Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla1

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1 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla1 Tema 2: Interpolación. Ejercicios y Problemas 1. Ejercicios Ejercicio Dar, sin desarrollar, los polinomios básicos de Lagrange que corresponden al soporte { 1; 0; 1}. 2. Escribirlos polinomios básicos de interpolación de Newton que corresponden a la sucesión x 0 = 1, x 2 = 0, x 3 = Misma pregunta para los polinomios básicos de interpolación de Newton que corresponden a la sucesión x 0 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1. Ejercicio 2. En cada uno de los apartados siguientes, se da una lista de puntos en el plano. Se pide, en cada caso: hallar un polinomio cuya gráfica pase por dichos puntos. Hacerlo de tres maneras: (i) planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales; (ii) por medio de la formula de interpolación de Lagrange; (iii) por medio del método de interpolación de Newton. Comprobar que los polinomios de interpolación obtenidos por los tres métodos coinciden, por ejemplo evaluándolos en unos cuantos puntos. 1. puntos (0; 3), (2; 1). 2. puntos ( 1; 8), (0; 3), (2; 1). 3. puntos ( 2; 4), ( 1; 8), (0; 3), (2; 1). 4. puntos ( 2; 2), ( 1; 0), (0; 1), (2; 3). Ejercicio 3. En cada uno de los casos siguientes, calcular, de la manera que te parece más adecuada, un polinomio cuya gráfica pase por los puntos indicados. 1. puntos (1; 0) y (0; 1). 2. puntos ( 1; 0), (0; 1) y (1; 0). 3. puntos ( 1; 0), (0; 1), (1; 0) y (2; 2). 4. puntos (0; 1), (1; 2) y (2; 3). 5. puntos ( 1; 2), (0; 2), (1; 3), (2; 5), (4; 3). 6. puntos ( 1; 3), (0; 1), (1; 1), (2; 1), (4; 3). 7. puntos (0; 1), (1; 2) y (2; t) donde t es un número incógnito.

2 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla2 8. puntos (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5) y (6; 6). Ejercicio 4. Para cada una de las funciones siguientes, hallar su polinomio de interpolación para el soporte {0; 1; 2}. Hacerlo de tres maneras: (i) planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales; (ii) por medio de la formula de interpolación de Lagrange; (iii) por medio del método de interpolación de Newton. 1. la función f 1 tal que para cualquier número x, f 1 (x) = la función f 2 tal que para cualquier número x, f 2 (x) = x la función f 3 tal que para cualquier número x, f 3 (x) = x la función f 4 tal que para cualquier número x 1, f 4 (x) = 1 1+x. 5. la función f 5 tal que para cualquier número x > 0, f 5 (x) = 2 x. Ejercicio 5 (formula del resto de Lagrange). Sea n un entero no negativo. Sean a y b dos reales con a < b. Hemos visto en clase que: si f es una función continua sobre [a; b], y (n + 1) veces derivable sobre (a; b), y si P es su polinomio de interpolación asociado al soporte {x 0, x 1,..., x n }, donde todos los x i están en [a; b], entonces para cualquier x en [a; b], existe un c (a; b)tal que f(x) = P (x) + f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0)(x x 1 ) (x x n ). 1. Cómo se escribe esta formula para n = 0? Cuál es la relación con el teorema de los incrementos finitos? 2. Cómo se escribe esta formula para n = 1? Para n = 2? 3. Utilizar esta formula para acotar el error cometido al aproximar el valor en x = 1/2 de las funciones f 3, f 4, f 5 (del ejercicio 4) por el valor de sus polinomios de interpolación respectivos. Ejercicio 6. Qué grado puede tener el polinomio de interpolación de una función para un soporte de 100 puntos? Ejercicio 7. Para cualquier número x, sea f(x) = 4 cos(2x) x y g(x) = sen(2x) + x 2. En cada uno de los apartados siguientes, hallar el polinomio de interpolación de la función dada para el soporte dado. 1. función f, soporte {0; π/4; pi/2; 3π/4}. 2. función f, soporte {0; π/4; pi/2; 3π/4; π}. 3. función f, soporte {0; π/4; pi/2; π}. 4. función g, soporte {0; π/2; 3π/2}. 5. función g, soporte {0; π/2; 3π/2; 2π}.

3 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla3 6. función g, soporte { pi/4; 0; π/2}. Ejercicio 8. Sea g un polinomio cualquiera de grado 3. Explicar porque el polinomio interpolador de g para el soporte { 2, 0, 1, 2} coincide necesariamente con g. Ejercicio 9. Sea f una función de la cuál se sabe que: Hallar f(1) = 3. el polinomio de interpolación de f para el soporte { 2, 1, 0} es P (x) = x 2 + x el polinomio de interpolación de f para el soporte { 2, 1, 0, 1}. 2. el polinomio de interpolación de la función que asocia a cada número x el valor xf(x), para el soporte { 1, 0, 1}. 3. el polinomio de interpolación de la función que asocia a cada número x el valor x + f(x), para el soporte { 1, 0, 1}. Ejercicio Calcula el polinomio de interpolación P de la función sen en los puntos 0, π/4 y π/2, utilizando la formula de interpolación de Lagrange. Haz el cálculo con los datos exactos, sin sustituir π ni las raíces cuadradas por aproximaciones numéricas. 2. Calcula otra vez el polinomio de interpolación P (x) de la función sen en los puntos 0, π/4 y π/2, utilizando esta vez la formula de interpolación de Newton. 3. Sea a entre 0 y π/2. Acota el error cometido al aproximar sen(a) por P (a), con una cota cuyo calculo (en función de a) involucra solamente operaciones aritméticas. (Tu cota puede depender de a, pero no debería involucrar sen ni cos). 4. Utiliza P para proporcionar una aproximación numérica de sen(π/17). Proporciona una cota para esta aproximación. 2. Problemas Problema 11 (Polinomio de interpolación de pequeño grado). Hallar 10 puntos del plano, tal que el polinomio de interpolación cuya gráfica pase por estos puntos tenga grado solamente 5. Problema 12 (El término siguiente). Considera la sucesión de números 1, 1, 5, 11, 19. Puedes comprobar que vienen dados por la formula n 2 + n 1, para n {0, 1, 2, 3, 4}. El término siguiente (que cumple esta formula) es 29 (obtenido con n = 5). La formula n 2 + n 1, podemos adivinarla (con suerte) o, mejor, calcularla por interpolación a partir de los datos. Para cada una de las sucesiones siguientes, hallar una formula y utilizarla para obtener el término siguiente :

