbico natural que pasa por los puntos ( 3, 1), ( 1,3), ( 1,2), (2, 1) y (5,6). Luego calcule el valor de S(x) 2 para cada x = 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5 y esboze manualmente una gráfica del spline. Tarea 3. Elabore en MatLab una función SPLine1.m que admita como argumentos un par de vectores X e Y con los puntos (x k,y k ), y otro vector XX con los puntos a interpolar. La función deberá devolver un vector YY con el resultado de evaluar el Spline natural S sobre los puntos definidos en XX. Además la función deberá cumplir los siguientes requisitos: Antes de calcular S se deberá chequear que los valores de XX efectivamente se encuentren en el intervalo [a,b]. Caso contrario, la función deberá abortar y mostrar el mensaje de error Valores fuera de rango. También se deberá chequear que la dimensión de X y Y coincida (sino mostrar el mensaje Las dimensiones no coinciden ), y que los valores de X estén realmente ordenados de menor a mayor (sino mostrar el mensaje Valores de X desordenados ). Con los vectores X e Y se deberán generar los vectores H, D y M correspondientes a h k, d k y m k respectivamente. Luego se deberá generar la matríz de coeficientes S con los valores s k,i. Recuerde aprovechar el potencial de MatLab para manipular vectores y matrices. Por ejemplo, para computar D puede hacer: D = (Y(2:N+1)-Y(1:N))./H; Una vez calculada la matríz S, la función procederá a evaluar todos los puntos del vector XX y almacenarlos en YY. 3

4 Tarea 4. Realice un script Tarea4.m que grafique el Spline cúbico natural que pasa por los puntos mencionados en la Tarea 2. La gráfica debe mostrar la evaluación del Spline sobre 401 puntos equidistantes, y cuyos primer y último puntos son-3 y 5, utilizando la función SPLine1.m realizada en la Tarea 3. En la gráfica, los puntos de unión deben aparecer como asteriscos de otro color. Sugerencia: Si el resultado no es el esperado, verifique que las cuentas evaluadas por SPLine1.m coincidan con las que realizó manualmente en la Tarea 2, a fin de ubicar el error cometido. Actualmente la definición de Splines que tenemos no es útil para poder realizar algún diseño bidimensional, pues estamos limitados a definir un único valor de y para cada valor de x. Por ello es necesario introducir una versión paramétrica de estas curvas. Es decir que, al mover un parámetro t, un Spline defina la coordenada x mientras que otro Spline defina la coordenada y. Dados un conjunto de N +1 puntos (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x N,y N ) en el plano (no necesitan tener ningún orden en particular, incluso pueden repetirse), vamos a llamar Spline cúbico uniforme a una función S tal que S(t) = (S X (t),s Y (t)) para todo t [0,N], donde S X, S Y son Splines cúbicos naturales tales que: 1. S X interpola los puntos (t,x t ) para todo t = 0,...,N. 2. S Y interpola los puntos (t,y t ) para todo t = 0,...,N. Tarea 5. Implemente en MatLab una función SPLine2.m que admita como argumentos un par de vectores X e Y con los puntos (x k,y k ), y otro vector TT con los puntos a interpolar. La función deberá devolver un par de vectores XX e YY con el resultado de evaluar el Spline cúbico uniforme S sobre los puntos definidos en TT. Al comenzar la ejecución se deberá chequear que la dimensión de X e Y coincida, y que los valores de TT se sitúen entre 0 y N. Para el cálculo particular de los Splines S X y S Y se debe llamar a la función SPLine1.m realizada en la Tarea 3. Tarea 6. Escriba un script Tarea6.m que grafique el Spline cúbico uniforme que pasa por los puntos abajo mencionados. La gráfica debe mostrar la evaluación del Spline sobre 1001 puntos equidistantes situados en el intervalo [0, 78], utilizando la función SPLine2.m realizada en la tarea anterior. Puede identificar qué letra cursiva dibuja el Spline (quizás deba redimensionar la ventana que contiene la gráfica)? X = [ ]; Y = [ ]; 4

5 Tarea 7. Cada integrante debe, individualmente, diseñar una letra mayúscula imprenta correspondiente a la primera letra de su apellido. En caso de que haya más de un integrante con la misma letra asignada, cada uno realizará dicha letra pero eligiendo diferentes fuentes. La nota recibida por cada integrante dependerá, en parte, del diseño de la letra que le corresponda. Los Splines utilizados en cada caso deben interpolar al menos 25 puntos (N 24). Almacene todas las letras en un script Tarea7.m, el cual debe graficar cada letra en figuras distintas (usando subplot). Tarea 8. En conjunto, se debe diseñar una figura en dos dimensiones que se corresponda con el contorno de un perfil de la carrocería de un automóvil, embarcación naval o motocicleta. La figura puede ser una combinación de splines y segmentos de recta. La cantidad de nodos de la figura no puede ser inferior a 30. Almacene la figura en el script Tarea8.m. 5