4 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla4 1. 1, 13, 25, 37, 49,...? 2. 1, 4, 9, 16, 25,...? 3. 1, 9, 25, 49, 81,...? 4. 3, 15, 35, 63, 99,,...? 5. 5, 20, 51, 104, 185,...? Problema 13 (Sumas de potencias de los primeros enteros). Para cualquier entero k > 0, sea S k (n) la suma de las potencias k ésimas de los n primeros enteros positivos: Por ejemplo, y S k (n) = 1 k + 2 k + 3 k + + n k. S 2 (1) = 1 2 = 1, S 2 (2) = = 5, S 2 (3) = = 14,... S 3 (1) = 1 3 = 1, S 3 (2) = = 9, S 3 (3) = = 36,... Se puede demostrar que para cualquier k > 0, existe un polinomio P k tal que para cualquier n > 0, S k (n) = P k (n). 1. Adivinar las formulas para P 1, P 2 y P 3 utilizando interpolación. 2. Factorizar estos polinomios para obtener formulas más lindas. Problema 14. Hallar una curva del plano que pase por los puntos (0; 0), (2; 5), (4; 6), (6; 3), (3; 3), (4; 6), (7; 6), (8; 3) en este orden, como en la figura 1. Indicación: pensar en esta curva como la trayectoria de un punto móvil, dada por dos funciones X(t) e Y (t) (la variable t representa el tiempo). Las funciones X e Y pueden ser calculadas por interpolación, eligiendo (por ejemplo) que los puntos son alcanzados a los tiempos t = 0, 1,..., 7. Representar la curva por medio de un ordenador. Con SAGE, una vez erminadas las funciones X e Y, se puede hacer con parametric_plot( [X(t), Y(t)], (t, 0, 7)) y si se quiere ver al mismo tiempo los puntos: L = [(0,0), (2,5), (4,6), (6,3), (3,3), (4,6), (7,6), (8,3)] parametric_plot( [X(t), Y(t)], (t, 0, 7)) + list_plot(l)

5 cada k, hay un polinomio P k tal que n > 0. Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla5 P 1, P 2 y P 3 utilizando interpolación para obtener formulas compactas ar una calculadora programable o del plano que pase por los puntos ; 3), (3; 3), (4; 6), (7; 6), (8; 3) 1. urva como la trayectoria de un punto X(t) e Y(t) (la variable t representa Figura 1: Una curva del plano que pasa por los puntos dados (Problema 4). Figura 1: Una curva del plano que pasa por los puntos dados (ejercicio 14). Problema 15 (Formulas erminantales para los polinomios de interpolación). 1. Sean x 1, x 2, y 1, y 2 números, con x 1 x 2. Demostrar que los polinomios básicos de Lagrange para el soporte {x 1, x 2 } son dados por lo siguientes cocientes de erminantes: [ ] [ ] 1 x 1 x1 1 x 2 1 x L 1 = [ ], L 2 = [ ]. 1 x1 1 x1 1 x 2 1 x 2 y que el polinomio P de interpolación cuya gráfica pasa por los puntos (x 1 ; y 1 ) y (x 2 ; y 2 ) cumple: 1 x 1 y 1 0 = 1 x 2 y 2 1 x P (x) 2. Añadimos un tercer punto (x 3 ; y 3 ), con x 3 distinto de x 1 y x 2. Demostrar que los polinomios básicos de Lagrange para el soporte {x 1, x 2, x 3 } cumplen: 1 x x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 x x 1 x x x x 2 x 2 1 x 3 x x 3 x x x 2 L 1 =, L 1 x 1 x 2 2 =, L 1 1 x 1 x 2 3 =. 1 x 2 x x 1 x x 2 x x 3 x x 2 x x 3 x x 3 x 2 3 Demostrar también que el polinomio de interpolación Q cuya gráfica pasa por los puntos (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) y (x 3 ; y 3 ) cumple: 1 x 1 x 2 1 y 1 0 = 1 x 2 x 2 2 y 2 1 x 3 x 2 3 y 3. 1 x x 2 P (x)

6 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla6 Problema 16 (Los polinomios básicos de Lagrange y de Newton, como bases de espacios de polinomios. Solamente si ya seguiste la asignatura de Álgebra lineal.). Las funciones polinomiales de grado a lo sumo 2 son las funciones dadas por formulas de la forma f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c son números. El espacio E de estas funciones admite como base la familia de funciones M = (1, x, x 2 ). Sean x 0, x 1 y x 2 tres números distintos. 1. Demostrar que los polinomios básicos de Lagrange L 0, L 1, L 2 para el soporte {x 0, x 1, x 2 } forman otra base de E. Esta base, la notaremos L. Hallar las formulas de cambio de base entre L y M. 2. Demostrar que los polinomios básicos de Newton N 0, N 1, N 2 para el soporte {x 0, x 1, x 2 } forman otra base de E. Esta base, la notaremos N. Hallar las formulas de cambio de base entre N y M.